《理論力學(xué)》動(dòng)力學(xué)典型習(xí)題+答案

1、 43/43理論力學(xué)動(dòng)力學(xué)典型習(xí)題+答案 動(dòng)力學(xué)I 第一章 運(yùn)動(dòng)學(xué)部分習(xí)題參考解答 13 解： 運(yùn)動(dòng)方程：tan l y =，其中kt =。 將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并將0 30=代入得 34cos cos 22lk lk l y v = 938cos sin 22 3 2lk lk y a =-= 16 證明：質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng),所以n t a a a +=, 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速度為v ,由圖可知: a a v v y n cos =，所以: y v v a a n = 將c v y =， 2 n v a = 代入上式可得 c v a 3 = 證畢 17 證明：因?yàn)閚 2 a v =，v a a v a ?

2、=sin n 所以：v a ?= 3 v 證畢 110 解：設(shè)初始時(shí),繩索AB 的長(zhǎng)度為L(zhǎng) ,時(shí)刻t 時(shí)的長(zhǎng)度 為s ,則有關(guān)系式： t v L s 0-=，并且 222x l s += 將上面兩式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得： 0v s -= ，x x s s 22= 由此解得：x sv x -= （a ） (a)式可寫(xiě)成：s v x x 0-= ，將該式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得： 2 02 v v s x x x =-=+ (b) 將(a)式代入(b)式可得：32 20220 x l v x x v x a x -=-= （負(fù)號(hào)說(shuō)明滑塊A 的加速度向上） 111 解：設(shè)B 點(diǎn)是繩子AB 與圓盤(pán)的切點(diǎn)，由于繩子相對(duì)圓盤(pán)

3、無(wú)滑動(dòng)，所以R v B =，由于繩子始終處 于拉直狀態(tài)，因此繩子上A 、B 兩點(diǎn)的速度在 A 、B 兩點(diǎn)連線上的投影相等，即： cos A B v v = （a ） 因?yàn)?x R x 2 2cos -= （b ） 將上式代入（a ）式得到A 點(diǎn)速度的大小為： 2 2 R x x R v A -= （c ） 由于x v A -=，（c ）式可寫(xiě)成：Rx R x x =-22 ，將該式兩邊平方可得： 222222)(x R R x x =- 將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得： x x R x x R x x x 2232222)(2=- 將上式消去x 2后，可求得：2 22 42) (R x x R x

4、-= 由上式可知滑塊A 的加速度方向向左，其大小為 2 22 42) (R x x R a A -= 113 解：動(dòng)點(diǎn)：套筒A ； 動(dòng)系：OA 桿； 定系：機(jī)座； 運(yùn)動(dòng)分析： 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)； 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 根據(jù)速度合成定理 r e a v v v += 有：e a cos v v =?，因?yàn)锳B 桿平動(dòng)，所以v v =a ， o v o v a v e v r v x o v x o t 由此可得e cos v v =?，OC 桿的角速度為OA v e =，?cos l OA =，所以l v ?2cos = 當(dāng)0 45=?時(shí)，OC 桿上C 點(diǎn)速度的大小為l

5、av l av a v C 245cos 02= 115 解：動(dòng)點(diǎn)：銷子M 動(dòng)系1：圓盤(pán) 動(dòng)系2：OA 桿 定系：機(jī)座； 運(yùn)動(dòng)分析： 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：曲線運(yùn)動(dòng) 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng) 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 根據(jù)速度合成定理有 r1e1a1v v v +=， r2e2a2v v v += 由于動(dòng)點(diǎn)M 的絕對(duì)速度與動(dòng)系的選取無(wú)關(guān)，即a1a2v v =，由上兩式可得： r1e1v v +r2e2v v += (a) 將（a ）式在向在x 軸投影,可得： 0r20e20e130cos 30sin 30sin v v v +-=- 由此解得： s m b OM v v v /4.0)93(30 cos 30sin

6、)(30tan )(30tan 0 20120 e1e20r2-=-=-=-= 32.02e2=OM v s m v v v v M /529.022r 2 e2a2=+= 117 解：動(dòng)點(diǎn)：圓盤(pán)上的C 點(diǎn)； 動(dòng)系：OA 桿； 定系：機(jī)座； 運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)（平行于O 1A 桿）； 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 根據(jù)速度合成定理有 r e a v v v += （a ） 將（a ）式在垂直于O 1A 桿的軸上投影以及在O 1C 軸上投影得： 0e 0a 30cos 30cos v v =，0e 0a 30sin 30sin v v = R v v =a e ，R v

