高考數(shù)學復習知識點按難度與題型歸納2

1、學習必備 精品學問點第 I 卷 160 分部分一、填空題答卷提示：重視填空題的解法與得分,盡可能削減失誤,這是取得好成果的基石 . A、14 題, 基礎送分題,做到不失一題！A1. 集合性質與運算1、性質：A；UAC B任何一個集合是它本身的子集,記為A空集是任何集合的子集,記為A ；空集是任何非空集合的真子集；假如AB,同時BA,那么 A = B 假如AB,BC,那么AC【留意】：Z= 整數(shù) （）Z =全體整數(shù) （ ）已知集合 S 中 A 的補集是一個有限集,就集合A 也是有限集 （ ）空集的補集是全集2n2個. 如集合 A=集合 B,就 CBA=,CAB =CS（CAB）= D n 個,真

2、子集有（注：CAB =）2、如 =a a 2,a 3a ,就 的子集有 22 n1個,非空真子集有3、 A（BC）（AB）（AC） ,A（BC）（AB）（AC）；（AB）CA（BC）, （AB）CA（BC）4、 De Morgan 公式 :C UABC AC B ；CUABC AC B . 【提示】：數(shù)軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具. 在詳細運算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情形,關問題；A2. 命題的否定與否命題 *1. 命題 p q 的否定與它的否命題的區(qū)分：補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有命題 pq 的否定是 pq , 否命題是pq . p 或q ” .命題“p

3、或 q ” 的否定是“p 且q ” , “p 且 q ” 的否定是“*2. ?？寄Ｊ剑喝Q命題 p：xM,p x ；全稱命題p 的否定p：xM,. p x . mm nN. 特稱命題 p：xM,p x ；特稱命題p 的否定p：xM,p x . A3. 復數(shù)運算z 2mm z 1z 2*1. 運算律：zmz nz m n； zmnzmn；z 1【提示】留意復數(shù)、向量、導數(shù)、三角等運算率的適用范疇*2. 模的性質：|z z 2| |z 1|z2|；|z 1|z 1|；znn z . z 2|z 2|*3. 重要結論：|z 1z 22 |z 1z 22 |2 | z 12 |z 22 |；4i1i,

4、1 1iyi；yx1 21 x點 1,1；z 1z 2z22 z ；1i22 i ；1 1ii. i 性質： T=4；i4n1i,i4n21 ,i4n3i,in【拓展】：3112101或13i. 22yx2yO1x3A4. 冪函數(shù)的的性質及圖像變化規(guī)律：11 全部的冪函數(shù)在0, 都有定義,并且圖像都過2a0時,冪函數(shù)的圖像通過原點,并且在區(qū)間0, 上是增y函數(shù)特殊地,當a1時,冪函數(shù)的圖像下凸；當0a1時,冪x函數(shù)的圖像上凸；學習必備精品學問點圖像在 y3a0時,冪函數(shù)的圖像在區(qū)間0, 上是減函數(shù) 在第一象限內(nèi), 當 x 從右邊趨向原點時,軸右方無限地靠近y 軸正半軸,當x 趨于時,圖像在 x

5、 軸上方無限地靠近x 軸正半軸和0,1,【說明】：對于冪函數(shù)我們只要求把握a1,2,3,1 1 ,2 3的這 5 類,它們的圖像都經(jīng)過一個定點0,0并且x1時圖像都經(jīng)過 1,1 ,把握好冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像就可以了. A5. 統(tǒng)計1. 抽樣方法：1 簡潔隨機抽樣 抽簽法、隨機樣數(shù)表法 常常用于總體個數(shù)較少時,它的主要特點是從總體中逐個抽取. 2 分層抽樣,主要特點分層按比例抽樣,主要使用于總體中有明顯差異. 共同點：每個個體被抽到的概率都相等（n）. N2. 總體分布的估量就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率. 總體估量把握：一“ 表” 頻率分布表 ；兩“ 圖” 頻率分布直方圖和莖葉圖.

6、頻率分布直方圖用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖；頻率分布直方圖就是以圖形面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小.頻率 =頻數(shù). 樣本容量小長方形面積=組距頻率 =頻率 . 組距全部小長方形面積的和=各組頻率和 =1. 【提示】：直方圖的縱軸 小矩形的高 一般是頻率除以組距的商 小矩形的面積表示頻率 . 莖葉圖 而不是頻率 ,橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小,當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時,用中間的數(shù)字表示十位數(shù),即第一個有效數(shù)字, 兩邊的數(shù)字表示個位數(shù),即其次個有效數(shù)字,它的中間部分像植物的莖,兩邊像植物莖上長出來的葉子,這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖；3. 用樣本的算術平均數(shù)作為對總體

7、期望值的估量；樣本平均數(shù)：x1x 1x 2xn1inx inn14. 用樣本方差的大小估量總體數(shù)據(jù)波動性的好差 方差大波動差 . 1 一組數(shù)據(jù)x x2,x 3,xn樣本方差2 S1 nx 1x2x 2x2x nx2 1inx ix21inx21inx i2；11i1nnn樣本標準差S21 nx 1x2x 2x2xnx2 =1in1x ix2b , 它們n2 兩組數(shù)據(jù)x x2,x 3,x 與y 1,y2,y3,y , 其中yax ib ,i1,2,3,n . 就 yax的方差為S y22 a S x2, 標準差為y|a|x2 s ,就ax 1b ax 2b ,ax nb 的平均數(shù)為 axb ,方

