直線方程的兩點(diǎn)式和一般式-完整版PPT

1、第2課時(shí)直線方程的兩點(diǎn)式和一般式問題引航1.如何由直線上的兩點(diǎn)確定直線的方程？2.直線的兩點(diǎn)式方程的適用范圍是什么？直線的截距式方程與兩點(diǎn)式方程的關(guān)系是什么？3.直線的一般式方程是什么？1.直線方程的兩點(diǎn)式和截距式名稱兩點(diǎn)式截距式已知條件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2在x，y軸上的截距分別為a，b且ab0示意圖方程_適用范圍_y1y2且x1x2ab02.直線的一般式方程把關(guān)于x，y的二元一次方程_叫做直線的一般式方程，簡稱一般式.其中系數(shù)A，B滿足_.Ax+By+C=0A，B不同時(shí)為01.判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩點(diǎn)式適用于求與兩坐標(biāo)軸不垂直的

2、直線方程.()(2)截距式可表示除過原點(diǎn)外的所有直線.()(3)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化.()(4)平面上任一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同時(shí)為0)表示.()【解析】(1)正確.從兩點(diǎn)式方程的形式上看，只要x1x2，y1y2，就可以用兩點(diǎn)式求解.(2)錯(cuò)誤.截距式適用的范圍為ab0，所以截距式適用于橫、縱截距都存在且都不為0的直線.(3)錯(cuò)誤.如當(dāng)一般式方程中的B=0時(shí)，直線的斜率不存在，不能化成其他形式.(4)正確.因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，每一條直線都有傾斜角，當(dāng)90時(shí)，直線的斜率存在，其方程可寫成y=kx+b，它可變形為kx-

3、y+b=0，與Ax+By+C=0比較，A=k，B=-1，C=b；當(dāng)=90時(shí)，直線斜率不存在，其方程可寫成x=x1，與Ax+By+C=0比較，A=1，B=0，C=-x1，顯然A，B不同時(shí)為0，所以此說法是正確的.答案：(1)(2)(3)(4)2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知直線l過A(3，-5)和B(-2，5)，則直線l的方程為_.(2)過點(diǎn)(0，2)和(-3，0)的直線的截距式方程是_.(3)直線2x+y+4=0的斜率k=_.【解析】(1)因?yàn)橹本€l過點(diǎn)A(3，-5)和B(-2，5)，由兩點(diǎn)式方程得即 ，整理得2x+y-1=0.答案：2x+y-1=0(2)因?yàn)閮牲c(diǎn)在坐標(biāo)軸上，所

4、以直線的縱截距為2，橫截距為-3.所以直線方程為答案： (3)A2，B1，則k- -2.答案：-2 【要點(diǎn)探究】知識點(diǎn)1 直線的兩點(diǎn)式與截距式方程1.對直線的兩點(diǎn)式方程的三點(diǎn)說明(1)方程 也可寫成 ，兩者形式有異但實(shí)質(zhì)相同.即直線的兩點(diǎn)式方程的表示與P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的順序無關(guān).(2)當(dāng)直線斜率不存在(x1=x2)或斜率為零(y1=y2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式表示.(3)如果將直線兩點(diǎn)式轉(zhuǎn)化為：(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)，此時(shí)只要直線上兩點(diǎn)不重合，都可以用該等式表示出來(即這個(gè)變形方程可以表示過任意已知兩點(diǎn)的直線).2.解讀直線的截距式方程(1)截距

5、式方程 =1應(yīng)用的前提是a0且b0，即直線過原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸垂直時(shí)不能用截距式方程.(2)截距式方程的特點(diǎn)有兩個(gè)：一是中間必須用“+”號連接，二是等號右邊為“1”.(3)截距式方程是兩點(diǎn)式的一種特殊情況(兩個(gè)點(diǎn)是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))，在求直線方程時(shí)合理地選擇形式，會提高解題效率.【微思考】(1)直線的兩點(diǎn)式方程能用 (x1x2，y1y2)代替嗎？提示：方程 所表示的圖形不含點(diǎn)(x1，y1)，不能表示整條直線，故不能用其代替兩點(diǎn)式方程.(2) =1與 =-1是直線的截距式方程嗎？提示：不是.不符合截距式方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).【即時(shí)練】1.直線 =1(ab0)的圖象可能是()【解析】選C.直線在x，y軸上

