計量經(jīng)濟學-理論和應用8隨機時間序列模型課件

1、計量經(jīng)濟學理論和應用8隨機時間序列模型課件計量經(jīng)濟學理論和應用8隨機時間序列模型課件如何建立一個平穩(wěn)時間序列模型，如何進行預測不是以不同變量間的因果關系為基礎，而是尋找時間序列自身的變化規(guī)律，不以任何經(jīng)濟理論為基礎如何建立一個平穩(wěn)時間序列模型，如何進行預測主要內容時間序列模型的基本概念及其適用性隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件隨機時間序列模型的識別隨機時間序列模型的估計隨機時間序列模型的檢驗主要內容時間序列模型的基本概念及其適用性時間序列模型的基本概念及其適用性基本概念利用自身的過去預測自身的未來。一般形式 Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t)具體模型的建立需要：具體形式滯后期隨機擾動項的結

2、構 線性模型一期滯后白噪聲時間序列模型的基本概念及其適用性基本概念線性模型一期滯后白噪時間序列模型的基本概念及其適用性基本概念上面的模型是一階自回歸過程AR(1)一般的p階自回歸過程AR(p)為 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t 如果隨機擾動項是一個白噪聲(t=t)，則上式為一純AR(p)過程（pure AR(p) process），記為 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t時間序列模型的基本概念及其適用性基本概念時間序列模型的基本概念及其適用性基本概念如果t不是一個白噪聲，通常認為它是一個q階的移動平均（moving average）過程MA(q

3、)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 這是一個純MA(q)過程（pure MA(p) process）注意：MA(q)也可記為時間序列模型的基本概念及其適用性基本概念時間序列模型的基本概念及其適用性基本概念純AR(p)與純MA(q)結合，得到一個一般的自回歸移動平均（autoregressive moving average）過程ARMA（p,q）Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機擾動項來解釋如果該序列是平穩(wěn)的

4、，即它的行為并不會隨著時間的推移而變化，那么我們就可以通過該序列過去的行為來預測未來。時間序列模型的基本概念及其適用性基本概念隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件AR(p)模型的平穩(wěn)性條件如果一個p階自回歸模型AR(p)生成的時間序列是平穩(wěn)的，就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的， 否則，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的 對p階自回歸模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t 引入滯后算子 LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt=Xt-p隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件AR(p)模型的平穩(wěn)性條件隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件變?yōu)?1-1L- 2L2-pLp)Xt=t 記(

5、L)= (1-1L- 2L2-pLp)則多項式(z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0稱為AR(p)的特征方程。可以證明，如果AR(p)的特征方程的所有根都在單位圓外（模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件變?yōu)殡S機時間序列模型的平穩(wěn)性條件AR(1)模型的平穩(wěn)性條件如果模型穩(wěn)定，則有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上式可變換為穩(wěn)定條件下，方差是一非負的常數(shù)，從而有 |1隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件AR(1)模型的平穩(wěn)性條件如果模 隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件 AR(1)的特征方程根為 z=1/ AR(1)穩(wěn)定，即 | 1，意味著特征根z大于1。 隨機時間序列模型

6、的平穩(wěn)性條件 AR(1)的特征方程根為隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件AR(2)模型的平穩(wěn)性方程兩邊同乘以Xt，再取期望得：而 因此隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件AR(2)模型的平穩(wěn)性方程兩邊同隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件同樣有方差為 由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數(shù)，于是有 1+21, 2-11, |2|1隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件同樣有隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件 這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件，或稱為平穩(wěn)域。它是一頂點分別為（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。 2j (0,1) 1j1 模型的平穩(wěn)域 (-2,-1)(2,-1)隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件 這就是AR(2)