7、v =r a ，5.02O 1e 1=R R A v 根據(jù)加速度合成定理有 C a a a a a +=r n e t e a （b ） 將（b ）式在垂直于O 1A 桿的軸上投影得 C a a a a -+=-0n e 0t e 0a 30sin 30cos 30sin 其中：2a R a =，2 1n e 2R a =，r 12v a C = 由上式解得：2 t e 112 32R = a 119 解：由于ABM 彎桿平移，所以有 M A M A a a v v =., ?。簞?dòng)點(diǎn)：套筒M ； 動(dòng)系：OC 搖桿； 定系：機(jī)座； 運(yùn)動(dòng)分析： 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)； 牽連運(yùn)動(dòng)

8、：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 根據(jù)速度合成定理 r e a v v v += 可求得：m/s 2222e a =b v v v v A M ，m /s 2e r =b v v ， rad/s 3 3 45.12211=A O v A 根據(jù)加速度合成定理 C a a a a a a +=+r n e t e n a t a 將上式沿C a 方向投影可得： C a a a a +-=-t e n a t a 45sin 45cos 由于221n a m/s 8=l a ，2t e m/s 1=b a ，2 r m/s 82=v a C ，根據(jù)上式可得： 0t a 45 cos 247+=a ，2 t a 1rad

9、/s 123)247(22+=l a 1-20 解：取小環(huán)為動(dòng)點(diǎn)，OAB 桿為動(dòng)系 運(yùn)動(dòng)分析 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)； 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 由運(yùn)動(dòng)分析可知點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度的方向如圖所示， 其中： r r OM v 260cos 0 e = = 根據(jù)速度合成定理： r e a v v v += 可以得到： r r v v 3260cos 60sin tan 020e a = ，r v v 460cos 0 e r = t a a n a a t e a n e a r a C a a v e v r v e1v e2v r2 v r1v x B r v t e

10、 a r a v e v r v 加速度如圖所示，其中： 2 2 2 e 260 cos r r OM a =， 2r 82r v a C = 根據(jù)加速度合成定理： C a a a a +=r e a 將上式在x 軸上投影，可得：C a a a +-=cos cos e a , 由此求得：2 a 14r a = 121 解：求汽車B 相對(duì)汽車A 的速度是指以汽車 A 為參考系觀察汽車B 的速度。 ?。簞?dòng)點(diǎn)：汽車B ； 動(dòng)系：汽車A （O xy）； 定系：路面。 運(yùn)動(dòng)分析 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（汽車A 繞O 做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)） 求相對(duì)速度，根據(jù)速度合成定理 r

11、 e a v v v += 將上式沿絕對(duì)速度方向投影可得： r e a v v v +-= 因此 a e r v v v += 其中：A A B B R v R v v v = =,e a ， 由此可得：m/s 9 380r =+= B A A B v v R R v 求相對(duì)加速度，由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)， 相對(duì)速度的大小為常值，因此有： 22r n r r m/s 78.1=B R v a a 2-1 解：當(dāng)摩擦系數(shù)f 足夠大時(shí)，平臺(tái)AB 相對(duì)地面無(wú)滑動(dòng)，此時(shí)摩擦力N fF F 取整體為研究對(duì)象，受力如圖， 系統(tǒng)的動(dòng)量：r 2v p m = 將其在x 軸上投影可得：bt m v m p x

12、2r 2= 根據(jù)動(dòng)量定理有： g m m f fF F b m t p N x )(d d 212+= 即：當(dāng)摩擦系數(shù)g m m b m f )(212+時(shí)，平臺(tái)AB 的加速度為零。 當(dāng)摩擦系數(shù)g m m b m f )(212+時(shí)圓環(huán)已脫離地面，因此2=不是圓環(huán)脫離地面時(shí)的值。 219 取圓柱、細(xì)管和小球?yàn)檠芯繉?duì)象。作用于系統(tǒng)上的外力或平行于鉛垂軸或其作用線通過(guò)鉛垂軸。根據(jù)受力分析可知：系統(tǒng)對(duì)鉛垂軸的動(dòng)量矩守恒。設(shè)小球相對(duì)圓柱的速度為r v ，牽連速度為 e v 系統(tǒng)對(duì)z 軸的動(dòng)量矩守恒，有： 0cos r e 20=+-=r mv r mv r m L z 其中：r v =e ，則上式可表

