高中數(shù)學(xué)：所有常用公式結(jié)論匯總

1、高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論.元素與集合的關(guān)系xg，xq( Ao x A.譙摩根公式品.(/n4); C;AuCl;BC:Au) = Q.JnCJi.包含關(guān)系A(chǔ)RB二 Ao AUE二 B o AuBcg,BuC。月nG B=6oC AU8二 R4,集合%,外,的子集個(gè)數(shù)共有2”個(gè)；其子集有2”-I個(gè); 非交子集有2“ - I個(gè)：非空的真子集有2 -2個(gè).二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式 /(x) = ax、hx + c(ct # 0);(2)頂點(diǎn)式/( ; a(jr-/7 十4(a /0);(3)零點(diǎn)式/(r) = a(x- r, )(x- x2 )(a w 0).閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

2、:次函數(shù)/(r) = ax+bx + c(a工0)在閉區(qū)間p,4上的最值只能在x = -d處 2a及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下，當(dāng)a0時(shí)，若二_?W”,司，則丫)皿=/(-?)，/(肛心二必/()，/)： laLa若=-( /3，=z /()，/()，/(/)mn =z /)J(g)當(dāng)水0 時(shí),若 r=-，cp,司，則/(幻二 min /(),/(),若犬二一(星/，則/(k)=maxp)J/) , /(冷皿=111布/(),/(9),.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)在給定區(qū)阿上上含參數(shù)的二次不等式/U,/) 0 為參數(shù))恒成立的充要條件是 fCV)nw 2 0a $ L)在給定

3、區(qū)間卜冽上含參數(shù)的二次不等式fxj) 0(/為參數(shù))恒成立的充要條件是/)1 4 0a紀(jì)L)，/(戈)=#+及0恒成立的充要條件是0恒成立的充要條件是0 vOb2 -4nc 08.四種命題的相互關(guān)系9.充要條件8.四種命題的相互關(guān)系9.充要條件，/, (2)必要條件：若qn，(3)充要條件：若p = q s則是q充分條件.則是q必要條件.n夕=，則是q充變條件.注：如果甲是乙的充分條件,則乙是甲的必要條件：反之亦然.函數(shù)的單調(diào)性(1 )設(shè)X . *2 W a/不 工 丫2 那么ao o，但)-o。八一在口”上是增函數(shù);占一 X2(x, -x,)./ (A-,)- f(x2) 0 *)二工)V0

4、o /(犬)在a,司上是減函數(shù)./( 一工工設(shè)函數(shù)y = /(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/口)0,則.M為增函數(shù)：如 果/。) v 0，則fM為減函數(shù).奇偶函數(shù)的圖象特征有函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)y軸對(duì)稱；反過(guò)來(lái).如果 個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果個(gè)函數(shù)的圖象美廣 y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).1 2.對(duì)廣函數(shù)V = _/*) ( .V R ), /(x I a) = fb 2恒成立，則函數(shù)/(*)的對(duì)稱軸 是函數(shù)x- :兩個(gè)函數(shù)JJ = /(A-4-Z/)與y - fh - X)的圖象關(guān)門.線 ”史女對(duì)稱.2.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性函數(shù)y = /(.V)。

5、函數(shù)y = /(r)的圖象關(guān)于H線* = 0 (即y軸)對(duì)稱.函數(shù)N = f(mx-a)與函數(shù)y = fh - nix)的圖象片1線x =上?對(duì)稱.2m函數(shù)y = /(x)和y=/ (t)的圖象美 中工線 戶 對(duì)稱.若將函數(shù)尸= /(x)的圖象右移I二移8個(gè)單位，得到函數(shù))，= /*-) + /)的 圖象；若將仙線人工4) = 0的圖象分移a、上移個(gè)單位，得到前線 /(x-%)一/) = 0的圖象.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程正比例函數(shù)/(X)= ex, f(x + y) = /(x) + /(J),/1) = C.(2 指數(shù)函數(shù) f(x) = ax, f(x + y)= /(x)/(j),/(I) =