7、的平穩(wěn)性條件隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件AR(2)模型對應的特征方程1-1z-2z2=0 的兩個根z1、z2滿足： z1z2=-1/2 , z1+z2 =-1/2解出1，2隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件AR(2)模型隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件由AR(2)的平穩(wěn)性，|2|=1/|z1|z2|1，有于是| z2 |1。由 2 - 1 1可推出同樣的結果。隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件由AR(2)的平穩(wěn)性，|2|=隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件 對高階自回模型AR(p)來說，多數(shù)情況下沒有必要直接計算其特征方程的特征根，但有一些有用的規(guī)則可用來檢驗高階自回歸模型的穩(wěn)定性： AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是

8、： 1+2+p1 由于i(i=1,2,p)可正可負，AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是： |1|+|2|+|p|1 隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件 對高階自回模型AR(p)來說隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件MA(q)模型的穩(wěn)定性Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 當滯后期大于q時，Xt的自協(xié)方差系數(shù)為0。有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的。 隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件MA(q)模型的穩(wěn)定性Xt=t隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件ARMA(p,q)模型的穩(wěn)定性 MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。 當AR(p)部分平穩(wěn)時，則該ARMA(

9、p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的.()()ttLXLeQ=FqtqttptptttXXXXeqeqejjj-=-LL112211隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件ARMA(p,q)模型的穩(wěn)定性(隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件一個平穩(wěn)的時間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機過程或模型；一個非平穩(wěn)的隨機時間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時間序列也可找出對應的平穩(wěn)隨機過程或模型隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件一個平穩(wěn)的時間序列總可以找到生成隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件如果一個非平穩(wěn)時間序列通過d次差分，變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說

10、該原始時間序列是一個自回歸單整移動平均（autoregressive integrated moving average）時間序列，記為ARIMA(p,d,q)。一個ARIMA(2,1,2)時間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件如果一個非平穩(wěn)時間序列通過d次差隨機時間序列模型的識別隨機時間序列模型的識別，就是對于一個平穩(wěn)的隨機時間序列，找出生成它的合適的隨機過程或模型，即判斷該時間序列是遵循一純AR過程、還是遵循一純MA過程或ARMA過程所使用的工具主要是時間序列的自相關函數(shù)（autocorrelation f

11、unction，ACF）及偏自相關函數(shù)（partial autocorrelation function， PACF ）隨機時間序列模型的識別隨機時間序列模型的識別，就是對于一個平隨機時間序列模型的識別AR(p)過程的識別自相關函數(shù)ACF 例 一階自回歸模型 Xt=Xt-1+ t 其k階滯后自協(xié)方差為AR(1)模型的自相關函數(shù)為 由AR(1)的穩(wěn)定性知|1，因此，k時，呈指數(shù)形衰減，直到零。這種現(xiàn)象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinite memory）。隨機時間序列模型的識別AR(p)過程的識別隨機時間序列模型的識別AR(p)過程的識別例 階自回歸模型AR(2) Xt=1Xt-1+

12、 2Xt-2 + tk期滯后自協(xié)方差k 階自相關函數(shù)為 其中 :1=1/(1-2), 0=1隨機時間序列模型的識別AR(p)過程的識別 如果AR(2)穩(wěn)定，則由1+21知|k|衰減趨于零，呈拖尾狀。至于衰減的形式，要看AR(2)特征根的實虛性，若為實根，則呈單調或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。 如果AR(2)穩(wěn)定，則由1+21知|k|衰減趨于AR(p)過程的識別 p階自回歸模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + pXt-p + t 其k期滯后協(xié)方差為: 自相關函數(shù)可見，無論k有多大， k的計算均與其到p階滯后的自相關函數(shù)有關，因此呈拖尾狀。 如果AR(p)是穩(wěn)定的，則|k