13、示成： r mv r m m cos )(r 20=+ 由此解得：r v r m m mv cos )(cos r 0r =+= 其中：m m m +=0，r h 2tan = 根據(jù)動(dòng)能定理積分式，有：-= -2 112W T T W mv r m T T =+= =-212a 220212 1 21,0其中：2 r 2r e 2a )sin ()cos (v v v v +-=，將其代入動(dòng)能定理的積分式，可得： mghn v v r m r m 2)sin ()cos (2r 2r 220=+ -+ 將r v cos r = 代入上式，可求得： 2r cos 12-= ghn v 由2 r

14、2 r e 2a )sin ()cos (v v v v +-=可求得：2 12 r a cos )2(1-=v v 220 取鏈條為研究對(duì)象，設(shè)鏈條單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 應(yīng)用動(dòng)量矩定理，鏈條對(duì)O 軸的動(dòng)量矩為： 3r L O = 外力對(duì)O 軸的矩為： ? sin d cos d cos 220 20 2gr gr r gr gr s gr gr M r r O +=+=+=? ? - sin 223gr gr r M L O O += 因?yàn)椋?d d d d d d d d d d v r v v t v t v r = ，所以上式可表示成： sin d d sin g g v r v g g

15、r +=+= d )sin (d +=rg v v 積分上式可得：c rg v +-=)cos 2 1(212 2 由初始條件確定積分常數(shù)gr c =，最后得：2 12 /)cos 22(+-=gr v 動(dòng)力學(xué)第三章部分習(xí)題解答 33 取套筒B 為動(dòng)點(diǎn)，OA 桿為動(dòng)系 根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理 r e a v v v += 可得：l v v =e 0 a 30cos ， l v v v BC B 3 3 2a = = 研究AD 桿，應(yīng)用速度投影定理有： 030cos D A v v =，l v D 3 3 4= 再取套筒D 為動(dòng)點(diǎn)，BC 桿為動(dòng)系，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理 r D BC

16、 D v v v += 將上式在x 軸上投影有：r D BC D v v v +-=-，l v v v BC D D 3 3 2r =+-= 34 AB 構(gòu)件（灰色物體）作平面運(yùn)動(dòng)， 已知A 點(diǎn)的速度 s A O v A /0cm 4510= AB 的速度瞬心位于C ，應(yīng)用速度瞬心法有： rad/s 23 = AC v A AB BC v AB B =， 設(shè)OB 桿的角速度為，則有 rad/s 4 15 =OB v B 設(shè)P 點(diǎn)是AB 構(gòu)件上與齒輪I 的接觸點(diǎn)， 該點(diǎn)的速度： CP v AB P = v ? s d g g r a v e v r v A v D v r D v v B 齒輪I

17、 的角速度為：rad/s 61 = r v P I 36 AB 桿作平面運(yùn)動(dòng)，取A 為基點(diǎn) 根據(jù)基點(diǎn)法公式有： BA A B v v v += 將上式在AB 連線上投影，可得 0,01=B O B v 因此，04 1 = AB v A AB 因?yàn)锽 點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度為零， 因此只有切向加速度（方向如圖）。 根據(jù)加速度基點(diǎn)法公式 n t BA BA A B a a a a += 將上式在AB 連線上投影，可得 n 060cos BA A B a a a +=-，r a B 205.2-= 2 012 31 -= B O a B B O （瞬時(shí)針） 37 齒輪II 作平面運(yùn)動(dòng)，取A 為基點(diǎn)有

18、 n t BA BA A B a a a a += n t 1BA BA a a a a += 將上式在x 投影有： n 1cos BA a a a -=- 由此求得： 2 12 n 2cos 2r a a r a BA II += 再將基點(diǎn)法公式在y 軸上投影有： 2t 2sin r a a II BA =，由此求得2 2sin r a II = 再研究齒輪II 上的圓心，取A 為基點(diǎn) n t n t 222 2 A O A O A O O a a a a a +=+ 將上式在y 軸上投影有 2sin 2t t 22 a r a a II A O O =， 由此解得：) (2sin 2121

19、t 2 21r r a r r a O O O +=+= 再將基點(diǎn)法公式在x 軸上投影有：n 1n 22A O O a a a -=- 由此解得：2 cos 1n 2 a a a O -=，又因?yàn)? 21n 212)(O O O r r a += 由此可得：) (2cos 211 21r r a a O O +- = 39 卷筒作平面運(yùn)動(dòng)，C 為速度瞬心， 其上D 點(diǎn)的速度為v ，卷筒的角速度為 r R v DC v -= = 角加速度為 r R a r R v -= -= 卷筒O 點(diǎn)的速度為： r R vR R v O -= = O 點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為 r R aR r R R v v

