6類基本初等函數(shù)以及三角函數(shù)考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、對數(shù)函數(shù)y=lOgaX(a就是常數(shù)且a0a豐1),x(0,+8);(1)常值函數(shù)(也稱常數(shù)函數(shù))y=c(其中c為常數(shù))幕函數(shù)y=x卩,卩就是常數(shù)；X(8,+8)1、當(dāng)u為正整數(shù)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間丿，她們的圖形都經(jīng)過原點(diǎn)，并當(dāng)ul時(shí)在原點(diǎn)處與X軸相切。且u為奇數(shù)時(shí),圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱;u為偶數(shù)時(shí)圖形關(guān)于Y軸對稱；2、當(dāng)u為負(fù)整數(shù)時(shí)。函數(shù)的定義域?yàn)槌=0的所有實(shí)數(shù)。3、當(dāng)u為正有理數(shù)m/n時(shí),n為偶數(shù)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),n為奇數(shù)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?-8+8)。函數(shù)的圖形均經(jīng)過原點(diǎn)與(1,1)、如果mn圖形于x軸相切，如果m1時(shí)在區(qū)間(0,1),y的值為負(fù)、圖形位于x的下方,在區(qū)間(1

2、,+8),y值為正，圖形位于x軸上方、在定義域就是單調(diào)增函數(shù)、a1在實(shí)用中很少用到/(5)三角函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx,xg(_,+),yg1,1余弦函數(shù)y=cosx,xg(a,+8),yg1,1正切函數(shù)y=tanxkg正切函數(shù)y=tanxkgZyg(_g,+8)余切函數(shù)y余切函數(shù)y=cotxx豐加kgZye.，J(6)反三角函數(shù)反正弦函數(shù)y=arcsmx反余弦函數(shù)(6)反三角函數(shù)反正弦函數(shù)y=arcsmx反余弦函數(shù)兀兀xe1,1yG一2,2y=arccosxxe1,1ye0,兀，22反正切函數(shù)y=arctanx,xe(o+Q,22ye（o,兀）反余切函數(shù)y=arccotx,x（y,+Q,小結(jié)

3、:三角公式匯總一、任意角的三角函數(shù)在角a的終邊上任取一點(diǎn)P(x,y)，記:r=、嚴(yán)+y2,正弦:sina=y余弦:cosa=-rr正切:tana=2余切:cota=xy正割:secar余害比csca=xy注:我們還可以用單位圓中的有向線段表示任意角的三角函數(shù):如圖，與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM、AT分別叫做角a的正弦線、余弦線、正切線。二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:sina-csca二l,cosa-seca二l,tana-cota二1。sinacosa商數(shù)關(guān)系：tana=,cota=cosasina平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1,1+tan2a=sec2a,1+cot2a=c

4、sc2a。三、誘導(dǎo)公式(1)a+2k兀(keZ)、-a、兀+a、兀-a、2k-a的三角函數(shù)值，等于a的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)瞧成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號。(口訣:函數(shù)名不變，符號瞧象限)丫+a、-a、竺+a、匹-a的三角函數(shù)值，等于a的異名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)瞧成銳角2222時(shí)原函數(shù)值的符號。(口訣:函數(shù)名改變,符號瞧象限)四、與角公式與差角公式tan(a+P)=sin(a+P)=sina-cosP+cosa-sinPsin(a-P)=sina-cosP-cosa-sinPcos(a+P)=cosa-cosP-sina-sinPcos(a-P)=cosa-cosP+sina-sintan

5、(a+P)=1一tana-tanPtana-tanPtan(a-P)=1+tana-tanP五、二倍角公式sin2a=2sinacosacoscosa-sinP=2Qin(a+P)-sin(a-P)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a(*)小2tanatan2a=1-tan2a二倍角的余弦公式(*)有以下常用變形：(規(guī)律:降冪擴(kuò)角，升冪縮角)1+cos2a=2cos2a1-cos2a=2sin2a1+sin2a=(sina+cosa)21一sin2a=(sina一cosa)21+cos2a.1+sin2a1-cos2asin2acos2a=,sm2a=,tan

