2022-2023學年北京第一零第九中學高一數(shù)學理下學期期末試題含解析

1、2022-2023學年北京第一零第九中學高一數(shù)學理下學期期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 數(shù)列an的通項公式an=ncos，其前項和為Sn，則S2013等于（）A1006B2012C503D0參考答案：A略2. 已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且=,則（ ）A= B= C= D=參考答案：B略3. 函數(shù)f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域為（）A1，2B，3C2，D1，參考答案：D【考點】三角函數(shù)值的符號；函數(shù)的值域【分析】先將函數(shù)y=|sinx|+2|cosx|的值域?當x0

2、，時，y=sinx+2cosx的值域，利用兩角和與差的正弦函數(shù)化簡，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域【解答】解：函數(shù)y=|sinx|+2|cosx|的值域?當x0，時，y=sinx+2cosx的值域，y=sinx+2cosx=（其中是銳角，、），由x0，得，x+， +，所以cossin（x+）1，即sin（x+）1，所以，則函數(shù)y=|sinx|+2|cosx|的值域是1，故選：D4. 在中，已知，則角C等于（ ）A B C D 參考答案：C略5. 下列函數(shù)中與函數(shù)相等的是（ ）.A. B. C. D. 參考答案：D6. 函數(shù)f（x）=sin（x+）（0）的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離是若將函數(shù)f

3、（x）的圖象向右平移個單位，再把圖象上每個點的橫坐標縮小為原來的一半，得到g（x），則g（x）的解析式為（）Ag（x）=sin（4x+）Bg（x）=sin（8x）Cg（x）=sin（x+）Dg（x）=sin4x參考答案：D【考點】函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換【分析】利用函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換規(guī)律，得出結論【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（x+）（0）的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離是T=?=，=2若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位，可得y=sin2（x）+=sin2x的圖象，再把圖象上每個點的橫坐標縮小為原來的一半，得到g（x）=sin4x的圖象，故選：D7. 角的終邊過點P

4、（1，2），則sin=（）ABCD參考答案：B【考點】任意角的三角函數(shù)的定義【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sin的值【解答】解：由題意可得，x=1，y=2，r=|OP|=，sin=，故選：B8. 在ABC中，下列式子與相等的是()參考答案：D略9. 已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面相切，若這個球的體積是，則這個三棱柱的體積是（）A96B16C24D48參考答案：D【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】關鍵題意，球的直徑等于棱柱的高，球的大圓是正三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓，由此求出邊長與棱柱的體積【解答】解：由球的體積公式，得r3=，r=2，正三棱柱的高為h=2r=4；

5、設正三棱柱的底面邊長為a，則其內(nèi)切圓的半徑為：r=OD=AD=a=2，如圖所示解得a=4；該正三棱柱的體積為：V=S底?h=?a?a?sin60?h=?（4）2?4=48故答案為：D10. 下列函數(shù)的圖象與右圖中曲線一致的是ABCD參考答案：B略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知是定義在上的偶函數(shù)，則a+b等于_參考答案：0【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的定義域的性質(zhì)可得b+2+b=0，解可得b=-1，進而可得f（-x）=f（x），即（a-1）（-x）3-（-x）2=（a-1）x3-x2，分析可得a的值，將a、b的值相加即可得答案【詳解】根據(jù)題意，已知f（x）=（a-1

6、）x3+bx2是定義在b，2+b上的偶函數(shù)， 有b+2+b=0，解可得b=-1， 則f（x）=（a-1）x3-x2， 若f（x）為-1，1上的偶函數(shù)，則有f（-x）=f（x）， 即（a-1）（-x）3-（-x）2=（a-1）x3-x2， 分析可得：a=1， 則a+b=0； 故答案為：0【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的定義以及性質(zhì)，關鍵是掌握函數(shù)奇偶性的定義12. 已知函數(shù)f（x）=sin（x+）（）的部分圖象如圖所示，那么=，=參考答案：2,.【考點】由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式【專題】數(shù)形結合；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象確定函數(shù)的周期以及函數(shù)過定點坐標

7、，代入進行求解即可【解答】解：函數(shù)的周期T=，即，則=2，x=時，f（）=sin（2+）=，即sin（+）=，|，則+，則+=，即=，故答案為：【點評】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，根據(jù)三角函數(shù)的圖象確定函數(shù)的周期是解決本題的關鍵13. 等差數(shù)列中，若，則 參考答案：4略14. 設三元集合=，則 參考答案：1試題分析：集合,且,則必有,即,此時兩集合為,集合,，當時,集合為,集合,不滿足集合元素的互異性.當時,集合,滿足條件,故,因此，本題正確答案是:.考點：集合相等的定義.15. 已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，f（x）=x2+2x，則函數(shù)f（x），xR的解析式為f（x

8、）= 參考答案：【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應用【分析】當x0時，x0，結合已知中當x0時，f（x）=x2+2x，及f（x）=f（x）可得函數(shù)的解析式【解答】解：當x0時，x0，f（x）=（x）2+2（x）=x22x，又由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x）=f（x）=x2+2x，綜上所述，f（x）=，故答案為：【點評】本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)，是解答的關鍵16. 已知向量，滿足，與的夾角為60，則 參考答案：略17. 計算的結果為. 參考答案：5三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，