8、差如x x2,x 的平均數(shù)為 x ,方差為為2 2a s . axb ,S22 2a S . 樣本數(shù)據(jù)做如此變換：x iaxib ,就xB、5 9,中檔題, 易丟分,防漏 / 多解 B1. 線性規(guī)劃1、二元一次不等式表示的平面區(qū)域：（1）當A0時,如AxByC0表示直線 l 的右邊,如AxByC0就表示直線 l 的左邊 . （2）當B0時,如AxByC0表示直線 l 的上方,如AxByC0就表示直線 l 的下方 . 學習必備 精品學問點2、設曲線 C : A x B y C 1 A x B y C 2 0（A A B B 2 0）,就 A x B y C 1 A x B y C 2 0 或 0

9、 所表示的平面區(qū)域：兩直線 A x B y C 1 0 和 A x B y C 2 0 所成的對頂角區(qū)域（上下或左右兩部分）. 3、點 P x 0 , y 0 與曲線 f x y 的位置關系：如曲線 f x y 為封閉曲線（圓、橢圓、曲線 | x a | | y b | m等）,就 f x 0 , y 0 0,稱點在曲線外部；如 f x y 為開放曲線（拋物線、雙曲線等）,就 f x 0 , y 0 0,稱點亦在曲線“ 外部” .4、已知直線 l : Ax By C 0,目標函數(shù) z Ax By . 當 B 0 時,將直線 l 向上平移,就 z 的值越來越大；直線 l 向下平移,就 z 的值越

10、來越??；當 B 0 時,將直線 l 向上平移,就 z 的值越來越?。恢本€ l 向下平移,就 z 的值越來越大；5、明確線性規(guī)劃中的幾個目標函數(shù)（方程）的幾何意義：（1） z ax by ,如 b 0,直線在 y 軸上的截距越大,z 越大,如 b 0,直線在 y 軸上的截距越大,z 越小 . （2）y xm表示過兩點x y,n m 的直線的斜率,特殊y表示過原點和,n m 的直線的斜率 . . nx（3）txm2yn2表示圓心固定,半徑變化的動圓,也可以認為是二元方程的掩蓋問題（4）yxm2yn2表示x y 到點 0,0 的距離 . （5）Fcos ,sin；（6）dAx 0By 02C；2 A

11、B（7）a2ab2 b ；x2+y2=1 上的點cos,sin及余弦【點撥】：通過構造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓定理進行轉化達到解題目的；B 2. 三角變換：三角函數(shù)式的恒等變形或用三角式來代換代數(shù)式稱為三角變換三角恒等變形是以同角三角公式,誘導公式,和、差、倍、半角公式,和差化積和積化和差公式,萬能公式為基礎三角代換是以三角函數(shù)的值域為依據(jù),進行恰如其分的代換,使代數(shù)式轉化為三角式,然后再使用上述諸公式進行恒等變形,使問題得以解決三角變換是指角 “ 配” 與“ 湊” 、函數(shù)名 切割化弦 、次數(shù) 降與升 、系數(shù) 常值“1” 和 運算結構 和與積 的變換,其核心是“ 角的變換 ” .角

12、的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換 . 變換化簡技巧：角的拆變,公式變用,切割化弦,倍角降次,“平方消元等 . 詳細地：1” 的變幻,設元轉化,引入輔角,（1）角的“ 配” 與“ 湊” ：把握角的“ 和” 、“ 差” 、“ 倍” 和“ 半” 公式后,仍應留意一些配湊變形 技巧,如下：22,22；22；22； ；2,2222222, 2；154530 ,754530 ；學習必備 精品學問點等. 4 2 4（2）“ 降冪” 與“ 升冪” （次的變化）2 2 2 2利用二倍角公式 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 和二

13、倍角公式的等價變形sin 2 1 cos2,cos 2 1 sin 2,可以進行“ 升” 與“ 降” 的變換,即“ 二次” 與“ 一次”2 2的互化 . （3）切割化弦（名的變化）利用同角三角函數(shù)的基本關系,將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù),以便于解題 . 常常用的手段是“ 切化弦” 和“ 弦化切” .（4）常值變換常值1 , 22 2,3 3,3 2,1, 3可作特殊角的三角函數(shù)值來代換. 此外,對常值“ 1” 可作如下代. 換：1sin2x2 cosx2 secxtan2xtanxcotx2sin 30tan4sin2cos0等. （5）引入幫助角一般的,asinbcosa2b2aab

14、2sinabb2cossin,期中22cosaab2,sinabb2, tanb. 22a特殊的, sinAcosA2 sinA4; sinx3 cosx2sinx3,3sinxcosx2sinx6等. （6）特殊結構的構造構造對偶式,可以回避復雜三角代換,化繁為簡. 舉例：A2 sin 202 cos 50sin 20 cos50,B2 cos 202 sin 50cos20 sin50可以通過AB2sin70 ,AB1sin 70兩式和,作進一步化簡. 2（7）整體代換舉例： sinxcosxm 2sinm , sinxcos 2x m 1n ,可求出 sincos,cossin整體值,作

15、為代換之用sinB 3. 三角形中的三角變換三角形中的三角變換,除了應用公式和變換方法外,仍要留意三角形自身的特點1 角的變換. 由于在ABC 中, ABC（三內(nèi)角和定理） ,所以任意兩角和： 與第三個角總互補,任意兩半角和 與第三個角的半角總互余銳角三角形： 三內(nèi)角都是銳角；三內(nèi)角的余弦值為正值；任兩角和都是鈍角；任意兩邊的平方和大于第三邊的平方tanB. CtanCtanA1即, sinAsinBC ； cosAcos BC ； tanAtanBC sinAcosB2C；cosAsinB2C；tanAcotB2C. 222tan 2 三角形邊、角關系定理及面積公式,正弦定理,余弦定理面積公