6、 a 0.對(duì)數(shù)函數(shù) /(x) = 106a x，/(4)=/W += 1(。 0, h I) (4)后函數(shù) f(x) = N , /)=/(aWX/(1) = a .有理指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1 小(2 (aY=aC(aAO,r,se0).(3 aby = arbr(a 0, b 0,尸 w 0).注：a(), p是一個(gè)無(wú)理或，則表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述行理指數(shù) 的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)暴都適用.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式logu N = b o d = N (a 0,(7 1, X 0).對(duì)數(shù)的換底公式logr N = - 0，1 L。工 1, )。，I Lm h 1, 7V 0) log推論 lo

7、g hJ = - logtf / (a0, J=La 1,也 0, II加 w 1, 工 I, N 0). “ m.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若汁0, al. M0, NX),則 1。&(A/N) = logd M + logfl N ; 電 g = log., M - log,” ;N log”= log/W(n R) .等差數(shù)列的通項(xiàng)公式勺4 -l)d = dh + % - d5 s V)：貝;前n項(xiàng)和公式為fl+(/1 7 )/7 .等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an = %夕 =幺夕（ N）； q其前n項(xiàng)的和公式為-s; = q叫，q = l.常見(jiàn)三角不等式(1)若 kw(O,X), H + tan a

8、tan J3 sin xx),則 1 vsinx+cosxM施.2|sin.r| + |cosx|l.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin: + cos2 = 1. tan8二-9 COS。.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式奇變偶不變符號(hào)看象限.和角與差角公式sin(a /?) = sin acos /? cos a sin J3 ;cos(a p) = cos a cos /? + sin a sin ;un(a + /?)=1a tan 0asina+dcosa = Va2 + 2 sin（a + ）（輔助角（p所在象限由點(diǎn)（。,力）的象限決定,tan（p= ）. a.二倍角公式sin 2tz = sinz

9、zcosa.cos 2cz = cos2 a - sin a = 2cos2a - 1 = l-2siir cr.tan 2a =tan 2a =2 tanaI - tan2 a.三角函數(shù)的周期公式函數(shù)y = sin(VM + 0), x e R 及函數(shù)y = cos(wx + g), xe R (A, 3 , 0 為常數(shù)， 且AHO, 30)的周期7 =立： tt)函數(shù)y = tan(0X+e) , xn 左外 + g, Z (A, 3,舊為常數(shù),“ AXO, 30) 的周期，=工.CO28.正弦定理 28.正弦定理 a _ b sin J sin B三； = 2R(R是外接圓的半徑) si

10、n(29,余弦定理a2 =/ c2 -2hccos A ;b: =c2 +/-2ca8sB ;c2 =a2 +/一2a力cos。.面積定理S = L ah。= bhh = che (4、%、hc 分別表示 a、b、c 邊上的高). 222,V = -aftsinC, = -Zx sin /I =-casinB.222.三角形內(nèi)角和定理在ABC3 有彳 + 6 + (二刀。(=：萬(wàn)-(4 + 5)C n A + 8o2C = 2-2(4 +A).。一二o2C = 2-2(4 +A).2 22.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律， b= b a (交換律)；(Aa) b= A (a b) b= a ( Zb);

11、 +b) c= a c +b 4 c.平面向量基本定理如果仇、e z是同一平而內(nèi)的兩個(gè)不共線向金，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一 向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)A卜L，使得入恁.不共線的向量a、蛻叫做表示這一*面內(nèi)所有向量的一組基底. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a b= a b cos 0 .數(shù)積a b等于a的長(zhǎng)度間與b在a的方向上的投影 |b|cos 0的乘積.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a=(X|M,b=(x2,/2),則 a+b=& +七,乂 + 外), 設(shè)a二區(qū),必)，b= ,月)，則a-b=(占一占,必一 外) 設(shè)B(gh),則方=礪-而=(4-七,%-乂). (4)設(shè) a=(x,y),2 R ,貝lj

