2022年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料復(fù)習(xí)筆記

1、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記（整頓于-8）函數(shù)圖象1、對稱：y=f（x）與y=f（-x）有關(guān)y軸對稱，例如：與（）有關(guān)y軸對稱y=f（x）與y= f（x）有關(guān)x軸對稱，例如：與有關(guān)x軸對稱y=f（x）與y= f（-x）有關(guān)原點對稱，例如：與有關(guān)原點對稱y=f（x）與y=f（x）有關(guān)y=x對稱，例如：y=10與y=lgx有關(guān)y=x對稱y=f（x）與y= f（x）有關(guān)y= x對稱，如：y=10與y= lg（x）有關(guān)y= x對稱注：偶函數(shù)的圖象自身就會有關(guān)y軸對稱，而奇函數(shù)的圖象自身就會有關(guān)原點對稱，例如：圖象自身就會有關(guān)y軸對稱，的圖象自身就會有關(guān)原點對稱。y=f（x）與y=f（ax）有關(guān)x=對稱（）注：求y

2、=f（x）有關(guān)直線xyc=0（注意此時的系數(shù)要么是1要么是-1）對稱的方程，只需由xy+c=0解出x、y再代入y=f（x）即可，例如：求y=2x+1有關(guān)直線x-y-1=0對稱的方程，可先由x-y-1=0解出x=y+1，y=x-1，代入y=2x+1得：x-1=2（y+1）整頓即得：x-2y-3=02、平移：y=f（x）y= f（x+）先向左（0）或向右（0）或向左（0）或向右（時，則f（x）在a，+）上單調(diào)遞增fmin=f（a）=a2+1（2）當xa時，f（x）=x2x+a+1=（x）2+a+若a時，則f（x）在（，單調(diào)遞減，fmin=f（a）=a2+1當a時，則f（x）在（，上最小值為f（）=

3、+a綜上所述，當a時，f（x）的最小值為a當a時，f（x）的最小值為a2+1當a時，f（x）的最小值為+a運用均值不等式典例：已知x、y為正數(shù)，且x=1，求x的最大值分析：x=（即設(shè)法構(gòu)造定值x=1）=故最大值為注：本題亦可用三角代換求解即設(shè)x=cos，=sin求解，（解略）通過求導(dǎo)，找極值點的函數(shù)值及端點的函數(shù)值，通過比較找出最值。運用函數(shù)的單調(diào)性典例：求t的最小值（分析：運用函數(shù)y=在（1，+）的單調(diào)性求解，解略）三角換元法（略）數(shù)形結(jié)合例：已知x、y滿足x，求的最值5、抽象函數(shù)的周期問題已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）= f（x），求證：f（x）為周期函數(shù)證明：由已知得f（x）= f

4、（x 1），因此f（x+1）= f（x）= （f（x 1）= f（x 1）即f（t）=f（t 2），因此該函數(shù)是以2為最小正周期的函數(shù)。解此類題目的基本思想：靈活看待變量，積極構(gòu)造新等式聯(lián)立求解二、圓錐曲線1、 離心率圓（離心率e=0）、橢圓（離心率0e1）。焦半徑橢圓：PF=a+ex、PF=a-ex（左加右減）（其中P為橢圓上任一點，F(xiàn)為橢圓左焦點、F為橢圓右焦點）注：橢圓焦點到其相應(yīng)準線的距離為雙曲線：PF= |ex+a|、PF=| ex-a|（左加右減）（其中P為雙曲線上任一點，F(xiàn)為雙曲線左焦點、F為雙曲線右焦點）注：雙曲線焦點到其相應(yīng)準線的距離為拋物線：拋物線上任一點到焦點的距離都等于

5、該點到準線的距離（解題中常用）圓錐曲線中的面積公式：（F 、F為焦點）設(shè)P為橢圓上一點，=，則三角形FPF的面積為：b三角形中運用余弦定理整頓即可注：|PF| |PF|cos=b為定值設(shè)P為雙曲線上一點，=，則三角形FPF的面積為：b注：|PF| |PF|sin=b為定值附：三角形面積公式：S=底高=absinC=r（a+b+c）=（R為外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑）=（這就是出名的海倫公式）三、數(shù)列求和裂項法：若是等差數(shù)列，公差為d（）則求時可用裂項法求解，即=（）=求導(dǎo)法： （典例見高三練習(xí)冊p86例9）倒序求和：（典例見世紀金榜p40練習(xí)18）分組求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-1

6、6+5-32+6-分析：可分解為一種等差數(shù)列和一種等比數(shù)列然后分組求和求通項：構(gòu)造新數(shù)列法典例分析：典例見世紀金榜p30例4構(gòu)造新數(shù)列即可四、向量與直線向量（a，b），（c，d）垂直的充要條件是ac+bd=0向量（a，b），（c，d）平行的充要條件是adbc=0附：直線Ax+By+C=0與直線Ax+By+C=0垂直的充要條件是A A+ B B=0直線Ax+By+C=0與直線Ax+By+C=0平行的充要條件是A B -A B=0向量的夾角公式：cos=注1：直線的“到角”公式：到的角為tan=；“夾角”公式為tan=|（“到角”可覺得鈍角，而“夾角”只能為之間的角）注2：異面直線所成角的范疇：（