16、式：S1sh a1absinCrpp papapa . 22其中 r 為三角形內(nèi)切圓半徑,p為周長之半tanAtanB222222 3 對任意ABC ,；在非直角ABC 中, tanAtanBtanCtanAtanBtanC 學習必備精品學問點B3. 4 在ABC 中,熟記并會證明：*1.A,B ,C 成等差數(shù)列的充分必要條件是B60*2.ABC 是正三角形的充分必要條件是A,B,C 成等差數(shù)列且a b c 成等比數(shù)列*3. 三邊a b c 成等差數(shù)列2bac2sinAsinBsinCtanAtanC1；223*4. 三邊a b c 成等比數(shù)列b2acsin2AsinBsinC ,B3. 5

17、銳角ABC 中,AB2sinAcos ,sinBcosC,sinCcosA,a2b22 c ；sin A sin B sin C cos A【摸索】：鈍角 ABC 中的類比結論cosBcosC . 6 兩內(nèi)角與其正弦值：在ABC 中,abA2By2sinAsinBAcos2Bcos2A ,. 7 如ABC,就xz22yzcos2 xzcosB2 xycos CB 4. 三角恒等與不等式組一sin 33sin4sin3,cos34cos33cossin2sin2sinsin2 cos2 costan 3 組二3tan3 tantantan3 tan312 3 tantanAtanBtanCtan

18、AtanBtanCsinBsinC4cosAcosBcosCsinA222cosAcosBcosC14sinAsinBsinC222sin2Asin2Bsin2C22cosAcosBcosC 組三 常見三角不等式1 如 x 0, ,就 sin x x tan x ；22 如 x 0, ,就 1 sin x cos x 2；23 | sin x | |cos x 1；4 f x sin x在 ,0 上是減函數(shù)；xB5. 概率的運算公式：A 包含的基本領件的個數(shù)古典概型：P A ；基本領件的總數(shù)等可能大事的概率運算公式：p A m card A ；n card I 互斥大事的概率運算公式：P A+

19、B P A+ P B ；對立大事的概率運算公式是：P A =1 P A ；獨立大事同時發(fā)生的概率運算公式是：P A.B P A. P B ；獨立大事重復試驗的概率運算公式是：k k n kP k C P 1 P 是二項綻開式 1 P+ P n的第 k+1 項. 幾何概型：如記大事 A=任取一個樣本點,它落在區(qū)域 g ,就 A的概率定義為g 的測度 構成大事 A 的區(qū)域長度（面積或體積等）P A 的測度 試驗的全部結果構成的區(qū)域長度（面積或體積等）留意： 探求一個大事發(fā)生的概率,學習必備精品學問點 分類或分步 轉化思想處理： 把所求的大事常應用等價轉化思想和分解轉化為等可能大事的概率 常常采納排

20、列組合的學問大事的概率, 轉化為相互獨立大事同時發(fā)生的概率； ；轉化為如干個互斥大事中有一個發(fā)生的概率；利用對立看作某一大事在 n 次試驗中恰有 k 次發(fā)生的概率, 但要注意公式的使用條件. 大事互斥是大事獨立的必要非充分條件,反之,大事對立是大事互斥的充分非必要條件.【說明】：條件概率 ：稱PB|A PAB為在大事 A 發(fā)生的條件下,大事B 發(fā)生的概率；PA留意： 0P B A1； PB C|A=PB|A+PC|A；B6. 排列、組合（1）解決有限制條件的 有序排列,無序組合 問題方法是：位置分析法直接法：用加法原理（分類）元素分析法插入法（不相鄰問題）用乘法原理（分步）捆綁法（相鄰問題）間

21、接法：即排除不符合要求的情形 一般先從特殊元素和特殊位置入手 . （2）解排列組合問題的方法有：特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求,再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置）；間接法（對有限制條件的問題,先從總體考慮,再把不符合條件的全部情形去掉）；相鄰問題捆綁法 （把相鄰的如干個特殊元素“ 捆綁” 為一個大元素,最終再“ 松綁” ,將特殊元素在這些位置上全排列）；然后再與其余“ 一般元素” 全排列,不相鄰 相間 問題插空法 （某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采納插空法,即先支配好沒有限制元條件的元素,然后再把有限制條

22、件的元素按要求插入排好的元素之間）；多排問題單排法；多元問題分類法；有序問題組合法；選取問題先選后排法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采納隔板法；. 涂色問題先分步考慮至某一步時再分類. n 組問題別忘除以n . （3）分組問題：要留意區(qū)分是平均分組仍是非平均分組,平均分成B7. 最值定理 , x y 0, 由 x y2 xy,如積 xy P 定值 ,就當 x y時和x y 有最小值 2 p ； , x y 0, 由 x y2 xy,如和 x y S 定值 ,就當 x y 是積 xy有最大值 1 s . 242 2【推廣】：已知 x, y R,就有 x y x y 2 xy . （1）如積

23、 xy 是定值,就當 | x y | 最大時,| x y | 最大；當 | x y | 最小時,| x y | 最小 . （2）如和 | x y | 是定值,就當 | x y | 最大時,| xy 最??；當 | x y | 最小時,| xy 最大 . 已知 a x b y R,如 ax by 1,就有：1 1 1 1 by ax 2 ax by a ba b 2 ab a b x y x y x y a x b y R,如 a b 1 就有：x y x y ay bx a b 2 ab a b 2x y x yB8. 求函數(shù)值域的常用方法：配方法：轉化為二次函數(shù)問題,利用二次函數(shù)的特點來求解；