12、7 a=(21,7y).設(shè) a二(芮,J。，b=(&，n),則 a b=-& + yM).兩向量的夾角公式cos8 = 7浮=(后區(qū)，,)，b=(4,/)石+%.平而兩點(diǎn)間的距圈公式九=1隔=J標(biāo)而=-I)?+(%乂:(Aa,yJ, B(x,y,).向量的平行與垂直設(shè) a=(M,乂)飛=區(qū),為)，F(xiàn)LbwO,則a b b= A a ox】y)-*一0al,b(aw 0) o a b=0rt2 + jBy2 = 0.線段的定比分點(diǎn)公式_設(shè)4區(qū),乂)，巴區(qū)，必)，P(xj)是線段的分點(diǎn)，2是實(shí)數(shù)，“環(huán)二方正，則X + ZXy * 山一百gp? =乂 + /必+ %1+2=5:百+(1T 頑.三角形

13、的重心坐標(biāo)公式ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(Xj, yj、Bxg, yj、C(x3, y3),則AABC的重 心的坐標(biāo)是g盧昔當(dāng)紀(jì)專小.。為的Hi心O況+礪+灰=6.41點(diǎn)的平移公式o5F=而十懣. y = y -Ao5F=而十懣. y = y -A 4=廣在：圖形F上的任意一點(diǎn)PG, y)在平移后圖形/上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(X，), 旦麗的坐標(biāo)為(。,幻.42.“按向肽平移”的幾個(gè)結(jié)論1)點(diǎn)(x,y)按向地a=(九、)平移后得到點(diǎn)(x+ h,y + k)(2)函數(shù)y=/(的圖象C按向地a=(九A)平移后得到圖象。，則。.的函數(shù) 解析式為/ = f(x-h) + k, 圖象C按向情&-(力平移后得到圖

14、，升的蛇大懺力_仆 嗎到 C的函數(shù)解析式為y = /(/ +乃一火.36,兩向量的夾角公式cos0 = /,（爐（玉,必），b= （x2,必）.3；十%37.平面兩點(diǎn)間的距離公式火|Z5|= J券.而=J（一1）2+（券-乂）？（A（x，yJ ,仕（與,必） 38,向量的平行與垂直設(shè) a，（x，yj,b=（5,/），且 bHO,則a bob=Aa與此一二乂 = 0.alb（a 0）。& b=0ou +乂必二 0 =/（K-力）+4.（3）圖象按向砧a=的公平移后得到圖若（、的紙，式曾二口分 嗎英 C的函數(shù)解析式為y = fgh）_k.直線的五種方程（1）點(diǎn)斜式 六乂=心-占）（直線/過(guò)點(diǎn)4（%

15、乂），且斜率為）.（2）斜截式y(tǒng)=H + /】（b為直線/在y軸上的截距）. 兩點(diǎn)式上口L =三二l （必wy,） （/；（*”）、R（占J,）（司/居）.）f2 -z XL 一一（力截距式 + 2 = 1（小刀分別為直線的橫、縱截距，公 ） a b一般式4r+型+ C = 0（其中A、B不同時(shí)為0）.兩條直線的平行和垂直若/, ：y=/x十4 , 0 ：y = k/+% 1W2ok尸k2,b產(chǎn)人 ruo欣=7.4到人的倒角公式(1) tan a =k(1) tan a =I +A,A1* I(4 :y = kX* , l2 :y = k2x-b2.kk2 # -I).兩種常用直線系方程（1）

