Chap Ⅰ 函數(shù)、極限與連續(xù)041019155731

1、Chap函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一，是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象極限概念是微積分的理論基礎(chǔ)，極限方法是微積分的基本分析方法，因此，掌握、運(yùn)用好極限方法是學(xué)好微積分的關(guān)鍵連續(xù)是函數(shù)的一個(gè)重要性態(tài)本章將介紹函數(shù)、極限與連續(xù)的基本知識(shí)和有關(guān)的基本方法，為今后的學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)1.一、引言在現(xiàn)實(shí)世界中，一切事物都在一定的空間中運(yùn)動(dòng)著世紀(jì)初，數(shù)學(xué)首先從對運(yùn)動(dòng)（如天文、航海問題等）的研究中引出了函數(shù)這個(gè)基本概念在那以后的二百多年里，這個(gè)概念在幾乎所有的科學(xué)研究工作中占據(jù)了中心位置二、集合的概念集合（或簡稱集）是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素aMaM有限集由有限個(gè)元素組成的

2、集合無限集由無窮多個(gè)元素組成的集合集合的表示：列舉法和描述法A,a,a,B.，b,b,12n12nM帚1%所具有的特湎HI例如，平面xoy上坐標(biāo)適合方程x2J21的點(diǎn)事,y的全體組成的集合M,y*x,yR,x2y21.自然數(shù)集合N整數(shù)集合Z有理數(shù)集合Q無理數(shù)集合;實(shí)數(shù)集合R復(fù)數(shù)集合A*.A；Z*,Q*,R*；參考課時(shí)：微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就對它的重要性無論做怎樣的估計(jì)都不會(huì)過分馮諾伊曼注:馮諾依曼（,匈牙利人），世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，在純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)等許多分支，從集合論、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)到量子理論與算子理論等作多方面，他都作出了重要貢獻(xiàn)他與經(jīng)濟(jì)學(xué)家合著的博弈論與經(jīng)濟(jì)行為奠定了對

3、策論的基礎(chǔ)，他發(fā)明的“流程圖”溝通了數(shù)學(xué)語言與計(jì)算機(jī)語言，制造了第一臺(tái)計(jì)算機(jī)，被人稱為“計(jì)算機(jī)之父”AA,；N,Z,Q,R子集AB(BA)xAxBNZ;ZQ;QR集合相等ABAB且BA空集不含任何元素的集合()例如事xR,x210.三、集合的運(yùn)算交集并集差集A交集并集差集A*BlxAxbABlxAxbABlxAx2求f(x)xx2作業(yè)：習(xí)題、單利與復(fù)利利息是指借款者向貸款者支付的報(bào)酬它是根據(jù)本金的數(shù)額按一定比例計(jì)算出來的利息又有存款利息、貸款利息、債券利息、貼現(xiàn)利息等幾種主要形式單利計(jì)算公式設(shè)初始本金為p元銀行年利率為r則第一年末本利和為sprpp(1r)i第二年末本利和為sp(1r)rp(1

4、2r)2第n年末的本利和為sp(1nr)復(fù)利計(jì)算公式設(shè)初始本金為p元銀行年利率為r則第一年末本利和為sprpp(1r)1第二年末本利和為sp(1r)rp(1r)p(1r)22第n年末的本利和為sp(1r)n二、多次付息單利付息情形因每次的利息都不計(jì)入本金故若一年分n次付息則年末的本利和為spn-p(Hr)即年末的本利和與支付利息的次數(shù)無關(guān)復(fù)利付息情形因每次支付的利息都記入本金故年末的本利和與支付利息的次數(shù)是有關(guān)系的設(shè)初始本金為p元銀行年利率為r若一年分m次付息則一年末的本利和為s靖；m易見本利和是隨付息次數(shù)m的增大而增加的而第n年末的本利和為sp口-；m三、貼現(xiàn)票據(jù)的持有人為在票據(jù)到期以前獲得