24、m n 上的最值；二是求區(qū)間定（動）,對【點撥】：二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間稱軸動（定）的最值問題；求二次函數(shù)的最值問題,勿忘數(shù)形結合,留意開口方向和對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系 . y學習必備精品學問點逆求法：通過反解,用y 來表示 x ,再由 x 的取值范疇,通過解不等式,得出y 的取值范疇,型如axb,xm n , 的函數(shù)值域；cxd換元法： 化繁為間, 構造中間函數(shù), 把一個較復雜的函數(shù)變?yōu)楹啙嵰浊笾涤虻暮瘮?shù),其函數(shù)特點是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型,通過代換構造簡潔求值域的簡潔函數(shù),再求其值域；三角有界法： 直接求函數(shù)的值域困難時,可以利用已學過函數(shù)的有

25、界性,如轉化為只含正弦、余弦的函數(shù),再運用其有界性來求值域；不等式法： 利用基本不等式 a b 2 ab a b R 求函數(shù)的最值, 其題型特點解析式是和式時要求積為定值, 型如 y x k k 0 ,解析式是積時要求和為定值,不過有時必要用到拆項、添項和兩邊平方等技x巧；單調性法：依據(jù)函數(shù)的單調性求值域,常結合導數(shù)法綜合求解；數(shù)形結合法： 函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義,可依據(jù)函數(shù)的幾何意義,如斜率、 距離、肯定值等,利用數(shù)與形相互協(xié)作的方法來求值域；分別常數(shù)法： 對于分子、 分母同次的分式形式的函數(shù)求值域問題,的形式,進而可利用函數(shù)單調性確定其值域把函數(shù)分別成一個常數(shù)和一個分式和判別式法

26、：對于形如ya x2b xc 1（a ,a 不同時為 0 ）的函數(shù)常采納此法a x2b xc 2【說明】：對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用,但這類題型有時也可以用其它方法進行 求解,不必拘泥在判別式法上,也可先通過部分分式后,再利用均值不等式：1.ykb2 x型,可直接用不等式性質；. 2.y2 xbxn型,先化簡,再用均值不等式；mx3.y2 xm xn型,通常用判別式法；x2mxn4.y2xm xnn型,可用判別式法或均值不等式法；mx. 導數(shù)法：一般適用于高次多項式函數(shù)求值域. B9. 函數(shù)值域的題型 一 常規(guī)函數(shù)求值域：畫圖像,定區(qū)間,截段. 常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù),二次函

27、數(shù),反比例函數(shù),指數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù),對號函數(shù) 二 特別規(guī)函數(shù)求值域：想法設法變形成常規(guī)函數(shù)求值域. 解題步驟： 1 換元變形；2 求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值范疇；3 畫圖像,定區(qū)間,截段； 三 分式函數(shù)求值域：四種題型x 的范疇解不等式求y 的范疇 . 1ycxda0：就yc且 yR . ax cxb da2yx2：利用反表示法求值域；先反表示,再利用axb3y2x223x2：6xx1R . y2x1x2x2x1,就y1且y1且 y2x13x13x1234 求yxx 12xx11的值域,當 xyR時,用判別式法求值域；2yx2x110,y224 y y10值域 . 2 yxy2x2 四

28、 不行變形的雜函數(shù)求值域：學習必備精品學問點. 利用函數(shù)的單調性畫出函數(shù)趨勢圖像,定區(qū)間,截段判定單調性的方法：挑選填空題首選復合函數(shù)法,其次求導數(shù)；大題首選求導數(shù),其次用定義；詳情見單 調性部分學問講解 . 五 原函數(shù)反函數(shù)對應求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域,原函數(shù)值域等于反函數(shù)定義域 . 六 已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程,將求出的以字母形式表示的值域與已知值域對比求字母取值或范疇. 2b2ab ,B10. 應用基本不等式求最值的“ 八種變形技巧”：湊系數(shù)（乘、除變量系數(shù)）. 例 1. 當 0 x4時,求函的數(shù)yx82 x 最大值 . 湊項（加、減常數(shù)項）：例

29、2. 已知x5,求函數(shù)f x 4 x2415的最大值 . 4x調整分子：例3. 求函數(shù)f x x27x10 x1的值域；x1 變 用 公 式 ： 基 本 不 等 式a2bab 有 幾 個 常 用 變 形 ：a22b2ab ,aa22b2a2b,a22b2a2b2. 前兩個變形很直接,后兩個變形就不易想到,應重視；例4. 求函數(shù)y2x152 1x5的最大值；22連用公式：例5. 已知ab0,求ya216b的最小值；b a對數(shù)變換：例6. 已知x1 , 2y1,且 xye ,求t2 lny的最大值；三角變換：例7. 已知0yx2,且 tanx3tany ,求 txy 的最大值；常數(shù)代換（逆用條件）

30、：例 8. 已知a0,b0,且a2 b1,求t11的最小值 . abB11. “ 單調性” 補了“ 基本不等式” 的漏洞：平方和為定值如x2y2a （ a 為定值,a0）,可設xacos,yasin,其中 02. 1f x y , xyasinacos2 sin4在0,1,5,2上 是 增 函 數(shù) , 在441,5上是減函數(shù)；44g x y , xy1asin 2在0,1,3,5,7,2 上是增函數(shù), 在1 4,3,5,7上是減24444444函數(shù)；m x y11xxyysincos.令tsincos2 sin4,其中xyasincost2 ,1 1 , 1 由t 1 , 22sincos,得

31、2sint2 cos,從而m x y , 2 t121 t在 2,1 1,11, 2 上是減函數(shù) . a t2a t和為定值如 xyb （ b 為定值,b0）,就ybx .g x yxyx2bx 在 ,b上是增函數(shù),在b,上是減函數(shù)；22學習必備 精品學問點 m x y 1 1 x y2 b . 當 b 0 時,在 ,0,0, b 上是減函數(shù),在 b b , , , 上x y xy x bx 2 2是增函數(shù)；當 b 0 時,在 , , , b 上是減函數(shù),在 b,0,0, 上是增函數(shù) .2 2 n x y , x 2y 22 x 22 bx b 在 2 , b 上是減函數(shù),在 b , 上是增函

