江蘇省蘇州市第五中學(xué)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第6講 不等式的證明課件

1、第6講不等式的證明2021/8/8 星期日1知 識 梳 理1基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立 ab 2021/8/8 星期日22三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式 abc 不小于 不小于 a1a2an 2021/8/8 星期日32021/8/8 星期日44證明不等式的方法(1)比較法求差比較法知道abab0，ababb，只要證明 即可，這種方法稱為求差比較法ab0 2021/8/8 星期日5 (2)分析法從所要證明的結(jié)論入手向 反推直至達(dá)到已知條件為止，這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法(3)綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)(或已知證明

2、過的不等式)，推出所要證明的結(jié)論，即“由因?qū)す钡姆椒ǎ@種證明不等式的方法稱為綜合法(4)反證法的證明步驟第一步：作出與所證不等式 的假設(shè)；第二步：從 出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)論，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立；使它成立的充分條件 相反 條件和假設(shè) 2021/8/8 星期日6(5)放縮法所謂放縮法，即要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)?，以利于化簡，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得到欲證不等式成立(6)數(shù)學(xué)歸納法設(shè)Pn是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：(1)證明起始命題P1(或P0)成立；(2)在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以斷定Pn對一切正整數(shù)成立

3、放大或縮小 2021/8/8 星期日72021/8/8 星期日82021/8/8 星期日92021/8/8 星期日102021/8/8 星期日112021/8/8 星期日122021/8/8 星期日13規(guī)律方法 分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆2021/8/8 星期日14【訓(xùn)練1】 已知a、b、cR，且abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c)證明a、b、cR且abc1，要證原不等式成立，即證(abc)a(a

4、bc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是證(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab)2021/8/8 星期日152021/8/8 星期日16考點(diǎn)二用綜合法證明不等式【例2】 已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足abcd，2021/8/8 星期日17規(guī)律方法 證不等式時(shí)，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，移項(xiàng)，在不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)一個(gè)正數(shù)或一個(gè)正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來的不等式等價(jià)這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時(shí)常常用到的技巧2021/8/8 星期日182021/8/8 星期

5、日19考點(diǎn)三利用柯西不等式求最值【例3】 設(shè)x2y3z3，求4x25y26z2的最小值2021/8/8 星期日20規(guī)律方法 柯西不等式的應(yīng)用比較廣泛，常見的有證明不等式，求函數(shù)最值，解方程等應(yīng)用時(shí)，通過拆常數(shù)，重新排序、添項(xiàng)，改變結(jié)構(gòu)等手段改變題設(shè)條件，以利于應(yīng)用柯西不等式2021/8/8 星期日21【訓(xùn)練3】 (2012鹽城市期末考試)已知a，b，c為正數(shù)，且a2b2c214，試求a2b3c的最大值解由柯西不等式，得(a2b3c)2(a2b2c2)(122232)142，當(dāng)且僅當(dāng)a2b3c時(shí)等號成立，所以a2b3c14，即a2b3c的最大值為14.2021/8/8 星期日22答題模板16利用算術(shù)、幾何平均不等式求最值2021/8/8 星期日232021/8/8 星期日24反思感悟(1)利用算術(shù)、幾何平均不等式證明不等式或求最值問題，是不等式問題中的一個(gè)重要類型，重點(diǎn)要抓住算術(shù)、幾何平均不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和使用條件(2)在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：