5、資金從票面金額中扣除未到期期間的利息后得到所余金額的現(xiàn)金稱為貼現(xiàn)錢存在銀行里可以獲得利息如果不考慮貶值因素那么若干年后的本利和就高于本金如果考慮貶值的因素則在若干年后使用的未來值相當(dāng)于本利和就有個(gè)較低的現(xiàn)值考慮更一般的問題確定第n年后價(jià)值為R元錢的現(xiàn)值假設(shè)在這n年之間復(fù)利年利率r不變利用復(fù)利計(jì)算公式有Rp(1Br)n得到第n年后價(jià)值為R元錢的現(xiàn)值為p-R-(1Br)n式中R表示第n年后到期的票據(jù)金額r表示貼現(xiàn)率而p表示現(xiàn)在進(jìn)行票據(jù)轉(zhuǎn)讓時(shí)銀行付給的貼現(xiàn)金額若票據(jù)持有者手中持有若十張不同期限及不同面額的票據(jù)且每張票據(jù)的貼現(xiàn)率都是相同的則一次性向銀行轉(zhuǎn)讓票據(jù)而得到的現(xiàn)金_n_R_R_RpR12n0(

6、1r)(1r)2(1r)n式中R為已到期的票據(jù)金額R為n年后到期的票據(jù)0n金額_稱為貼現(xiàn)因子，它表示在貼現(xiàn)率r下n年后到(1Br)n期的元錢的貼現(xiàn)值由它可給出不同年限及不同貼現(xiàn)率下的貼現(xiàn)因子表四、需求函數(shù)需求函數(shù)是指在某一特定時(shí)期內(nèi)市場上某種商品的各種可能的購買量和決定這些購買量的諸因素之間的數(shù)量關(guān)系假定其它因素如消費(fèi)者的貨幣收入、偏好和相關(guān)商品的價(jià)格等不變則決定某種商品需求量的因素就是這種商品的價(jià)格此時(shí)需求函數(shù)表示的就是商品需求量和價(jià)格這兩個(gè)經(jīng)濟(jì)量之間的數(shù)量關(guān)系qf(P)其中q表示需求量p表示價(jià)格需求函數(shù)的反函數(shù)pf(q)稱為價(jià)格函數(shù)習(xí)慣上將價(jià)格函數(shù)也統(tǒng)稱為需求函數(shù)五、供給函數(shù)供給函數(shù)是指在

7、某一特定時(shí)期內(nèi)市場上某種商品的各種可能的供給量和決定這些供給量的諸因素之間的數(shù)量關(guān)系六、市場均衡對一種商品而言如果需求量等于供給量則這種商品就達(dá)到了市場均衡以線性需求函數(shù)和線性供給函數(shù)為例令qqdsapbcpddbpp0ac0這個(gè)價(jià)格p稱為該商品的市場均衡價(jià)格0市場均衡價(jià)格就是需求函數(shù)和供給函數(shù)兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)當(dāng)市場價(jià)格高于均衡價(jià)格時(shí)將出現(xiàn)供過于求的現(xiàn)象而當(dāng)市場價(jià)格低于均衡價(jià)格時(shí)將出現(xiàn)供不應(yīng)求的現(xiàn)象當(dāng)市場均衡時(shí)有qqqds0圖示稱q為市場均衡數(shù)量0根據(jù)市場的不同情況，需求函數(shù)與供給函數(shù)還有二次函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)與指數(shù)函數(shù)等但其基本規(guī)律是相同的都可找到相應(yīng)的市場均衡點(diǎn)pq00七、成本函數(shù)產(chǎn)品

8、成本是以貨幣形式表現(xiàn)的企業(yè)生產(chǎn)和銷售產(chǎn)品的全部費(fèi)用支出成本函數(shù)表示費(fèi)用總額與產(chǎn)量或銷售量之間的依賴關(guān)系產(chǎn)品成本可分為固定成本和變動(dòng)成本兩馬克思資本論部分所謂固定成本是指在一定時(shí)期內(nèi)不隨產(chǎn)量變化的那部分成本所謂變動(dòng)成本是指隨產(chǎn)量變化而變化的那部分成本一般地以貨幣計(jì)值的總成本C是產(chǎn)量x的函數(shù)即CC(x)(x0)稱其為成本函數(shù)當(dāng)產(chǎn)量x0時(shí)對應(yīng)的成本函數(shù)值C(0)就是產(chǎn)品的固定成本值設(shè)C(x)為成本函數(shù)稱CC(x0)為單位成本函x數(shù)或平均成本函數(shù)成本函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)其圖象稱為成本曲線八、收入函數(shù)與利潤函數(shù)銷售某種產(chǎn)品的收入R等于產(chǎn)品的單位價(jià)格p乘以生產(chǎn)目的銷售量x即RP,稱其為收入函數(shù)而銷售利潤L等