9、證明過程或演算步驟18. 如圖，已知圓C：x2+y24x14y+45=0及點Q（2，3）（1）若點P（m，m+1）在圓C上，求直線PQ的斜率以及直線PQ與圓C的相交弦PE的長度；（2）若N（x，y）是直線x+y+1=0上任意一點，過N作圓C的切線，切點為A，當切線長|NA|最小時，求N點的坐標，并求出這個最小值（3）若M（x，y）是圓上任意一點，求的最大值和最小值參考答案：【考點】JE：直線和圓的方程的應用【分析】（1）通過點P（m，m+1）在圓C上，求出m=4，推出P的坐標，求出直線PQ的斜率，得到直線PQ的方程，利用圓心（2，7）到直線的距離d，求解即可（2）判斷當NC最小時，NA最小，結

10、合當NCl時，NC最小，求出|NC|的最小值，然后求解直線方程（3）利用kMQ=，題目所求即為直線MQ的斜率k的最值，且當直線MQ為圓的切線時，斜率取最值設直線MQ的方程為y3=k（x+2），利用圓心到直線的距離求解即可【解答】解：（1）點P（m，m+1）在圓C上，代入圓C的方程，解得m=4，P（4，5）故直線PQ的斜率k=因此直線PQ的方程為y5=（x4）即x3y+11=0，而圓心（2，7）到直線的距離d=，所以PE=2=（2）當NC最小時，NA最小又知當NCl時，NC最小，?過C且與直線x+y+1=0垂直的直線方程：xy+5=0，N（3，2）（3）kMQ=，題目所求即為直線MQ的斜率k的最

11、值，且當直線MQ為圓的切線時，斜率取最值設直線MQ的方程為y3=k（x+2），即kxy+2k+3=0當直線與圓相切時，圓心到直線的距離d=r=2兩邊平方，即（4k4）2=8（1+k2），解得k=2，或k=2+所以的最大值和最小值分別為2+和219. 如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點P，Q分別在邊BC，CD上，且.（1）若點P為邊BC的一個靠近點B的三等分點，求：；（2）設，問為何值時，的面積最小?試求出最小值參考答案：（1）；（2）時，面積最小，為.【分析】（1）利用已知求得：，再結合已知可得：，再利用兩角差的正切公式計算得解.將整理為：，利用中結果可得：，問題得解.（2）由題意得：，

12、，即可表示三角形的面積為：，整理得：，化簡可得：，即可求得最大值為，問題得解?！驹斀狻拷猓海?）因為點為靠近點三等分點，.又因為，所以； （法1）,而,所以； （法2）以為坐標原點，分別以所在方向為軸的正方向，建立直角坐標系，則,，所以， 所以；（2）（法1）由題意得：， ，所以.而, ，當，即時，取最大值為， 此時的面積最小值為. （法2）以為坐標原點，分別以所在方向為軸的正方向，建立平面直角坐標系， 則,，. 所以， 以下同解法1.【點睛】本題主要考查了兩角差的正切公式及轉(zhuǎn)化能力，還考查了向量的加減法及數(shù)乘運算、平面向量數(shù)量積定義，還考查了三角形面積公式應用及兩角和的正弦公式、二倍角公式，

13、考查函數(shù)思想及三角函數(shù)的性質(zhì)、計算能力，屬于難題。20. （12分）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，DE平面ABCD（1）求證：ABEF；（2）求證：平面BCF平面CDEF參考答案：考點：平面與平面垂直的判定；空間中直線與直線之間的位置關系 專題：綜合題；空間位置關系與距離分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，得到AB平面CDEF，由此能證明ABEF（2）由已知條件推導出DEBC，從而得到BC平面CDEF，由此能證明平面BCF平面CDEF解答：證明：（1）因為四邊形ABCD是矩形，所以ABCD，因為AB?平面CDEF，CD?平面CDEF，所以AB平面CDEF4分因為AB?平面

14、ABFE，平面ABFE平面CDEF=EF，所以ABEF 7分（2）因為DE平面ABCD，BC?平面ABCD，所以DEBC 9分因為BCCD，CDDE=D，CD，DE?平面CDEF，所以BC平面CDEF 12分因為BC?平面BCF，所以平面BCF平面CDEF14分點評：本題考查直線平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題21. 在平面直角坐標系xoy中，已知圓C1：（x+3）2+（y1）2=4和圓C2：（x4）2+（y5）2=4（1）若直線l過點A（4，0），且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直

15、線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，求所有滿足條件的點P的坐標參考答案：【考點】直線和圓的方程的應用；直線的一般式方程【分析】（1）因為直線l過點A（4，0），故可以設出直線l的點斜式方程，又由直線被圓C1截得的弦長為2，根據(jù)半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程（2）與（1）相同，我們可以設出過P點的直線l1與l2的點斜式方程，由于兩直線斜率為1，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，故我們可以得到一

16、個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l1與l2的方程【解答】解：（1）由于直線x=4與圓C1不相交；直線l的斜率存在，設l方程為：y=k（x4）圓C1的圓心到直線l的距離為d，l被C1截得的弦長為2d=1d=從而k（24k+7）=0即k=0或k=直線l的方程為：y=0或7x+24y28=0（2）設點P（a，b）滿足條件，由題意分析可得直線l1、l2的斜率均存在且不為0，不妨設直線l1的方程為yb=k（xa），k0則直線l2方程為：yb=（xa）C1和C2的半徑相等，及直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等即=整理得|1+3k+akb|=|5k+4abk|1+3k+akb=（5k+4abk）即（a+b2）k=ba+3或（ab+8）k=a+b5因k的取值有無窮多個，所以或解得或這樣的點只可能是點P1（，）或點P2（，）22. 求經(jīng)過直線L1：3x + 4y 5 = 0與直線L2：2x 3y + 8 = 0的交點M，且滿足下列條件的直線方程（1）與直線2x + y + 5 = 0平行 ；（2）與直線2x + y