32、數(shù)；2 2積為定值如 xy c（c為定值,c 0）,就 y c .x f x y , x y x c. 當 c 0 時,在 c ,0,0, c 上是減函數(shù),在 , c , c , 上是增x函數(shù)；當 c 0 時,在 ,0,0, 上是增函數(shù)； m x y , 1 1 x y 1 x c . 當 c 0 時 , 在 c , 0 , 0 , 上 是 減 函 數(shù) , 在 x y xy c x , c , c , 上是增函數(shù)；當 c 0 時,在 ,0,0, 上是減函數(shù)；2 n x y x 2y 2x 2 c2 x c 22 c 在 , c ,0, c 上是減函數(shù),在 c , 0, c , 上是x x增函數(shù)

33、 . 倒數(shù)和為定值如1 1 2（ d 為定值,1 1 1）,就 y c . 成等差數(shù)列且均不為零,可設公差為 z ,其中 z 1,x y d x d y x d就1 1 z , 1 1 z , 得 x d , y d . . x d y d 1 dz 1 dz f x x y 2 d2 2 . 當 d 0 時,在 , 1, 1,0 上是減函數(shù),在 0, 1, 1, 上是增函1 d z d d d d數(shù)；當 d 0 時,在 , 1 , 1 ,0 上是增函數(shù),在 0, 1 , 1 , 上減函數(shù)；d d d d2 g x y xy d2 2 . . 當 d 0 時,在 , 1 , 1 ,0 上是減函

34、數(shù),在 0, 1 , 1 , 上是增函1 d z d d d d數(shù)；當 d 0 時,在 , 1, 1,0 上是減函數(shù),在 0, 1, 1, 上是增函數(shù)；d d d d2 2 2 n x y , x 2y 2 2 d 2 d z2 2 1. . 令 t d z 2 21,其 中 t 1 且 t 2,從 而 d z 12 2n x y t 2 d t2 2t 24 d4 在 1,2 上是增函數(shù),在 2, 上是減函數(shù) . tB12. 懂得幾組概念*1. 廣義判別式設 f x 是關于實數(shù) x 的一個解析式,a b , c 都是與 x 有關或無關的實數(shù)且 a 0,就 b 24 ac 0 是2方程 a f

35、 x bf x c 0 有實根的 必要條件 ,稱“” 為廣義判別式 . *2. 解決數(shù)學問題的兩類方法：一是從詳細條件入手 , 運用有關性質 , 數(shù)據(jù) , 進行運算推導 , 從而使數(shù)學問題得以解決；二是從整體上考查命題結構 , 找出某些本質屬性 , 進行恰當?shù)暮怂?, 從而使問題簡潔解決 , 這一方法稱為定性核算法 . *3. 二元函數(shù)設有兩個獨立的變量 x 與 y 在其給定的變域中 D 中,任取一組數(shù)值時, 第三個變量 Z 就以某一確定的法就有唯獨確定的值與其對應,那末變量Z稱為變量 x 與 y 的二元函數(shù) . 記作：Z f x y . 其中 x 與 y 稱學習必備 精品學問點為自變量,函數(shù)

36、 Z 也叫做因變量,自變量 x 與 y 的變域 D 稱為函數(shù)的定義域 . 把自變量 x 、y 及因變量 Z 當作空間點的直角坐標,先在 xoy 平面內(nèi)作出函數(shù) Z f x y 的定義域 D ；再過D域中得任一點 M x y 作垂直于 xoy 平面的有向線段 MP ,使其值為與 , x y 對應的函數(shù)值 Z ；當 M 點在 D 中變動時,對應的 P 點的軌跡就是函數(shù) Z f , x y 的幾何圖形 . 它通常是一張曲面,其定義域 D 就是此曲面在 xoy 平面上的投影 . *4. 格點在直角坐標系中,各個坐標都是整數(shù)的點叫做格點（又稱整數(shù)點） . 在數(shù)論中, 有所謂格點估量問題 . 在直角坐標系

37、中, 假如一個多邊形的全部頂點都在格點上,這樣的多邊形叫做格點多邊形 . 特殊是凸的格點多邊形,它是運籌學中的一個基本概念 . *5. 間斷點我們通常把間斷點分成兩類：假如 x 是函數(shù) 0 f x 的間斷點,且其左、右極限都存在,我們把 x 稱為 0函數(shù) f x 的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點,稱為其次類間斷點 . *6. 拐點連續(xù)函數(shù)上,上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點 . 假如 y f x 在區(qū)間 , a b 內(nèi)具有二階導數(shù),我們可按以下步驟來判定 y f x 的拐點 . 1 求 f x ；2 令 f 0,解出此方程在區(qū)間 , a b 內(nèi)實根；3 對于 2 中解出的每

38、一個實根 0 x ,檢查 f x 在 x 左、右兩側鄰近的符號,如符號相反, 就此點是拐點,如相同,就不是拐點 . *7. 駐點曲線 f x 在它的極值點 0 x 處的切線都平行于 x 軸,即 f x 0 0 . 這說明, 可導函數(shù)的極值點肯定是它的駐點 又稱穩(wěn)固點、臨界點 ；但是,反之,可導函數(shù)的駐點,卻不肯定是它的極值點 . *8. 凹凸性定義在D上的函數(shù) f x ,假如滿意： 對任意 x x 2 D 的都有 f x 1 x 21 f x 1 f x 2 ,就稱是 f x 上2 2的凸函數(shù) . 定義在 D 上的函數(shù)假如滿意： 對任意的 x 1 , x 2 D 都有 f x 1 x 21 f