6、的截距分別為a，b，且ab0時(shí)，k0，傾斜角為鈍角；AB0，傾斜角為銳角；A=0時(shí)，k=0，傾斜角=0；B=0時(shí)，k不存在，傾斜角=90.【即時(shí)練】1.若方程Ax+By+C=0表示直線，則A，B應(yīng)滿足的條件為()A.A0 B.B0C.AB0 D.A2+B202.直線 =1化成一般式方程為_.【解析】1.選D.A，B不能同時(shí)為0，則A2+B20.2. =1可化為4x+3y=12，即4x+3y-12=0.答案：4x+3y-12=0【題型示范】類型一 直線的兩點(diǎn)式和截距式方程【典例1】(1)經(jīng)過點(diǎn)A(1，2014)，B(1，2015)的直線方程是_；經(jīng)過點(diǎn)P(-1，2014)，Q(-2013，201

7、4)的直線方程是_.(2)(2014咸陽高一檢測)已知ABC的頂點(diǎn)A(1，-1)，線段BC的中點(diǎn)為D .求BC邊上的中線所在直線的方程；若邊BC所在直線在兩坐標(biāo)軸上的截距和是9，求BC所在直線的方程.【解題探究】1.題(1)中，橫坐標(biāo)相等或縱坐標(biāo)相等，能利用兩點(diǎn)式求直線的方程嗎？2.題(2)中可考慮用直線的什么形式求直線方程？【探究提示】1.不能，可直接寫出直線的方程.2.先利用兩點(diǎn)式求出直線AD的方程，然后利用所給條件求出直線BC在x軸、y軸上的截距，用截距式表示出直線BC的方程.【自主解答】(1)因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，所以直線垂直x軸，故直線AB的方程為x=1；又因?yàn)镻，Q兩點(diǎn)的縱坐

8、標(biāo)相等，所以直線垂直y軸，故直線PQ的方程為y=2014.答案：x=1y=2014(2)因?yàn)榫€段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為D ，ABC的頂點(diǎn)A(1，-1)，由兩點(diǎn)式得直線AD的方程為即BC邊上的中線所在直線的方程為5x-4y-9=0.設(shè)直線BC在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，由題意得ab9，(i)直線BC的截距式方程為 1，因?yàn)辄c(diǎn) 在直線BC上，所以所以6b3a2ab.(ii)由(i)(ii)可得2a2-21a540，即(2a-9)(a-6)0，解得a 或a6.因此，所求直線BC在兩坐標(biāo)軸上的截距為所以直線BC的方程為即2x2y-90或x2y-60.【方法技巧】1.已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程的

9、注意點(diǎn)(1)在所給的兩點(diǎn)中，若橫坐標(biāo)相等或縱坐標(biāo)相等，可直接寫出直線的方程.(2)在所給的兩點(diǎn)中，若橫坐標(biāo)不相等且縱坐標(biāo)不相等，可以用兩點(diǎn)式也可用點(diǎn)斜式求解.(3)運(yùn)用公式必須注意依照公式的結(jié)構(gòu)特征，兩點(diǎn)式方程兩邊分式的分子、分母四個(gè)減數(shù)為同一個(gè)點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)y1，x1.2.用截距式方程解決問題的優(yōu)越點(diǎn)及注意事項(xiàng)(1)由于由截距式方程可直接確定直線與x軸和y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此用截距式畫直線比較方便.(2)在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長等問題時(shí)，經(jīng)常使用截距式.(3)但當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，有一個(gè)截距不存在；當(dāng)直線通過原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)截距均為零.在這兩種情況下都不能用截距式，