20、 a O O -= -= 研究卷筒，取O 為基點(diǎn)，求B 點(diǎn)的加速度。 n 0t B BO O B a a a a += 將其分別在x,y 軸上投影 n t BO By BO O Bx a a a a a -=+= 4222 22 )(4) (v r R a r R R a a a By Bx B +-=+= 同理，取O 為基點(diǎn)，求 C 點(diǎn)的加速度。 n 0t C CO O C a a a a += 將其分別在x,y 軸上投影 n t 0CO Cy CO O Cx a a a a a =-= 2 2 ) (r R Rv a a Cy C -= 310 圖示瞬時(shí)，AB 桿瞬時(shí)平移，因此有： m /

21、s 2=OA v v A B AB 桿的角速度：0=AB 圓盤(pán)作平面運(yùn)動(dòng)，速度瞬心在P 點(diǎn)，圓盤(pán)的 的角速度為：m/s 4= r v B B 圓盤(pán)上C 點(diǎn)的速度為：m/s 22=PC v B C AB 桿上的A 、B 兩點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，取A 為基點(diǎn) 根據(jù)基點(diǎn)法公式有 t n t BA A B B B a a a a a +=+= 將上式在x 軸上投影可得：0t =-B a 因此：22n m/s 8=r v a a B B B B v BA v A v A a B a t BA a n BA a t BA a n BA a x y t 2A O a n 2A O a x y n 2 O a t

22、2 O a O a v O v B t BA a t B a A a n B a A v B v B P C v 由于任意瞬時(shí)，圓盤(pán)的角速度均為：r v B B = 將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有：r a r v B B B t = ，由于0t =B a ，所以圓盤(pán)的角加速度0=B B 。 圓盤(pán)作平面運(yùn)動(dòng)，取B 為基點(diǎn)，根據(jù)基點(diǎn)法公式有： n n t CB B CB CB B C a a a a a a +=+= 2 2n 2n m/s 28)()(=+=CB B C a a a 313 滑塊C 的速度及其加速度就是DC 桿的速度 和加速度。AB 桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心為P ， AB 桿的角速度為：rad

23、/s 1=AP v A A B 桿上C 點(diǎn)的速度為：m /s 2.0=PC v AB C 取AB 桿為動(dòng)系，套筒C 為動(dòng)點(diǎn)， 根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理有： r e a v v v += 其中：C v v =e ，根據(jù)幾何關(guān)系可求得： m/s 15 3 e a = =v v AB 桿作平面運(yùn)動(dòng)，其A 點(diǎn)加速度為零， B 點(diǎn)加速度鉛垂，由加速度基點(diǎn)法公式可知 n t n t BA BA BA BA A B a a a a a a +=+= 由該式可求得2 n m/s 8.030 sin =BA B a a 由于A 點(diǎn)的加速度為零，AB 桿上各點(diǎn)加速度的分布如同定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度分布，AB 桿中點(diǎn)

24、的加速度為：2 m/s 4.05.0=B C a a 再去AB 桿為動(dòng)系，套筒C 為動(dòng)點(diǎn)， 根據(jù)復(fù)合運(yùn)動(dòng)加速度合成定理有： C r e a a a a a += 其中牽連加速度就是AB 桿上C 點(diǎn)的加速度 即：2 e m/s 4.0=a 將上述公式在垂直于AB 桿的軸上投影有： C 0 e 0a 30cos 30cos a a a += 科氏加速度r C 2v a AB =，由上式可求得：2a m/s 3 2 = a 3-14：取圓盤(pán)中心1O 為動(dòng)點(diǎn)，半圓盤(pán)為動(dòng)系，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為直線平移。由速度合成定理有： r e a v v v += 速度圖如圖A

25、所示。由于動(dòng)系平移，所以u(píng) v =e ， 根據(jù)速度合成定理可求出： u v v u v v v O 2sin ,3tan e r e a 1= = 由于圓盤(pán)A 在半圓盤(pán)上純滾動(dòng)，圓盤(pán)A 相對(duì)半圓盤(pán) 的角速度為： r u r v 2r = = 由于半圓盤(pán)是平移，所以圓盤(pán)的角速度就是其相對(duì)半圓盤(pán)的角速度。 再研究圓盤(pán)，取1O 為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有： 11BO O B v v v += u r v v BO Bx -=-=-=0030sin 30sin 1 u v v v BO O By 3230cos 011=+= u v v v By Bx B 132 2=+= 為求B 點(diǎn)的加速度，先求1O