39、 x 1 f x 2 ,就稱 f x 是 D 上2 2的凹函數(shù) . 【注】：一次函數(shù)的圖像（直線）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等號成立）. 如曲線弧上每一點的切線都位于曲線的下方,就稱這段弧是凹的；如曲線弧上每一點的切線都位于曲線的上方,就稱這段弧是凸的 . 連續(xù)曲線凹與凸部分的分界點稱為曲線的拐點 . B13. 明白幾個定理*1. 拉格朗日中值定理 :假如函數(shù) y f x 在閉區(qū)間 , a b 上連續(xù),在開區(qū)間 , a b 內(nèi)可導,那末在 , a b 內(nèi)至少有一點 c ,使f b f a b a f c 成立 . 這個定理的特殊情形,即：f b f a 的情形 . 描述如下：如 x 在閉

40、區(qū)間 , a b 上連續(xù), 在開區(qū)間 , a b 內(nèi)可導, 且 b ,那么在 , a b 內(nèi)至少有一點 c ,使 0 成立 . *2. 零點定理 ：設函數(shù) f（x）在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù), 且 f a f b 0那么在開區(qū)間 a , b 內(nèi)至少有函數(shù) f x 的一個零點,即至少有一點（ a b ）使 f 0*3. 介值定理 ：設函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù),且在這區(qū)間的端點取不同函數(shù)值,f a A , f b B,那么對于 A, B之間任意的一個數(shù) C ,在開區(qū)間 a , b 內(nèi)至少有一點,使得 f C（ a b ）*4. 夾逼定理 ：設當 0| x x 0 |時,有 g

41、x f x h x ,且 lim g x lim h x A,就必有 lim f x A .x x 0 x x 0 x x 0【注】：| x x 0 |：表示以 x 為的極限,就 | x x 0 | 就無限趨近于零 （為最小整數(shù)）C、 1012,思維拓展題,稍有難度,要在方法切入上著力學習必備 精品學問點C1.線段的定比分點公式設P x y 1,P x 2,y 2,P x y , 是線段PP 的分點,是實數(shù),且PP 1PP （或P2P= 1 P 2 P ）,就xx 1x 2OPOP 1OP 2OPtOP 11t OP （2t11）yBxAx 2x 31yy 1y211y 2OP推廣 1：當1時

42、,得線段P 1P 2的中點公式：yy 12x 1x 2x2推廣 2：AM就PMPAPB（對應終點向量） MB1x 1三角形重心坐標公式：ABC的頂點Ax 1,y 1,Bx2,y2,Cx3,y3,重心坐標Gx ,：y 13y3y 2留意：在ABC中,如 0 為重心,就OAOBOC0,這是充要條件y3【公式懂得】 ：*1. 是關鍵 1 0 外分 0 -1 外分 0 -11 e=1 pa ex x 2 P 0e|F1F2|, 就P 點軌跡為橢圓；雙曲線： |PF 1|-|PF 2|= 定值 1：雙曲線 d18.1 、判定數(shù)列是基本數(shù)列的方法第 18 題（數(shù)列綜合題）穩(wěn)步作答,步步為營（ 1）判定數(shù)列

43、是否是等差數(shù)列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法 . （2）解題常用判定數(shù)列是等差數(shù)列有以下三種方法：annann1d n2,d為常數(shù)a n1n2 2aa1anknbn,k為常數(shù) 【摸索】：那等比數(shù)列呢？（1）判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法（2）解題常用判定數(shù)列是等比數(shù)列有以下四種方法：anan1 qn2,q為常數(shù),且00logxan （x1）成等比數(shù)列a2 nan1an1n2,anan1an1ancqnc,q為非零常數(shù) 正數(shù)列 a 成等比的充要條件是數(shù)列18. 2、數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法 ：等差數(shù)列求和公式. 等比數(shù)列求和公式.

44、 kn1k3nn12kn1kn n1,n2n n12n1,k226k11352n1n2123252n2n12學習必備n2精品學問點1 3n411351n12 【特殊聲明】 ：運用等比數(shù)列求和公式,務必檢查其公比與1 的關系,必要時分類爭論. （2）分組求和法（3）倒序相加法（4）錯位相減法（5）裂項相消法 ：假如數(shù)列的通項可“ 分裂成兩項差” 的形式,且相鄰項分裂后相關聯(lián),那么常選用裂項 相消法求和 . 常用裂項形式有：111n11；1k1 1 k nn1k；. n nnn n1k2111k11k1 1；1k11k11k1k1kk111；k22kk21kn n1n2111n1n2；n11；12

45、n n1n1.n.n1.2n1n12nn1；nmm C n1CmCm1Cm1；anS nS n1n 2；Cm1Cnnnnn11AnCC1B1BAna1ba1bab；AnBAnC n1n1n1n；用例：a nn212n1n1n nn 1 2n n12n212an2n 2n 21 112111 11 2n2n2 n（6）通項轉換法如一階線性遞歸數(shù)列1ankan1b k0,k1）,就總可以將其改寫變形成如下形式：ankb1kan1kbn 2 ,于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項公式；18.3 、數(shù)列通項求解思路：由非遞推關系求通項定義法：依據(jù)等差等比數(shù)列的等價條件,套用公式. ,12.公式法：已知S