10、故解決問題過程中要注意分類討論.【變式訓(xùn)練】求過點(diǎn)P(2，3)且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍的直線方程.【解析】設(shè)直線在y軸上的截距為b，則在x軸上的截距為2b.若b=0，則直線過(0，0)與(2，3)點(diǎn)，則其方程為3x-2y=0.若b0，則設(shè)其方程為 =1，又因?yàn)檫^點(diǎn)(2，3).所以 =1，即b=4.所以 =1，即x+2y-8=0.綜上，所求直線方程為3x-2y=0或x+2y-8=0.【誤區(qū)警示】本題易忽視b=0的情況而漏解.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013臨沂高一檢測)已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(2，-1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三條邊所在的直線方程.【解析】因?yàn)锳(2，-1)，B

11、(2，2)，A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，所以直線AB與x軸垂直，故其方程為x=2.因?yàn)锳(2，-1)，C(4，1)，所以由直線方程的兩點(diǎn)式可得直線AC的方程為即x-y-3=0.因?yàn)锽(2，2)，C(4，1)，所以由直線方程的兩點(diǎn)式可得直線BC的方程為即x+2y-6=0.類型二 直線的一般式方程【典例2】(1)直線l的一般式方程為x-2y+6=0，則直線l的斜率為_，它在x軸與y軸上的截距分別為_，_.(2)已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，求過定點(diǎn)A(-3，4)的直線l的方程.【解題探究】1.題(1)中如何由直線的一般式方程求斜率？2.題(2)中直線的斜率存在嗎？選取直線方程的哪種形式較簡

12、單？【探究提示】1.先把一般式方程化為斜截式方程，再求斜率.2.由直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形可知直線的斜率一定存在，并且不為0，又過點(diǎn)A，所以可考慮點(diǎn)斜式.【自主解答】（1）將直線l的一般式方程化成斜截式：y x3，因此，直線的斜率為k ，它在y軸上的截距為3；在直線方程x-2y60中，令y0，得x-6.答案： -6 3(2)由題意設(shè)直線l的方程是yk(x3)4，它在x軸，y軸上的截距分別是由已知，得(3k4)( +3)6，解得 或故直線l的方程為2x3y-60或8x3y120.【延伸探究】題(2)中的條件“過定點(diǎn)A(-3，4)”改為“斜率為 ”呢？【解析】設(shè)直線l在y軸上的截距為b，則直線l的

13、方程是y xb，它在x軸上的截距是-6b，由已知，得|-6bb|6，所以b1.所以直線l的方程為x-6y60或x-6y-60.【方法技巧】1.求直線的一般式方程的策略(1)當(dāng)A0時(shí)，方程可化為 ，只需求 的值；若B0，則方程可化為 ，只需確定 的值.因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程.(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式.2.直線的一般式轉(zhuǎn)化為其他形式的步驟(1)一般式化為斜截式的步驟移項(xiàng)得By=-Ax-C；當(dāng)B0時(shí)，得斜截式：(2)一般式化為截距式的步驟把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，得Ax+By=-C；當(dāng)C0時(shí)

14、，方程兩邊同除以-C，得當(dāng)AB0時(shí)，化為截距式：由于直線方程的斜截式和截距式是唯一的，而兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式不唯一，因此，通常情況下，一般式不化為兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式.3.待定系數(shù)法求直線方程的步驟(1)根據(jù)直線滿足的條件，選取恰當(dāng)直線方程的形式.(2)由已知條件列方程(組)，求出其中待定字母的值.(3)將待定字母的值代入方程，并將方程進(jìn)行化簡，一般寫成直線的一般式方程，x的系數(shù)為非負(fù)數(shù)，且x，y的系數(shù)不要有分?jǐn)?shù)存在.【變式訓(xùn)練】根據(jù)下列條件求解直線的一般式方程.(1)直線的斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)A(1，3).(2)斜率為 ，且在y軸上的截距為4.(3)經(jīng)過兩點(diǎn)A(2，-3)，B(-1，-5).(4)在x，y