9、于收入R減去成本C即LRC,稱其為利潤函數(shù)當(dāng)LRC0時(shí)生產(chǎn)者盈利；當(dāng)LRC0時(shí)生產(chǎn)者虧損；當(dāng)LRC0時(shí)生產(chǎn)者盈虧平衡使L(x)0的點(diǎn)x稱為盈虧平衡點(diǎn)又稱為保本點(diǎn)0例現(xiàn)有初始本金按單利計(jì)算按復(fù)利計(jì)算按復(fù)利計(jì)算元若銀行年儲(chǔ)蓄利率為,例現(xiàn)有初始本金按單利計(jì)算按復(fù)利計(jì)算按復(fù)利計(jì)算年末的本利加為多少年末的本利和為多少需多少年能使本利和超過初始本金的一倍例某人手中有三張票據(jù)其中一年后到期的票據(jù)金額是元二年后到期的是元五年后到期的是元已知銀行的貼現(xiàn)率現(xiàn)在將三張票據(jù)向銀行做一次性轉(zhuǎn)讓銀行的貼現(xiàn)金額是多少例某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為Q25P10,Q2005Pds求該商品的市場均衡價(jià)格和市場均衡數(shù)量例某批

10、發(fā)商每次以元臺(tái)的價(jià)格將臺(tái)電扇批發(fā)給零售商在這個(gè)基礎(chǔ)上零售商每次多進(jìn)臺(tái)電扇則批發(fā)價(jià)相應(yīng)降低元批發(fā)商最大批發(fā)量為每次臺(tái)試將電扇批發(fā)價(jià)格表示為批發(fā)量的函數(shù)并求零售商每次進(jìn)臺(tái)電扇時(shí)的批發(fā)價(jià)格例某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品每日最多生產(chǎn)單位它的日固定成本為元生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品的可變成本為元求該廠日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù)例某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為臺(tái)每臺(tái)售價(jià)元當(dāng)年產(chǎn)量超過臺(tái)時(shí)超過部分只能按折出售這樣可多售出臺(tái)如果再多生產(chǎn)，本年就銷售不出去了試寫出本年的收益入函數(shù)例已知某廠單位產(chǎn)品時(shí)，可變成本為元，每天的固定成本為元，如這種產(chǎn)品出廠價(jià)為元，求()利潤函數(shù)；()若不虧本，該廠每天至少生產(chǎn)多少單位這種產(chǎn)品例某電器廠生產(chǎn)一種新產(chǎn)

11、品在定價(jià)時(shí)不單是根據(jù)生產(chǎn)成本而定還要請各銷售單位來出價(jià)即他們愿意以什么價(jià)格來購買根據(jù)調(diào)查得出需求函數(shù)九W0OP45000.該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是元而單位產(chǎn)品的變動(dòng)成本為元為獲得最大利潤出廠價(jià)格應(yīng)為多少例已知該商品的成本函數(shù)與收入函數(shù)分別是C123試求該商品的盈虧平衡點(diǎn)并說明盈R11x虧情況作業(yè)：習(xí)題4.一、極限概念的引入極限是研究變量的變化趨勢的基本工具，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法樸素的極限思想一尺之棰，日取其半，萬世不竭一莊周割之彌細(xì)所失彌少割之又割以至于不可割則與圓周合體而無所失矣一劉徽割圓術(shù)極