16、平行仃線系方程：與直線祗+如+= 0平行的直線系方程是 4t 4力+ 4 = 0（4/0）,人是參變量.垂直直線系方程：與直線及+ /亞+= 0 （AHO, BK0）垂直的直線系 方程是西一*+/1 = 0, 人是參變量.點(diǎn)到直線的距離d = 4*K（點(diǎn)（心,兒）、直線/ ； /k十加一（=0）.而+取+ C0或V0所表示的平面區(qū)域設(shè)真線/: 十恢+（ = 0 ,則月x +飲十。0或0所表示的平面區(qū)域是； 1）若BwO,當(dāng)#與4t十為同號(hào)時(shí)，表示直線/的上方的區(qū)域；當(dāng)“與 公+協(xié)異號(hào)時(shí)，裳示直線/的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之洞號(hào)在匕異號(hào)在下.（2）若5=0,當(dāng)力與尬十分（同號(hào)時(shí),表示直線，的右方的區(qū)域

17、：當(dāng)/與 4力：（芹號(hào)時(shí)，表示直線/的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)4之，同號(hào)荏右屏號(hào)密邑.圓的四種方程（1）園的標(biāo)準(zhǔn)方程a-）2+a-=/.（2）閱的一般方程 X2 + / 4- Dx + /-= 0 （D14- E2-4F 0）.圓的參數(shù)方程?=frCSf.y = +，sm 夕（4）網(wǎng)的直徑式方程（X-%）（*-%） + （,-%）（尸-乃）=0 （閱的食徑的端點(diǎn)是 力（用,乂）、6（占,以），.直線與圓的位置關(guān)系一線+如+ C = 0與圓 =的位置關(guān)系有三種:相離 oAvO；二尸o相切u*A=0; v r o tH 交 o 0.其中 =L / LX A?+ B255 .橢X V-V + -5V55 .橢

18、X V-V + -50）焦半徑公式 a b|G | = （x + ?。?，|P%| = u（+ 7）-橢留的的內(nèi)外部 TOC o 1-5 h z （i）點(diǎn)尸（與j0）在橢網(wǎng)二十l = ig人o）的內(nèi)部。工十 a brJ7 J4（2）點(diǎn)r（/ J。）在橢圓0+2二i a 。a o）的夕卜部=至十 礦 b-才56.雙曲線_4 = l（a 0,方 0）的焦半徑公式 cr Zr25|/閡=|儀* + |, | 尸周=|C（/T）|.雙曲線的內(nèi)外部（I）點(diǎn)PC%,%）在雙曲線】一 = 30,方 。）的內(nèi)部O”一與1 （T 力Zr（2）點(diǎn)P（x0iy0）在雙曲線】-5=l（a 0,6 0!的外部血-4 漸近

19、線方程，4-4=oc j=x. cr b”cr &a（2）若漸近線方程為歹二2ku 土士工=0n雙曲線可設(shè)為匚= a a bcr b（3）若雙曲線與0-二1有公共漸近線，可設(shè)為=入（入0,焦 a， lra 二 b點(diǎn)在x軸上,九v 0 ,焦點(diǎn)在y軸上）.拋物線/ =2x的焦半徑公式拋物線 y? = 2px/ 0)焦半徑 |( 7=X。+ 4 .2過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng) |C7J| = Xj + y + x2 4- y = Xj + X + /；.直g與網(wǎng)錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式AB - J（l +XH）（1 一萄=1 片-乂 | Vi +tan2zz -|必-y: | Jl +co Ja（弦端點(diǎn)A（w，月）”（

20、x,%），由方程,消去y得到/+云十。=0,F（x,y） = 0A0, a為內(nèi)線4,的傾斜角，A為直線的斜率）.證叨直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共而二直線無(wú)交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行:（3）轉(zhuǎn)化為線面平行：（4）轉(zhuǎn)化為紋面垂直：（5）咕化為而而平行.證明直線與平面的平行的思考途役（I）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn);（2）轉(zhuǎn)化為線線平行:（3）轉(zhuǎn)化為面為平行.證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定:平諭無(wú)公共點(diǎn): （2）轉(zhuǎn)化為化為平行:（3）轉(zhuǎn)化為線而垂直.證明直線與直線的垂直的思考途在（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為紋面垂直：（3）轉(zhuǎn)化為線與另線的射影垂自；（