26、半圓盤(pán)為動(dòng)系， 根據(jù)加速度合成定理有 t r n r e a a a a a += （a ） 其加速度圖如圖C 所示，r u r R v a 2 n r n r =+=， 將公式（a ）在x 和y 軸上投影可得： sin cos : cos sin 0:n r t r a n r t r a a a y a a x -=-= 由此求出：r u a a r u a O 2 a 2 t r 2,31= 下面求圓盤(pán)上B 點(diǎn)的加速度。取圓盤(pán)為研究對(duì)象，1O 為基點(diǎn)，應(yīng)用基點(diǎn)法公式有： n t 1 11BO BO O B a a a a += （b ） 將（b ）式分別在y x ,軸上投影： 0t 0n

27、 0 t 0n 30 cos 30sin 30sin 30cos 1 111 1BO BO O By BO BO Bx a a a a a a a =+-= 其中：r u r a BO 2 2 n 41 =， r u r a BO 2t 31= 由此可得：r u a B 2 37= 315（b ） 取BC 桿為動(dòng)系（瞬時(shí)平移）， 套筒A 為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。 根據(jù)速度合成定理有： P t a n a a r a e a C a 圖 C 圖 B 1 圖 D a v r v r e a v v v += 由上式可解得：r v v 3 330tan 0 a e = 因?yàn)锽C 桿瞬時(shí)平移，所以有：

28、 r v v CD 3 3 e = 315（d ） 取BC 桿為動(dòng)系（平面運(yùn)動(dòng)）， 套筒A 為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。 BC 桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心為P ，設(shè)其角速度為 根據(jù)速度合成定理有： r e a v v v += 根據(jù)幾何關(guān)系可求出：r CP r P O 3 16 ,382= 將速度合成定理公式在x,y 軸上投影: BC x y y y BC x x x x A O v v v v v P O v v v v 2r e r e a 2e r e a +=+=-=+= 由此解得:r v r BC )2 3 23(,41+ = DC 桿的速度r CP v BC C 3 4 = 3-16(b

29、) BD 桿作平面運(yùn)動(dòng),根據(jù)基點(diǎn)法有: n t n t n t CB CB B B CB CB B C a a a a a a a a +=+= 由于BC 桿瞬時(shí)平移,0=BC ,上式可表示成: t n t CB B B C a a a a += 將上式在鉛垂軸上投影有: t n 30sin 0CB B a a +-= 由此解得:26 1=BC 再研究套筒A,取BC 桿為動(dòng)系（平面運(yùn)動(dòng)），套筒A 為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。 K r e a a a a a a +=A (a) 其中:K a 為科氏加速度,因?yàn)?=AB ,所以0K =a 動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度為: t e n e e C C C a a

30、a a += 由于動(dòng)系瞬時(shí)平移,所以0n e =C a ,AC a BC C =t e 牽連加速度為t e e C C a a a +=,(a)式可以表示成 r t e a a a a a a +=C C A 將上式在y 軸上投影: t e 0 030cos 30cos C C A a a a +-=- 由此求得:r a C 2 )9 321(+ = 316(d) 取BC 桿為動(dòng)系，套筒A 為動(dòng)點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)A 的牽連加速度為 n t e AC AC C a a a a += 動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度為 K AC AC C a a a a a a +=r n t a 其中K a 為動(dòng)點(diǎn)A 的科氏加速度。

31、將上式在y 軸上投影有 K AC C a a a a +-=t 00a 30cos 30cos 上式可寫(xiě)成 r 002230cos 30cos v AC a r BC BC C ?+?-= (a) 其中：r v r BC )2 3 23(,41+= （見(jiàn)315d ）BC 為BC 桿的角加速度。 再取BC 桿上的C 點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，套筒2O 為動(dòng)系，由加速度合成定理有 K C r e aC a a a a a += 其中n t e 22CO CO a a a +=，上式可表示為 K CO CO C r n t 22 a a a a a += 將上式在y 軸投影有：K CO C a a a 30cos