12、限悖論龜兔賽跑二、數(shù)列的定義稱爾DN的函數(shù)為數(shù)列(序列)xf(n)nx有界M0,xIBM(Hn)nn單調(diào)性xxxxxn12nnxxxxx!.n12nn112358314xxx.nnnH2xx121J01x()n)n,n5522、Y衛(wèi)0.618(黃金分割數(shù))x2n數(shù)列，繁殖數(shù)列，(馬爾薩斯人口論)123n,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark32 234n12,4,6,8,2n； HYPERLINK l bookmark40 1111 HYPERLINK l bookmark42 I2,4,8，2n1,m,1,m,(,)n幾何意義數(shù)軸上的一系列動(dòng)點(diǎn)三、數(shù)列的極限1

13、43n(m)n數(shù)列2,丁.7,(二，當(dāng)n越來越無限大234n時(shí)，越來越無限地接近于“N”語言數(shù)學(xué)語言“N”語言數(shù)學(xué)語言N不唯一“袋子”(形象)lim%A或xAn&R,0nnnN()當(dāng)nN時(shí)xBAn如果數(shù)列有極限，也稱數(shù)列收斂；eg/如果數(shù)列沒有極限，也稱數(shù)列發(fā)散dgt幾何意義(AA/x至多只有有限個(gè)點(diǎn)落在n區(qū)間以外動(dòng)態(tài)解釋()n例已知工，77SK7,證明：limx0n(n11)2nn例設(shè)M1，則limqn0n例limn/n1n四、收斂數(shù)列的有界性設(shè)limxA根據(jù)定義，對于1IN當(dāng)nN時(shí)nx(xA)AXAA1A,nnn令MmaxR1,1x1,1xl,1-lA1則12NlxIBM(Un)inn即x

14、有界n收斂數(shù)列一定有界逆命題不成立但無界數(shù)列必發(fā)散五、子數(shù)列的收斂性xAxA(lk)nnnkkxAxA,xA推廣n2n2n例設(shè)xC(C為常數(shù))，證明limxCnnn例設(shè)x0,且limxa0,求證limJx4annnnn例用數(shù)列極限定義證明lim注n2n13n3例用數(shù)列極限定義證明limn221nn2nHl例證明數(shù)列x()n.是發(fā)散的n作業(yè)：習(xí)題5.數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)xf(n)數(shù)n列x的極限為4，即：當(dāng)自變量n取正整數(shù)且無限增大n(n)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值f(n)無限接近數(shù)a若將數(shù)列極限概念中自變量n和函數(shù)值f(n)的特殊性撇開，可以由此引出函數(shù)極限的一般概念顯然，極限A與自變量x的變

15、化過程緊密相關(guān)，自變量的變化過程不同，函數(shù)的極限就有不同的表現(xiàn)形式一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限用“誤差”分析1面義生3xxlimf(x)A改R,0,或(0當(dāng)1x!X時(shí)xf(x)BAf()A幾何意義yA喙HHX使曲線yf(x)(1x!X)落在“袋子”之中l(wèi)imf(x)AIAR,0,IX(0當(dāng)xX時(shí)xf(x)BAf(Alimf(x)AAR,0,(0當(dāng)xHHX時(shí)xf(x)BAf(Af()Af(f(Alimarctanx,limarctanxx2x2數(shù)學(xué)方法：從特殊到一般“X”語言數(shù)學(xué)語言X不唯一圖示動(dòng)態(tài)解釋幾何意義圖示動(dòng)態(tài)解釋幾何意義圖示動(dòng)態(tài)解釋nlimarctanx不x1例證明lim一0(k0

16、)xxk二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限用“誤差”分析lim3x22用“誤差”分析lim3x22x印4x1xHlimf(x)A改R,0,0當(dāng)0 xxxx0時(shí)f(x)BA幾何意義ByA喙x使曲線yf(x)0“”語言數(shù)學(xué)語言不唯一limf(x)與f(x)xx0無關(guān)圖示動(dòng)態(tài)解釋0 xx落在“袋子”之中0三、左右極限(單側(cè)極限)三、limf(x)AIAR,0,0當(dāng)x-喟xx時(shí)fxx時(shí)f(x)A0圖示動(dòng)態(tài)解釋左極限f(x0)f(xlimf(x)AIAR,0,0當(dāng)xxx時(shí)xx時(shí)f(x)HA0圖示動(dòng)態(tài)解釋右極限/(x0)f(xIDlimf(x)Af(x0)f(x0)Alim區(qū),lim|x-J1；x0l證明x