46、 即a 1a 2anf n 求a 用作差法：na nS 1,n1n2. S nS n1,已知a 1a2a nf n 求a 用作商法：anf1, f n nnf n1由遞推式求數(shù)列通項由遞推式an1anf n ,求a 用迭加法 . 先引入可化簡幫助數(shù)列,再由遞推式an1f n ,求a 用迭乘法,仍可以用迭代法. a na nn1a n1a n1a 2f n f n1f n2f1（迭乘法 ）aana n2a 1a nf n1 a n1f n1 f n2 a n2遞推式為f n1f n2f n3f1 a 1（迭代法 ）an 1pa nfn,可以作如下詳細分解,均可用構造法求解學習必備 精品學問點求目

47、標通項 . 類型 1 a n 1 Aa n D 常數(shù) A D 0 變形為 a n 1 DA a n DA 1 A 1可用解題途徑：轉化等差、等比數(shù)列；逐項選代；消去常數(shù) n 轉化為 a n 2 Pa n 1 qa n 的形式,再用特點根方法求 a ； a n c 1 c 2 P n 1（公式法）,c 1,c 2 由 a 1,a 2 確定轉化等差、等比：a n 1 x P a n x a n 1 Pa n Px x x rP 1選代法：a n Pa n 1 r P Pa n 2 r ra n a 1 r P n 1 r a 1 x P n 1xP 1 P 1n 1 n 2P a 1 P r Pr

48、 r用特點方程求解：a n 1 Pa n r相減,a n 1 a n Pa n Pa n 1 a n 1（P 1）a n Pa n 1a n Pa n 1 r由選代法推導結果：c 1 r,c 2 a 1 r,a n c 2 P n 1c 1（a 1 r）P n 1 r1 P P 1 P 1 1 P類型 2 a n 1 Aa n Cn D 常數(shù) A C 0 變形為a n 1 C n 1 C A 12 D A a n C n C A 12 D A 1 A 1 A 1 A 1類型 3 a n 1 Aa n Bt nD 常數(shù) A B ,t 0, 且 t 1 變形為B n 1 D B n Da n 1

49、t A a n t A t A 1 A t A 1類型 4 a n 1 Aa n Bt nCn D 常數(shù) A B C ,t 0, 且 t 1 變形為B n 1 C C A 1 D B n C C A 1 Da n 1 t n 1 2 A a n t n 2 A t A 1 A 1 A t A 1 A 1S 1 n 1遞推式為 S 與 a 的關系式 或 S n f a n ,可利用 a n 進行求解 . S n S n 1 n2遞推式為 a n 1 pa n p q r 0 或 a n 1 a n xa n 1 ya x y 0 ,可變形為 1 r 1 q,或qa n r a n 1 p a n

50、 p1 x 1 1. a n 1 y a n y對于數(shù)列 a n 2 Aa n B,a 1 m n N * , A B C D 是常數(shù)且 C 0, AD BC 0）其特點方程為Ca n Dx Ax B,變形為 Cx 2 D A x B 0 *. Cx D如* 有二異根 ,就可令 a n 1 c a n（其中 c 是待定常數(shù)）,代入 a a 的值可求得a n 1 a nc 值 . 這樣數(shù)列 a n 是首項為 a 1,公比為 c 的等比數(shù)列,于是這樣可求得 a . a n a 1如* 有二重根,就可令 1 1c（ 其中 c 是待定常數(shù)） ,代入 a a 的值可 1 2a n 1 a n求得 c 值

51、. 這樣數(shù)列 1 是首項為 1,公差為 c 的等差數(shù)列,于是這樣可求得 a . a n a n遞推式為 a n 1 pa n m p 0 , a 1 0 ,可變形為 lg a n 1 lg p m lg a . 遞推式為 a n 2 pa n 1 qa n（其中 p q 均為常數(shù)）,可把原遞推公式轉化為ana n2n學習必備精品學問點sa n1tan1sa n,其中,s t 滿意stp,特點方程為2 xpxq *. stq2pa如* 有二異根,就可令anc 1nc2nc c 是待定常數(shù)）1 2如 * 有二重根,就可令anc 1nc 2nc c 是待定常數(shù)）1qan（p、q 為二階常數(shù)）用特證根

52、方法求解詳細步驟：寫出特點方程x2Pxq（2 x 對應an2,x 對應an1）,并設二根x1, x2如x 1x2可設an.c1xn 1c2xn,如x 1x2可設anc1c2nxn 1；2由初始值a1,a2確定c1,c2雙數(shù)列型可依據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關系,敏捷采納累加 、 累乘 、化歸 等方法求解 .【說明】：一些特殊數(shù)列,如周期數(shù)列,不肯定能求通項,但由遞推關系,可得出周期等有效量,同樣也可確定數(shù)列中的 a n 1 與 n 對應關系；階差數(shù)列,如二階等差等比數(shù)列等；仍有些數(shù)列,只是起到過渡作用,如數(shù)列a n, 通過數(shù)列 建立聯(lián)系,這時 就不肯定可求通項,其實也不肯定要求出來 . 18.4

53、 、數(shù)列中包蘊的幾種數(shù)學思想：1、函數(shù)的思想2、等價轉化的思想：（1）將“ 非等差、等比數(shù)列” 轉化為“ 等差數(shù)列、等比數(shù)列” ,如：錯位相減（2）a 與 nS n之間的轉化3、分類爭論的思想：（1）由s 求an.a nS ns n11211,或s nna q11S nnna q（2）等比數(shù)列的求和公式：S na 11qn qa 11a q q q1q（3）項數(shù) n 分奇、偶爭論 . 4、從特殊到一般的思想（“ 歸納、猜想” ）從一般到特殊的思想：nN*時成立,就n=1,2 也應當均成立 . 如： 2022 江蘇高考第20 數(shù)列題 . 5、解方程組思想：an、a 1、s n、d、n五個變量“