32、t 0 2 -=- 該式可表示成： 02030sin 230cos C BC BC C v CO a -?=- （b ） 聯(lián)立求解(a),(b)可得 2 28 3,934= BC C r a 317 AB 桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心位于P ， 可以證明：任意瞬時(shí)，速度瞬心P 均在以O(shè) 為 圓心，R 為半徑的圓周上，并且A 、O 、P 在同 一直徑上。由此可得AB 桿任何時(shí)刻的角速度均 為 R v AP v A A AB 2= 桿上B 點(diǎn)的速度為：A AB B v PB v 22= AB 桿的角加速度為：0=AP v A A B AB 取A 為基點(diǎn)，根據(jù)基點(diǎn)法有 n t n BA A BA BA

33、A B a a a a a a +=+= 將上式分別在x,y 軸上投影有 C v t CB a n B a t B a BC A a t e C a r a C a y B v P O R A a n BA a y a a K a C a r a y x BC t AC a n AC a K a C a r a y x BC t 2 CO a n 2 CO a 4345sin 4 45cos 20 n 20 n A BA A By A BA Bx v a a a v a a = -= -= R v a a a A By Bx B 41022 2=+= 318 取DC 桿上的C 點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)件A

34、B 為動(dòng)系 r e a C C C v v v += 根據(jù)幾何關(guān)系可求得：r v v C C 3r e = = 再取DC 桿上的D 點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)件AB 為動(dòng)系 r e a D D D v v v += 由于BD 桿相對(duì)動(dòng)系平移，因此r r D C v v = 將上式分別在x,y 軸上投影可得 r v v r v v v D y D D D x D 2 3 30cos 23 30sin 0r a 0 r e a -=-=-=+-= 求加速度：研究C 點(diǎn)有 K r e a C C C C C a a a a a += 將上式在y 軸投影有 K 0 r 0e 30sin 30cos 30sin 0C

35、 C C a a a +-= 由此求得r a C 2 r 3= 再研究D 點(diǎn) K r e a D D D D D a a a a a += 由于BD 桿相對(duì)動(dòng)系平移，因此r r D C a a = 將上式分別在x,y 軸上投影有 a a a a r a a a D D D D D D D 0K 0r e ay 20 K 0 r ax 2 3330sin 30cos 2 9 30cos 30sin -=+-=+= 321 由于圓盤(pán)純滾動(dòng)，所以有 r a C = 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有： mg F F F F ma N S C -+=-=sin 0cos 根據(jù)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有 02Fr r F

36、m S -= 求解上式可得： ) () cos (220+-= r m r r Fr a C ， sin F mg F N -= 2 202) cos ( +=r rr F F S 若圓盤(pán)無(wú)滑動(dòng)，摩擦力應(yīng)滿足N S fF F ，由此可得： 當(dāng)：sin F mg 時(shí)，min 2 202) )(sin () cos (f r F mg rr F f =+-+ 322 研究AB 桿，BD 繩剪斷后，其受力如圖所示， 由于水平方向沒(méi)有力的作用，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知 AB 桿質(zhì)心C 的加速度鉛垂。 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有： AN C F mg ma -= 根據(jù)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有： ?cos 2 1212l

37、 F ml AN AB = 剛體AB 作平面運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)初始時(shí)，角速度為零。 A 點(diǎn)的加速度水平，A B 桿的加速度瞬心位于P 點(diǎn)。 有運(yùn)動(dòng)關(guān)系式 ?cos 2 l a AB C = 求解以上三式可求得： mg F AN 5 2= 335 設(shè)板和圓盤(pán)中心O 的加速度分別為 O a a ,1，圓盤(pán)的角加速度為，圓盤(pán)上與板 的接觸點(diǎn)為A ，則A 點(diǎn)的加速度為 n t AO AO O A a a a a += 將上式在水平方向投影有 1t a R a a a a O AO O xA =+=+= （a ） 取圓盤(pán)為研究對(duì)象，受力如圖，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有 22F a m O = (b) 應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩

38、定理有 R F R m 2222 1 = (c) 再取板為研究對(duì)象，受力如圖，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有 211F F F a m S -= (d ) 作用在板上的滑動(dòng)摩擦力為： e D v r D v y y a C a CK r D a DK a e D a C a g m AN F C a g 2m 2 O a t AO a 1a n AO a A R g m m f fF F N S )(21+= (e) 由上式可解得： 2 12113)(33m m g m m f F a +-= 329 解：由于系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有AB 桿的重力作功，因此應(yīng)用動(dòng)能定理，可求出有關(guān)的速度和加速度。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到