17、0 xIxI-lim不x0 x證明limccxx0limxxxx01，此處c為常數(shù)證明lim(2x1)1x1例證明lim上!E2x1x1例證明當(dāng)x0時(shí)，lim、Xcj0 xx001當(dāng)x0例設(shè)f(x)二0當(dāng)x0，求limf(x)limf(x)不|x1當(dāng)x0 x0 x.0拋開上述七種極限n,x,x,xx,xx00的具體涵義，抽象出共同點(diǎn)“任給一個(gè)誤差限制可找到一個(gè)范圍在該范圍誤差小于限制”就可得到一般的極限概念limA改R,0時(shí)亥U)T0當(dāng)tT時(shí)A四、極限的性質(zhì)唯一性設(shè)limA則A唯一反證法，同一法局部有界性設(shè)lim則在某范圍有界保號(hào)性設(shè)limA(110，則在某范圍(國0逆命題不成立弱保號(hào)性設(shè)li

18、mA,在某范圍00則Ag0推論設(shè)lim在某范圍AB則AlimB數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系lim設(shè)(x)Axx0 xx,xx,limf(x)An0n0nnx可為,x00例證明：limsnC0 xxj1x例證明limxx1作業(yè)：習(xí)題數(shù)學(xué)抽象方法的逆否命題6.一、無窮小的概念對無窮小的認(rèn)識(shí)問題，可以遠(yuǎn)溯到古希臘，那時(shí)，阿基米德就曾用無限小量方法得到許多重要的數(shù)學(xué)結(jié)果，但他認(rèn)為無限小量方法存在著不合理的地方直到年，柯西在他的分析教程中才對無限小(即這里所說的無窮小)這一概念給出了明確的回答而有關(guān)無窮小的理論就是在柯西的理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的為無窮小量lim00,T0當(dāng)tT時(shí)1無窮小量不是是無窮小量二、無窮

19、小與變量極限的關(guān)系imAA(lim0)三、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)lim0M則lim0無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量有限個(gè)無窮小量的和、差、代數(shù)和、積、線性組合仍為無窮小量四、無窮大的概念為無窮大量11mHM0,IT0當(dāng)tT時(shí)M為正無窮大量limHM0,IT0當(dāng)tT時(shí)M為負(fù)無窮大量limHM0,IT0當(dāng)tT時(shí)M不成立沒有任何問題可以像無窮那樣深深地觸動(dòng)人的感情，很少有別的觀念能像無窮那樣激勵(lì)理智產(chǎn)生富有成果的思想，然而也沒有任何其它的概念能像無窮那樣需要加于闡明大衛(wèi)希爾伯特與過程有關(guān)分析定義非常重要五、各種極限的分析定義見六、無窮小與無窮大的關(guān)系1一limlim-01lim0,0lim-有限個(gè)無

20、窮大量的積為無窮大量lim%cos%Xj1一一一、.例證明y%2sin一當(dāng)0時(shí)為無窮小%例求limsin%X%j1例證明lim%i%.例證明lim(a%Hl)a1)%ii.11一.一一、一_例當(dāng)%0時(shí)sin是一個(gè)無界變量但不、是無窮大%例求lim%4%35作業(yè)：習(xí)題無窮大量與有界變量的乘積不一定為無窮小量(1)limnxxxA0N當(dāng)nN時(shí)1xA!n0X0當(dāng)IxIBX時(shí)If(x)A0X0當(dāng)xX時(shí)If(x)A0X0當(dāng)xHHX時(shí)If(x)A00IN當(dāng)nN時(shí)xt0X0當(dāng)IxIX時(shí)If(x)I0X0當(dāng)xX時(shí)If(x)I0X0當(dāng)xHHX時(shí)If(x)M0IN當(dāng)nN時(shí)1xIBMnM0X0當(dāng)IxIX時(shí)If(x)