13、|遞減且趨于零AR(p)過程的識別事實上，自相關函數(shù)是一p階差分方程，其通解為其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知，|zi|p，Xt與Xt-k間的偏自相關系數(shù)為零。 AR(p)的一個主要特征是:kp時，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。在AR(1)中，從Xt中去掉Xt-1的影響，則只剩下隨機擾動AR(p)隨機時間序列的識別原則：若Xt的偏自相關函數(shù)在p以后截尾，即kp時，k*=0，而它的自相關函數(shù)k是拖尾的，則此序列是自回歸AR(p)序列。當kp時，rk*不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當kp時，rk*服從如下漸

14、近正態(tài)分布: rk*N(0,1/n)式中n表示樣本容量。AR(p)隨機時間序列的識別原則：MA(q)過程的識別 對MA(1)過程 其自協(xié)方差系數(shù)： 于是，MA(1)過程的自相關函數(shù)為：可見，當k1時，k=0，即Xt與Xt-k不相關，MA(1)自相關函數(shù)是截尾的。 MA(q)過程的識別 對MA(1)過程 其自協(xié)方差系數(shù)： MA(q)過程的識別 MA(1)過程可以等價地寫成t關于無窮序列Xt，Xt-1，的線性組合的形式： 是一個AR()過程，它的偏自相關函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關函數(shù)是非截尾但卻趨于零的MA(q)過程的識別MA(q)過程的識別其自協(xié)方差系數(shù)為 q階移動平均過程M

15、A(q) 相應的自相關函數(shù)為 MA(q)過程的識別其自協(xié)方差系數(shù)為 q階移動平均過程MA(可見，當kq時， Xt與Xt-k不相關，即存在截尾現(xiàn)象，因此，當kq時， k=0是MA(q)的一個特征。 于是：可以根據(jù)自相關系數(shù)是否從某一點開始一直為0來判斷MA(q)模型的階。與MA(1)相仿，可以驗證MA(q)過程的偏自相關函數(shù)是非截尾但趨于零的。MA(q)模型的識別規(guī)則：若隨機序列的自相關函數(shù)截尾，即自q以后，k=0（ kq）；而它的偏自相關函數(shù)是拖尾的，則此序列是滑動平均MA(q)序列可見，當kq時， Xt與Xt-k不相關，即存在截尾現(xiàn)象，因同樣需要注意的是：在實際識別時，由于樣本自相關函數(shù)rk

16、是總體自相關函數(shù)k的一個估計，由于樣本的隨機性，當kq時，rk不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當kq時，rk服從如下漸近正態(tài)分布: rkN(0,1/n)式中n表示樣本容量。同樣需要注意的是：在實際識別時，由于樣本自相關函數(shù)rk是總體ARMA(p,q)過程的識別 ARMA(p,q)的自相關函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關函數(shù)和AR(p)的自相關函數(shù)的混合物。 當p=0時，它具有截尾性質； 當q=0時，它具有拖尾性質； 當p、q都不為0時，它具有拖尾性質 從識別上看，通常： ARMA(p，q)過程的偏自相關函數(shù)（PACF）可能在p階滯后前有幾項明顯的尖柱（spikes），但從p階滯后項

17、開始逐漸趨向于零； 而它的自相關函數(shù)（ACF）則是在q階滯后前有幾項明顯的尖柱，從q階滯后項開始逐漸趨向于零。ARMA(p,q)過程的識別模型ACFPACF白噪聲AR(p)衰減趨于零（幾何型或振蕩型）p階后截尾：MA(q)p階后截尾：衰減趨于零（幾何型或振蕩）ARMA(p,q)q階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型）p階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型）模型ACFPACF白噪聲AR(p)衰減趨于零（幾何型或振蕩型 ACF PACF 模型1： tttXXe+=-17.00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1 ACF 計量經(jīng)濟學理論和應