15、軸上的截距分別為2，-4.【解題指南】分別利用直線的點(diǎn)斜式，斜截式，兩點(diǎn)式，截距式求出直線的方程，然后轉(zhuǎn)化為直線方程的一般式.【解析】(1)因?yàn)閗=2，且經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，由直線的點(diǎn)斜式可得y-3=2(x-1)，整理可得2x-y+1=0，所以直線的一般式方程為2x-y+1=0.(2)由直線的斜率k= ，且在y軸上的截距為4，故直線的斜截式為y= x+4，整理可得直線的一般式方程為 x-y+4=0.(3)由直線的兩點(diǎn)式可得 ，整理得直線的一般式方程為2x-3y-13=0.(4)由直線的截距式可得 ，整理得直線的一般式方程為2x-y-4=0.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線Ax+By+C=0的斜率為5，且A

16、-2B+3C=0，求直線的方程.【解析】方法一：因?yàn)橹本€Ax+By+C=0的斜率為5，所以B0，且- =5，即A=-5B，又因?yàn)锳-2B+3C=0.由，得-5B-2B+3C=0，所以C= B，把代入直線方程，得-5Bx+By+ B=0.又因?yàn)锽0，所以-5x+y+ =0.故所求直線的方程為15x-3y-7=0.方法二：因?yàn)锳2B3C0，所以所以直線經(jīng)過點(diǎn)又因?yàn)樾甭蕿?，所以所求直線的方程為即15x3y70.【拓展類型】直線方程的綜合應(yīng)用【備選例題】(1)設(shè)A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，直線x=m將ABC的面積平分，則m的值為_.(2)(2014濰坊高一檢測)已知直線l：kx-y+1

17、+2k=0(kR).證明：直線l過定點(diǎn)；若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍.【解析】(1)由SABC ，得SADE ，又AC的方程是 1，E在AC上，可求得E(m，3 )，則|DE| 0，所以解得m .答案：(2)直線l的方程是：k(x2)(1-y)0，令 解得所以無論k取何值，直線過定點(diǎn)(-2，1)由方程知，當(dāng)k0時(shí)直線在x軸上的截距為 在y軸上的截距為12k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有解之得k0；當(dāng)k0時(shí)，直線為y1，符合題意，故k0.【方法技巧】1.直線方程一般式的綜合應(yīng)用(1)直線方程的一般式同二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同時(shí)為零)之間是一一對應(yīng)關(guān)系，因此研究直線的

18、幾何性質(zhì)完全可以借助于方程的觀點(diǎn)來研究，這實(shí)際上也是解析幾何的思想所在用方程的思想來研究幾何問題.(2)可以借助于直線方程的五種形式間的互化，求解一些定值問題、范圍問題等.2.直線恒過定點(diǎn)的求解策略【規(guī)范解答】分類討論在直線方程中的應(yīng)用【典例】(12分)(2014吉安高一檢測)設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(aR).(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程.(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【審題】抓信息，找思路【解題】明步驟，得高分【點(diǎn)題】警誤區(qū)，促提升失分點(diǎn)1：解題時(shí)若對截距的定義理解不透，即忽視處對截距為零的情況的討論，將會導(dǎo)致結(jié)論不全而失分.失分點(diǎn)2：解題時(shí)若不能正確求出直線的縱橫截距，即不能在處正確得到關(guān)于a的方程，將會造成解題錯(cuò)誤，考試時(shí)最多得8分.失分點(diǎn)3：解題時(shí)，若不能正確的根據(jù)直線的斜率與截距而確定參數(shù)a需滿足的條件，即在處不能得到關(guān)于a的不等式組，將造成第(2)問不得分.【悟題】提措施，導(dǎo)方向1.注重分類討論的意識培養(yǎng)求直線方程時(shí)，要考慮對斜率是否存在、截距相等時(shí)是否為零以及相關(guān)位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.如本例(1)需對截距是否為0進(jìn)行分類討