21、IMM0X0當(dāng)xX時(shí)If(x)IMM0X0當(dāng)xHHX時(shí)If(x)IMM0IN當(dāng)nN時(shí)xMnM0X0當(dāng)IxIBX時(shí)f(x)MM0X0當(dāng)xX時(shí)f(x)MM0X0當(dāng)xHHX時(shí)f(x)MM0IN當(dāng)nN時(shí)xBIMfnM0X0當(dāng)IxIBX時(shí)f(x)”M0X0當(dāng)xX時(shí)f(x)M0X0當(dāng)xHHX時(shí)f(x)”limXX0XX0XX0limA0,0當(dāng)0 xx1時(shí)0If(X)A10,0當(dāng)XXX時(shí)00If(X)A0,0當(dāng)XXX時(shí)00If(X)A0T0當(dāng)tT時(shí)IA00,0當(dāng)0XX時(shí)0If(X)0,0當(dāng)x10 xx時(shí)00If(X)0,0當(dāng)XXX時(shí)00If(X)0T0當(dāng)tT時(shí)IIBBM0,0當(dāng)0XX時(shí)0If(X)I-MM0

22、,0當(dāng)X10XX時(shí)00If(X)I-MM0,0當(dāng)XXX時(shí)00If(X)I-MM0T0當(dāng)tT時(shí)IIBMM00當(dāng)0XX時(shí)0f(X)MM00當(dāng)X10XX時(shí)00f(X)MM00當(dāng)XXX時(shí)00f(X)MM0T0當(dāng)tT時(shí)MM0,0當(dāng)0XX時(shí)0f(X)M0,0當(dāng)X10XX時(shí)00f(X)M0,0當(dāng)XXX時(shí)00f(X)M0T0當(dāng)tT時(shí)HIM7.設(shè)limA,limBlimA,limB,.A!Blim-0)(AB)(ab(a-BnaaiaHAB;AB.lim()ABlimlimlimABlimmlimlimABlimmlimA則Blim(B0)傳統(tǒng)經(jīng)典證明和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商若AB有意義則l

23、imABlimlim(m)(，)(m)(，)lim;limCClim;limiiilim.ii極限符號(hào)可與有限求和、有限連乘符號(hào)交換次序有限個(gè)變量四則運(yùn)算的極限等于極限的四則運(yùn)算代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和線性組合的極限等于極限的線性組合形式復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則設(shè)fg(x)在點(diǎn)x的某去心鄰域內(nèi)有定義且g(x)0limf(u)A則limfg(x)limf(u)Ami3x27xH53例limx2x26x92例limPn9hII0|IIHnP5)I1.3x22x1_例lim2x1x2.1因式分解例例.n/1H印.1lim-xxn例3晨婢2,2lim-Ix2屈理3/分子、分母有

24、理化，廣義因式分解例lim(.上)1n.n2n2n22易犯錯(cuò)誤，積累例lim(.1)1n135(2nHl)(2nBl)2拆項(xiàng)，推廣分子有理化limQ，琳2nn-n2n).1例n例xnHllimx1xm；lim(%:x21xnHllimx1xm；lim(%:x21x弋x21x)不xlim(sin%.xHlsin%.x)x已知lim(5xtax2bxc)2x作業(yè)：習(xí)題8.一、極限存在準(zhǔn)則兩邊夾定理夾逼定理設(shè)在某范圍limAlim則limA單調(diào)有界數(shù)列必有極限(xcgtcgt0,.(當(dāng)n,mN時(shí)n!n!1lim0(0-)nnnlim(Innn21(二nn2nlimn二、兩個(gè)重要極限I、limx0nn

25、nxxnm1M,1kn)n2knn21(2cos-n2nsinxtanx11limsinxxtanx(0 x2x,1limx不(sinxsinxx(x0)IsinxIHxI(xRsin(x)tan,x)lim11lim,(lim(x)0)圖示解釋經(jīng)典證明圖示解釋柯西收斂準(zhǔn)則理論意義了解重點(diǎn)先講無窮小的比較主要用于處理與三角函數(shù)和冪函數(shù)有關(guān)的0型極0limX0sinaxa1limxsin1tanbxbX.一,1limxsin0limnxMlimX0limXlimX0arcsinxyarcsinxlimy0sinylimX0tanxsinx原式limx0 xz.(sin_xX3tanx)0例lim