21、4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線框It證明直線與平面垂直的思考途徑G )轉(zhuǎn)化為該直線與平平內(nèi)任一宜線垂垂;(2)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直;(3)轉(zhuǎn)化為該化為與平面的一條垂線平行:(4)轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面： 轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)亞宜平面的交線垂瓦iipy 1平面與平面的垂直的思考途徑(1)轉(zhuǎn)化為化斷二斷角是直二面角;(2)轉(zhuǎn)化為線面垂宜.平面向能加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)相同旦不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向出為棱的平 行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向堂.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(bHO), abo存在實(shí)數(shù)入使分=入b.J 4勿三

22、點(diǎn)共線o 加力=/方 o 而=(1一)次+，麗.ABCD xtx2 + J；J +5tz2 =0.夾角公式設(shè)a=（%,%,4）, b=（4也也），則cos 6 b）-廠，占T芻土史，_.4a： + a； + a;+6 +方；推論（a也+44+ 4仇）？（g+；+。：）（斤+居+力：），此即三維柯西不等式.異面直線所成角cos 0 =| cos 0,/） | I Iab分別喪示異而真線外方的方|。卜|加+乂2y jx；+凡、ab分別喪示異而真線外方的方（其中6 （0。6M90。）為異面直線所成角, 向向量）.直線月8與平面所成角B = /vsinAB B = /vsinAB 巾I而I廊I。為平面

23、。的法向;。.二面角4的平面知（m./為平面a, 的法向岸八（m./為平面a, 的法向岸6 = arc cos-=一=上火.4-arc cos-= |M|W|71 .空間兩點(diǎn)間的距離公式若13（*2,%,“2），則力/I而l=J而=府守所才小才72點(diǎn)。到直線，距離二上加1，1聞）2二（。）2 （點(diǎn)p在宜線/上，門.線/的方向向量a= PA ,向房 |b=地）.73 ,異而直線間的距離、Q分別是44上任、Q分別是44上任點(diǎn)，為間的距離）.點(diǎn)到平面a的距離）為平血a）為平血a的法向M.就是經(jīng)過(guò)而a的一條斜線,.界面直線上兩點(diǎn)距離公式d = d = J/r +;/f + if - 2mn cos（兩

24、條異面直線a. b所成的角為0 9其公垂線段”的長(zhǎng)度為，在直線u b 上分別取兩點(diǎn)E、F, aHF = * EF = d）.三個(gè)向盤和的平方公式一 - 一 2 一 2 一2 一一 （a+人+ c）-=a +5 +c + 2a方+ 2c + 2ca= /+:+2|.向85&+2網(wǎng)|中8$,2） + 2日卜|二|8$（聯(lián),力）.面積射影定理cos。（平而多邊形及其射影的而枳分別是S、S，它們所在平面所成銳二而角的為6）.歐拉定理（歐拉公式）V”-E = 2 （簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)Y、棱數(shù)E和而數(shù)F）.（1） E=各面多邊形邊數(shù)利的半.特別地，若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形,則而數(shù)F與楂數(shù)E的關(guān)系；2（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的極數(shù)為/，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)F的關(guān)以EmV. 79.球的半徑是R,則 其體積展，正， 3其表面積6 = 4萬(wàn)解.八“S足錐體的底面積、力是錐體的高).1矍3 80.組合數(shù)公式八 m /11 /(/ - 1)(/ - / + 1)，/!/ 、/口 =(WN, meN ,4 lx2x*-xzw m !(7/-?)!性質(zhì)：(T=C： m ；c：yy4.注:規(guī)定d = i.(3)C+C+C+- + C；+(T=2. n次獨(dú)立化復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率 P = Cr(P)i.離散型隨