6、a=22sin2a1+cos2a六、萬能公式(可以理解為二倍角公式的另一種形式)2tana1-tan2a2tanasin2a=,cos2a=,tan2a=1+tan2a1+tan2a1-tan2a萬能公式告訴我們,單角的三角函數(shù)都可以用半角的正切來表示。七、與差化積公式sina+sinP=2sin也cos22sina-sinP=2cossin22cosa+cosP=2coscos22cosa-cosP=-2sin曰sin口22了解與差化積公式的推導(dǎo),有助于我們理解并掌握好公式:sina=sin.(a+Pa_P)+2丿a+Pa-Pa+Pa-Psincos+cossin222sinP=sina+P

7、a-Pa+Pa-P=sincos一cossin2兩式相加可得公式(1),兩式相減可得公式。cosacosa=(a+Pcosa+Pa-Pcoscos2a+Pa-P一sinsin一cosP=(a+Pcosa+Pa-Pa+Pa-Pcoscos+sinsin一22兩式相加可得公式，兩式相減可得公式。八、積化與差公式sina-cosP=*Cin(a+P)+sin(a-P)cosa-cosP=2lcos（a+P）+cos（a一P）sina-sinP=-2lcos（a+P）一cos（a-P）我們可以把積化與差公式瞧成就是與差化積公式的逆應(yīng)用。九、輔助角公式asinx+bcosx=a2+b2sin（x+申）（

8、）其中:角申的終邊所在的象限與點(diǎn)(a,b)所在的象限相同,babsin申=,cos申=,tan申=a2+b2a2+b2a十、正弦定理=2R（R為AABC外接圓半徑）sinAsinBsinC十一、余弦定理a2=b2+c2一2bc-cosAb2=a2+c2-2ac-cosBc2=a2+b2一2ab-cosC十二、三角形的面積公式1SAABCSAABC=SAABCSAABC2=丄absinC=丄besinA=1casinB（兩邊一夾角）222SAABC=篇(R為AABC外接圓半徑)2SAABC2SAABC=a+b+c-r（r為AABC內(nèi)切圓半徑）十三誘導(dǎo)公式公式一：設(shè)a為任意角,終邊相同的角的同一三

9、角函數(shù)的值相等k就是整數(shù)sin(2kn+a)=sinacos(2kn+a)=cosatan(2kn+a)=tanacot(2kn+a)=cotasec(2kn+a)=secacsc(2kn+a)=csca公式二：設(shè)a為任意角,n+a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin(n+a)=sinacos(n+a)=cosatan(n+a)=tanacot(n+a)=cotasec(n+a)=-secacsc(n+a)=-csca公式三：任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin(a)=sinacos(a)=cosatan(a)=tanacot(a)=cotasec(-a)=secacsc(-a)

10、=-csca公式四：利用公式二與公式三可以得到n-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin(na)=sinacos(na)=-cosatan(na)=tanacot(na)=cotasec(n-a)=-secacsc(n-a)=csca公式五：利用公式四與三角函數(shù)的奇偶性可以得到a-n與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin(a-n)=sinacos(a-n)=cosatan(a-n)=tanacot(a-n)=cotasec(a-n)=-secacsc(a-n)=csca公式八：利用公式一與公式三可以得到2n-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin(2na)=sinacos(2na)=cosatan(2na)

11、=tanacot(2na)=cotasec(2n-a)=secacsc(2n-a)=-csca公式七：n/2士a及3n/2士a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin(n/2+a)=cosacos(n/2+a)=sinatan(n/2+a)=cotacot(n/2+a)=tanasec(n/2+a)=-cscacsc(n/2+a)=secasin(n/2a)=cosacos(n/2a)=sinatan(n/2a)=cotacot(n/2a)=tanasec(n/2-a)=cscacsc(n/2-a)=secasin(3n/2+a)=cosacos(3n/2+a)=sinatan(3n/2+a)=cot

12、acot(3n/2+a)=tanasec(3n/2+a)=cscacsc(3n/2+a)=-secasin(3n/2a)=cosacos(3n/2a)=sinatan(3n/2a)=cotacot(3n/2a)=tanasec(3n/2-a)=-cscacsc(3n/2-a)=-seca面的公式再記一次,大家:四、與角公式與差角公式sin(a+P)=sina-cosP+cosa-sinPsin(a-P)=sina-cosP-cosa-sinPcos(a+P)=cosa-cosP-sina-sinPcos(a-P)=cosa-cosP+sina-sinPtana+tanPtan(a+卩)=1一tana-tanPtana-tanPtan(a-P)=1+tana-tanP五、二倍角公式sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2