54、知三求二”6、回來基本量的思想：首項、公差打算等差數(shù)列；首項、公比打算等比數(shù)列7、遞推的思想：如：已知s n3 a n1,求an析：s n13 a n11n2 ,兩式相減得：a n13,an2所以 a n為等比數(shù)列再如：求數(shù)列通項時的疊加法、疊乘法；求數(shù)列前n 和時,總體指導思想：欲求和,先爭論通項（錯位相減法、倒序相加法、分組求和法、裂項相消法）. 總之,對于數(shù)列章節(jié)的學習,不光是把握幾個公式,而更 要很好地從數(shù)學的思想方法 . 18.5 、攻克數(shù)列不等式證明問題的如干策略 策略一：放縮法數(shù)列問題的兩大特點是求和與遞推,因此要證關于項和或通項的不等式,可先查找關于通項或相鄰兩項的不等式,這便

55、是放縮的思想,即先放縮再求和或迭代；1. 利用最簡潔的不等式關系進行放縮 2. 利用由條件得到的不等關系進行放縮 3. 利用由基本不等式得到的不等關系進行放縮 4. 利用由倒數(shù)（函數(shù)單調性）得到的不等關系進行放縮 5. 利用由二項式定理得到的不等關系進行放縮 策略二：利用數(shù)列的單調性1. 由定義確定數(shù)列的單調性學習必備 精品學問點2. 構造函數(shù)、利用導數(shù)確定數(shù)列的單調性策略三：數(shù)學歸納法第 19 題（實際應用題）19.1 、解應用題的一般思路可表示如下：人難我不畏難,人易我不大意實際問題數(shù)學化數(shù)學問題轉化為數(shù)學問題問回到為實際問題問題題解解決答實際問題結論數(shù)學問題結論19.2 、解應用題的一般

56、程序（1）讀 : 閱讀懂得文字表達的題意,分清條件和結論,理順數(shù)量關系,這一關是基礎（2）建 : 將文字語言轉化為數(shù)學語言,利用數(shù)學學問,建立相應的數(shù)學模型 熟識基本數(shù)學模型,正確進行建“ ?！?是關鍵的一關（3）解: 求解數(shù)學模型, 得到數(shù)學結論一要充分留意數(shù)學模型中元素的實際意義,更要留意巧思妙作,優(yōu)化過程（4）答 : 將數(shù)學結論仍原給實際問題的結果 19.3 、中學數(shù)學中常見應用問題與數(shù)學模型（1）優(yōu)化問題 : 實際問題中的“ 優(yōu)選” “ 掌握” 等問題,常需建立“ 不等式模型” 和“ 線性規(guī)劃” 問題 解決（2）猜測問題 : 經(jīng)濟方案、市場猜測這類問題通常設計成“ 數(shù)列模型” 來解決（

57、3）最（極）值問題 : 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設及實際生活中的極限問題常設計成“ 函數(shù)模型” ,轉化為求函數(shù)的最值（4）等量關系問題 : 建立“ 方程模型” 解決（5）測量問題 : 可設計成“ 圖形模型” 利用幾何學問解決20.1 、不等式證明常用方法：1 比較法：其次十題（函數(shù)綜合題）不怕紛雜的代數(shù)推理題作差比較：AB0AB. 步驟： a. 作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差. b. 變形：對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和. c . 判定差的符號：結合變形的結果及題設條件判定差的符號. 【留意】：如兩個正數(shù)作差比較有困難,可以通過它們的平方差來比較大小求商比較法：要證ab ,且

58、 b0 ,只要證a1. b2 綜合分析法：由因導果,執(zhí)果索因；要證 ,只需證 ,只需證 3 利用基本不等式 柯西不等式 4 反證法：對于“ 至多” “ 至少” 問題、存在性問題、否定形式的命題等,總之“ 正難就反”5 放縮法：1. 定義： 指如直接證明不等式較困難,而借助一個或多個中間變量通過適當?shù)姆糯蠡蚩s小,而達到證明不等式成立的一種方法 . 即證明 A B ,可構造出函數(shù)式 C ,使 A C ,且 C 0, f x在區(qū)間 p, q上的最大值 M,最小值 m, 令 x0= 1 p+q2如b p, 就 f p=m, f q=M; 2 a如 pb x0, 就 f b =m, f q=M; 2 a

59、 2 a如 x0b q, 就 f p= M, f b =m; 2 a 2 a如bq, 就 f p= M, f q=m2 a2 二次方程 f x= ax 2+bx+c=0 的實根分布及條件1 方程 f x=0 的兩根中一根比 r 大,另一根比 r 小 af r 0; b 2 4 ac ,02 二次方程 f x=0 的兩根都大于 r b r ,2 aa f r 0b 2 4 ac ,03 二次方程 f x=0 在區(qū)間 p, q 內(nèi)有兩根 p2 ba q ,a f q 0 ,a f p 0 ;4 二次方程 f x=0 在區(qū)間 p, q 內(nèi)只有一根 f p f q0, 或 f p=0 檢驗 或 f q

60、=0 檢驗 檢驗另一根如在 p, q 內(nèi)成立a f p 05 方程 f x=0 兩根的一根大于 p, 另一根小于 q pqa f q 03 二次不等式轉化策略1 二次不等式 f x= ax 2+bx+c0 的解集是： , ,+ a0 時, f f | + b | + b |, 2 a 2 a當 a0 時, f | + b |; 2 a 2 a3 當 a0 時,二次不等式 f x0 在 p, q恒成立 2 ba p ,或 p2 ba q ,或 2 ba p ;f p ,0 f b 0 , f q 0 ;2 a4 f x0 恒成立a,0 或0 ,ab學習必備x精品學問點a0 ,或0 ,ab0,0f