26、xasinxsina,cosa三角函數(shù)的變換必須非常熟悉eeK2.7182818284590451II、lim(1B-)nenlanX(1-nnn1Hln(n)J.2!n2n(n)(n2)J3!n!1)(12)nn2!n3!nn(1nn(1nn1n!nI1)(1.)(11nB13!nB1n1).1B)nHln(n.1)nHl112x11一一1_1113!12!L)213()n32!3!X”且2limX3Ik1,n_,UnxnH1xn(1二)n11.e_n1_(1)n(1)x1-_1_nHlnHlnHl(11)x(1U)x(11)n(11)n(11)exnnnnlim(1i)xe；又lim(1B

27、i)xe；xxxxlim(1Bi)xelim(1Bt)；exxt01lim(1-x)/)e,(lim(x)0),一，111例lim(1B一)n1;lim(1B-)20;lim(1-)n2nn2nnnnn2例lim()nenn3例lim(tanx)tan2xexJ4例lim1nx)limln(1Bx)：lnlim(1x)：(?)lne1x0 xx0 x0例limfL?：yexBilimy1x0 xy01n(1y)三、連續(xù)復(fù)利設(shè)初始本金為p元銀行年利率為r按復(fù)利付息若一年分m次付息則第n年末的本利和為sp：-:；m如果利息按連續(xù)復(fù)利計(jì)算即計(jì)算復(fù)利的次數(shù)m趨于無窮大時(shí)t年末的本利和為splim，-:

28、pert若要年mm末的本利和為則初始本金pset1例lim(12n3n)nn主要用于處理1型極限提出問題TOC o 1-5 h z111例lim?11；n就2(n1)2(nn)2例limJn111n例limxX0 x例設(shè)xJ3,x/3x,xJ3x-求limx21nnnn例設(shè)a0為常數(shù)數(shù)列xn由下列定義axtf.n1,2,)n2.nx.n其中x為大于零的常數(shù)，求limxn.0nn例一投資者欲用元投資年設(shè)年利率為試分別按單利、復(fù)利、每年按次復(fù)利和連續(xù)復(fù)利付息方式計(jì)算到第年末該投資者應(yīng)得的本利和A注連續(xù)復(fù)利的計(jì)算公式在其它許多問題中也常有應(yīng)用如細(xì)胞分裂、樹木增長等問題作業(yè)：習(xí)題9.一、無窮小的比較無

29、窮小比的極限不同反映了無窮小趨向于零的快慢程度不同設(shè)limlim0,lim:l,l0時(shí)稱為比高階的無窮小量；o()；l時(shí)稱為比低階的無窮小量；0l1時(shí)稱與為同階的無窮小量；O()lH1時(shí)稱與為等價(jià)的無窮小量；如果某種關(guān)系“U”滿足以下性質(zhì)反身性A-A；對稱性ABBA；傳遞性A.B,BCA_C則稱該關(guān)系“u”為等價(jià)關(guān)系，馬.d“朋友”nrsx印_x(x0)n設(shè)limlim,lim!l則l時(shí)稱為比高階的無窮大量；l0時(shí)稱為比低階的無窮大量；0l1時(shí)稱與為同階的無窮大量；等號(hào)的含義x2(x遇ax0)x3o(x)但x2x3三、l1時(shí)稱與三、l1時(shí)稱與為等價(jià)的無窮大量；常用等價(jià)無窮小tanxarcsin

30、x_arctanx_ln(1x)_LexM;x1.;1cosxnxlna(?).等價(jià)無窮小替換定理設(shè)limlimlimlimlim則lim則limlim.例.巫互則處亙亙等價(jià)無窮大量也可以替換x0(2618x51)(419x7Hl)等價(jià)無窮大量也可以替換4x3J6x9lim213-(n：TBxnx)1TOC o 1-5 h zx.0IBx59xx7n32611“四、等價(jià)無窮小的充要條件.設(shè)limlim0，則o()例證明當(dāng)x0時(shí)4xtan3x為x的四階無窮小tanxsinx例limx0sin32xlimx01tanxlimx01S2xH例lim融作業(yè)：習(xí)題10.客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運(yùn)動(dòng)