18、用8隨機時間序列模型課件計量經(jīng)濟學理論和應用8隨機時間序列模型課件隨機時間序列模型的估計估計方法最小二乘估計；矩估計；利用自相關函數(shù)的直接估計。隨機時間序列模型的估計估計方法AR(p)模型的Yule Walker方程估計 在AR(p)模型的識別中，曾得到 利用k=-k，得到如下方程組： AR(p)模型的Yule Walker方程估計 在AR(AR(p)模型的Yule Walker方程估計 此方程組被稱為Yule Walker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)1,2,p與自相關函數(shù)1,2,p的關系。 估計方法： 首先，求得自相關函數(shù)的估計值 然后利用Yule Walker方程組，求解

19、模型參數(shù)的估計值AR(p)模型的Yule Walker方程估計2的估計值 2的估計值 MA(q)模型的矩估計 將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個量用估計量代替，得到： MA(q)模型的矩估計 將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù) 首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值，上式是一個包含(q+1)個待估參數(shù) 的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。 常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。 首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值，上式是一個包含(q+1MA(1)模型的直接算法于是 或有于是有解 由于參數(shù)估計有兩組解，可根據(jù)可逆性條件|1|2以后， 偏自相關函數(shù)是截尾的。 一階差分后的GDP滿足

20、AR(2)隨機過程。圖形：樣本自相關函數(shù)圖形呈正弦線型衰減，而偏自相關函數(shù)圖形則估計有如下Yule Walker 方程：解得估計估計 最小二乘估計 （7.91) (-3.60) r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15 有時，在用回歸法時，也可加入常數(shù)項。 （1.99） （7.74） （-3.58） r2 =0.8758 R2 =0.8612 DW.=1.22估計檢驗三模型的殘差項的自相關系數(shù)及QLB檢驗值模型殘差項的自相關系數(shù)及Q檢驗值 模型1 模型2 模型3 K Resid-ACF Q Resid-ACF Q Resid-ACF Q 1 0.382 3.3846 0.258

21、1.5377 0.257 1.5263 2 0.014 3.3893 -0.139 2.0077 -0.040 1.5646 3 -0.132 3.8427 -0.246 3.5677 -0.059 1.6554 4 -0.341 7.0391 -0.529 11.267 -0.328 4.6210 5 -0.170 7.8910 -0.300 13.908 -0.151 5.2864 6 0.253 9.9097 0.271 16.207 0.345 9.0331 7 0.144 10.613 0.158 17.051 0.155 9.8458 8 0.057 10.730 0.116 17

22、.541 0.076 10.059 9 -0.019 10.745 0.097 17.914 0.011 10.064 10 -0.146 11.685 -0.036 17.969 -0.123 10.728 11 -0.233 14.329 -0.136 18.878 -0.230 13.319 12 -0.049 14.461 0.064 19.104 -0.012 13.328 檢驗模型殘差項的自相關系數(shù)及Q檢驗值 模型1 模型2 模型用建立的AR(2)模型對中國支出法GDP進行外推預測模型1已知t-1、t-2、t-3期的GDP時，就可對第t期的GDP作出外推預測。用建立的AR(2)模型

23、對中國支出法GDP進行外推預測例：中國人均居民消費（CPC）的隨機時間序列模型例：中國人均居民消費（CPC）的隨機時間序列模型 中國人均居民消費（CPC）經(jīng)過二次差分后的新序列記為CPCD2 CPCD2序列的自相關函數(shù)、偏自相關函數(shù)與Q統(tǒng)計量值 k ACF PACF Q k ACF PACF Q 1 0.125 0.125 0.269 7 0.196 0.014 6.286 2 -0.294 -0.314 1.882 8 -0.218 -0.335 8.067 3 -0.034 0.060 1.906 9 -0.010 0.024 8.072 4 -0.213 -0.350 2.919 10 0.102 -0.147 8.650 5 -0.258 -0.193 4.576 11 -0.071 0.001 9.025 6 0.131 0.017 5.057 12 0.006 -0.119 9.029 中國人均居民消費（CPC）經(jīng)過二次差分后的新序列記為CP 在5%的顯著性水平下，通過Q統(tǒng)計量容易驗證該序列本身就接近于一白噪聲