39、一般位置時(shí)，其動(dòng)能為AB 桿的動(dòng)能與圓盤(pán)A 的動(dòng)能之和： 2 2222122 1212121A A A A B C C J v m J v m T += 其中： , sin ,sin sin , 2 ,R l R v l l v l v A A AB A C AB -=-=-=-= 因此系統(tǒng)的動(dòng)能可以表示成： 222222122222221212sin 4 3 61sin 221)sin (211221221 l m l m R l R m l m l m l m T += ? ?+? ?= 系統(tǒng)從0 45=位置運(yùn)動(dòng)到任意角位置， AB 桿的重力所作的功為： )sin 45(sin 20121

40、- =l g m W 根據(jù)動(dòng)能定理的積分形式 2112=-W T T 初始時(shí)系統(tǒng)靜止，所以01=T ，因此有 )sin 45(sin 2 sin 4361012222221-=+l g m l m l m 將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得： cos 2cos sin 23sin 2331132222221l g m l m l m l m -=+ 將上式中消去 可得： cos 2sin cos 23sin 2331122222221l g m l m l m l m -=+ 根據(jù)初始條件045,0= ，可求得初始瞬時(shí)AB 桿的角加速度 l m m g m )94(23211+-= 因?yàn)?，將k mg =代

41、入上式求得： k mg h 8=。若k mg ，則k mg h 8 注：上述結(jié)果是在假設(shè)3m 與1m 始終粘連在一起的條件下得到的，若3m 與1m 之間沒(méi)有粘著力，答 案應(yīng)為k mg h 9，如何求解，請(qǐng)思考。 336 取AB 桿為研究對(duì)象，初始時(shí)，桿上的A 點(diǎn) 與水平桿上的O 點(diǎn)重合，當(dāng)- =0t 時(shí)系統(tǒng)靜止，+ =0t AB 桿上A 點(diǎn)的速度為v ，角速度為，初始時(shí)受到 沖擊力的作用，應(yīng)用對(duì)固定點(diǎn)O 的沖量矩定理可得 0)2(12 1 2=+=l m l mv L C O 其中：l v l v v A C -=-= 由此解得l v 43= 當(dāng)0t 時(shí)，滑塊A 以加速度a 向右運(yùn)動(dòng)， 取AB

42、 桿為研究對(duì)象，應(yīng)用相對(duì)動(dòng)點(diǎn)A sin cos )2(3 12mg mal l m -= 將上式積分并簡(jiǎn)化可得： C g a l +=cos sin 3 22 其中C 是積分常數(shù)由初始條件 = ,0確定出g l v C -=832。上式可表示成 )(83cos sin 3222f g l v g a l =-+= 若AB 桿可轉(zhuǎn)動(dòng)整圈，則應(yīng)有02 ，因此0)(f 。若)(f 的最小值大于零，則AB 桿就可以完成整圈轉(zhuǎn)動(dòng)。下面求)(f 的極值。 g l v g a f -+=83cos sin )(2 將上式求導(dǎo)令其為零有0sin cos )(=-=g a f 求得極值點(diǎn)為g a =* tan

43、當(dāng)2 2*2 2*cos ,sin g a g g a a += += ， 函數(shù))(* f 取最大值 當(dāng)2 2*22*cos ,sin g a g g a a +- =+-=， 函數(shù))(* f 取最小值，若使最小值大于零，則有 083833222222222222-+-=-+-+-=g l v g a g l v g a g g a a l 由此求得)(832 2 2 g a g l v + 動(dòng)力學(xué)第四章部分習(xí)題解答 46 圖示瞬時(shí)，AB 桿的加速度瞬心位于P 點(diǎn)， 設(shè)其角加速度為AB ，則質(zhì)心加速度為： 2l CP a AB AB C = 2 l m ma F AB C CI = AB CI

44、 ml M 212 1 = 根據(jù)動(dòng)靜法有： =0P M 02c o s 2=+CI CI M l F l mg 2rad/s 528.3cos 23=l g AB =0y F 0c o s =+-CI A F mg F N 7.357)cos 4 3 1(2=-=mg F A 3m st v B F A F P CI F CI M C a AB g m =0 x F 0s i n =-B CI F F N 4.176cos sin 4 3 =mg F B 47 （1）取AB 桿和滑塊C 為研究對(duì)象 AB 桿平移，質(zhì)心加速度如圖所示 C I ma F = 根據(jù)動(dòng)靜法有： =0 x F 030si