31、變化的，而且其運(yùn)動(dòng)變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長、物種變化等，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是函數(shù)的連續(xù)性本節(jié)將要引入的連續(xù)函數(shù)就是刻畫變量連續(xù)變化的數(shù)學(xué)模型、世紀(jì)微積分的醞釀和產(chǎn)生，直接肇始于對物體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)的研究例如伽利略所研究的自由落體運(yùn)動(dòng)等都是連續(xù)變化的量但直到世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)家們對連續(xù)變量的研究仍停留在幾何直觀的層面上，即把能一筆畫成的曲線所對應(yīng)的函數(shù)稱為連續(xù)函數(shù)世紀(jì)中葉，在柯西等數(shù)學(xué)家建立起嚴(yán)格的極限理論之后，才對連續(xù)函數(shù)作出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述連續(xù)函數(shù)不僅是微積分的研究對象，而且微積分中的主要概念、定理、公式法則等，往往都要求函數(shù)具有連續(xù)性一

32、、無窮小的比較增量改變量小xx,xxMX；00好f(x)f(x)f(xMx)f(x)；000f(x)f(x)f(x)00f(x)在xx點(diǎn)連續(xù)limiy00lx0limf(x)f(x)xx000,x)當(dāng)1xx時(shí)f(x)f(x)10001設(shè)limf(x)Ax,limx則limf()A00 xx0f(x)在x點(diǎn)連續(xù)limf(x)f(x)f(limx)0 xx00 xx0自變量增量函數(shù)增量圖示幾何意義有向線段分析連續(xù)性極限值等于函數(shù)值分析定義與極限的區(qū)別x可為,x-00f(x)在x點(diǎn)連續(xù)limBxlimf()f(x)f(lim)000極限符號(hào)可與連續(xù)函數(shù)符號(hào)交換次序二、左右連續(xù)f(x)在x點(diǎn)連續(xù)f(x

33、0)f(x0)f(x)0000單側(cè)連續(xù)左連續(xù)f(x0)f(x)；00右連續(xù)f(x0)f(x)00三、連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間f(x)在D連續(xù)f(x)在D的每一點(diǎn)連續(xù)f(x)C(D),f(x)C(a,b),f(x)Ca,b閉區(qū)間連續(xù)端點(diǎn)a,b單側(cè)連續(xù)四、函數(shù)的間斷點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)也叫間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)的分類第I類間斷點(diǎn)f(x0),f(xB0)00“”可去間斷點(diǎn)“”不可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)第n類間斷點(diǎn)f(x0),f(x0)至少有一個(gè)不00無窮間斷點(diǎn)；振蕩間斷點(diǎn)例f(x)；tanxxk21類可去間斷點(diǎn)定義f(k5)0則連續(xù)22x0I類可去間斷點(diǎn)定義f(0)1則連續(xù)xk(k0)n類無窮間斷點(diǎn)例f(x)tanxtan/x有可列個(gè)間斷點(diǎn)：x0,叫,，1，一，23n圖示僅在x0點(diǎn)連續(xù)S1,xQ無連續(xù)點(diǎn)；|f(x)|無間斷點(diǎn),xRQ僅在有理數(shù)點(diǎn)連續(xù)黎曼函數(shù)證明f(x)x0在x0處連續(xù)x0設(shè)f(僅在有理數(shù)點(diǎn)連續(xù)黎曼函數(shù)證明f(x)x0在x0處連續(xù)x0設(shè)f(x)是定義于”,b上的單調(diào)增加函數(shù)x(a,b)0如果limf(x)存在試證明函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)2,討論f(x)2,xI0 x0在x0處的連續(xù)性x0已知f(x)x0在點(diǎn)x0處連續(xù)，求b的值x0證明函數(shù)ysinx在區(qū)間()內(nèi)連續(xù)求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并判斷其類型若為可去間斷點(diǎn)試補(bǔ)充或修改定義后使其為連續(xù)點(diǎn)f(x)/xl(x2Bl)I0,x,及0 x作業(yè):討論f(