45、n 0=-I F mg g g a C 5.030sin 0 = （2）滑塊C 無(wú)水平方向的作用力， 其加速度鉛垂向下，AB 桿平移， 其加速度垂直于AD ，如圖所示。 兩者加速度的關(guān)系為 30sin A C a a = C AB A AB ABI C C CI m m m a m F a m F +=, 根據(jù)動(dòng)靜法有 =0 x F 030sin 30sin 00=-CI ABI F F mg 由此求得：g a g a C A 625.0,25.1= （3） 先研究滑塊C 根據(jù)約束可知：0 30sin A Cy a a = Cy C CIy Cx C CIx a m F a m F =, 根據(jù)

46、動(dòng)靜法有： =0 x F 0=-C I x F F Cx C a m F = =0y F 0=-+g m F F C C I y N 030sin A C C N a m g m F -= 因?yàn)椋篘 fF F =，所以有關(guān)系式 )30sin (0A C C Cx C a m g m f a m -= 即： )30sin (0 A Cx a g f a -= 再研究整體，應(yīng)用動(dòng)靜法有 =0 x F 00030cos 30sin 30sin CIx CIy ABI F F F mg += 上式可表示成： 2030cos )30sin (30 sin 30sin A C A C A AB a g f

47、 m a m a m mg -+= 由上式解得：2 m /s 64.66776.0=g a A 20m/s 24.3)30sin (=-=A Cx a g f a ， 20m/s 32.330sin =A Cy a a ， 2m/s 64.4=C a 48 （1）研究AB 桿，將慣性力向桿的質(zhì)心簡(jiǎn)化， r m F I 222 n = r m F I 22 t = 2)2(121 r m M I = 根據(jù)動(dòng)靜法有： =0A M 022n =-r F M r F B I I ， N 286.14)3(6 1 2=-=mr F B =0 x F 045cos 45cos 0 t 0n =+-I I

48、Ax F F F N 122.6)(2 12=-=mr F Ax =0y F 045sin 45sin 0t 0n =-+B I I Ay F F F F ， N 33.16-=Ay F （2）若0B F ，必有23，因此當(dāng)2 rad/s 6=，rad/s 2 49 設(shè)OA 桿和AB 桿的角加速度分別為 AB OA , 。將各桿的慣性力向各自質(zhì)心簡(jiǎn)化。 ),2 (,221l l m F l m F OA AB I OA I += ,12 1 ,1212221AB I OA I ml M ml M = 研究整體，根據(jù)動(dòng)靜法有： =0O M ， 02 322322121=+-+I I I I M

49、M l mg l mg l F l F 研究AB 桿，根據(jù)動(dòng)靜法有： =0A M 02 222=+-I I M l mg l F 上述平衡方程可簡(jiǎn)化為 g l l g l l AB OA AB OA 2 1312126 5 611=+=+ 求解該方程組可得：l g l g AB OA 73,79-= C a B F A a I F A F g m x A a B F A a A F g m x C a CI F ABI F A a x Cx a Cy a B F x I M B F Ax F n I F Ay F t I F OA I2M I1M g m g m AB Oy F 1I F Ox

50、 F 2I F I2M g m AB Ay F Ax F 2I F 410 取圓盤(pán)A的角加速度為 C，其加速度為 n t CA CA A C a a a a+ + = 將慣性力分別向各剛體的質(zhì)心簡(jiǎn)化。 作用于AB桿質(zhì)心C的慣性力為： n t CA CA IA IC F F F F+ + = r m F A IA =， 2 t l m F C CA ? =， 2 2 n l m F C CA ? = 2 2 1 r m M A IA =，? 2 12 1 l m M C IC = 研究整體， =0 P M（a） cos 2 ) sin 2 ( cos ) sin 2 ( t n = - + -

51、+ - - + + ? ? ? ? l mg M r l F r F l r F M r F IC CA CA IA IA IA 研究AB桿， =0 A M(b) cos 2 2 sin 2 t= - + + -? ? l mg M l F l F IC CA IA 將(a)(b)得：0 sin cos t n= - - + +? ?r F r F r F M r F CA CA IA IA IA 上式化簡(jiǎn)為0 s i n 2 1 c o s 2 1 2 52 2= - -? ? ? ? m l r m l r mr 還可寫(xiě)成：0 s i n c o s 52= - -? ? ? ? l l r 即：0 ) sin 5( d d = -? ? l r t 將上式積分可得：C l r= -? ? sin 5 再根據(jù)初始條件：0