7、0，注3：直線傾斜角范疇0，）注4：直線和平面所成的角0，注5：二面角范疇：0，注6：銳角：（0，）注7：0到的角表達（0，注8：第一象限角（2k，2k+）附：三角和差化積及積化和差公式簡記S + S = S CS + S = C SC + C = C CC C = S S五、集合1、集合元素個數(shù)的計算card（A）=card（A）+ card（B）+ card（C）card（A）card（）card（CA）+card（ABC）（結(jié)合圖形進行判斷可更為迅速）2、從集合角度來理解充要條件：若AB，則稱A為B的充足不必要條件，（即小的可推出大的）此時B為A的必要不充足條件，若A=B，則稱A為B的充

8、要條件 經(jīng)緯度六、二項展開式系數(shù)：C+C+C+C=2（其中C+ C+ C +=2；C +C+ C+=2）例：求（2+3x）展開式中1、所有項的系數(shù)和2、奇數(shù)項系數(shù)的和3、偶數(shù)項系數(shù)的和措施：只要令x為1或1即可七、離散型隨機變量的盼望與方差E（a+b）=aE+b；E（b）=bD（a+b）=aD；D（b）=0D=E（E）特殊分布的盼望與方差分布：盼望：E=p；方差D=pq二項分布： 盼望E=np；方差D=npq注：盼望體現(xiàn)平均值，方差體現(xiàn)穩(wěn)定性，方差越小越穩(wěn)定。八、圓系、直線系方程通過某個定點（）的直線即為始終線系，可運用點斜式設(shè)之（k為參數(shù)）一組互相平行的直線也可視為始終線系，可運用斜截式設(shè)之

9、（b為參數(shù)）通過圓f（x、y）與圓（或直線）g（x、y）的交點的圓可視為一圓系，可設(shè)為：f（x、y）+g（x、y）=0（此方程不能代表g（x、y）=0）；或f（x、y）+g（x、y）=0（此方程不能代表f（x、y）=0）附：回歸直線方程的求法：設(shè)回歸直線方程為bxa，則bab九、立體幾何（一）1、歐拉公式：V+FE=2（只合用于簡樸多面體）運用歐拉公式解題的核心是列出V、F、E之間的關(guān)系式棱數(shù)E=（每個頂點出發(fā)的棱數(shù)之和）=（每個面的邊數(shù)之和）（常用）2、長方體的三度定理長方體的一條對角線的長的平方等于一種頂點上三條棱的長的平方和推論若對角線與各棱所成的角為、，則：cos+cos+cos=1

10、sin+sin+sin=2若對角線與各面所成的角為、，則：cos+cos+cos=2 sin+sin+sin=13、三角形“四心”重心：三邊中線交點垂心：三邊高線交點內(nèi)心：角平分線交點（內(nèi)切圓圓心）外心：垂直平分線交點（外接圓圓心）若三角形為正三角形，則以上“四心”合稱“中心”引申：若三棱錐三個側(cè)面與底面所成的角相等，則該棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的內(nèi)心若三棱錐三條側(cè)棱與底面所成的角相等，則該棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的外心若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，則該棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的垂心若該三棱錐為正三棱錐，則其頂點在底面的射影為底面三角形的中心4、經(jīng)度緯度九、立體幾何（

11、二）一、“共”的問題1多點共線：先證其中兩點擬定一條直線，然后其他點均在該直線上。舉例：正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于Q，證：B，Q，D1共線。2多線共點：先證兩直線共點，其他的過該點。舉例：三個平面兩兩相交于三條直線，求證：三條交線共點，或互相平行。3多線共面：先找到兩條擬定一種平面，然后證其他的均在平面內(nèi)。舉例：四條直線兩兩相交不共點，求證：四條直線共面。二、“角”的問題1異面直線所成角（0,90：采用平移轉(zhuǎn)化法，構(gòu)造一種含的三角形，由余弦定理求得(請自己補充例子，這個很重要)；2直線與平面所成角0,90：核心是找射影，最后通過垂線、斜線、射影來求所成

12、角。舉例：求正四周體的側(cè)棱與底面所成的角。3二面角0,180：核心是作二面角，措施有定義法、作棱的垂面、三垂線定理和公式法(S=cosS)。舉例：求正四周體的相鄰兩側(cè)面所成角(arccos(1/3).三、“距離”的問題1點面距：可通過定義法或等體積法。舉例：邊長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求A點到平面A1BD的距離()。2線面距：轉(zhuǎn)化為點面距。舉例：邊長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求A1B到平面B1CD的距離()。3異面直線間距離(某些較特殊的，難度不要太大)，例如求正四周體對棱間的距離()。舉例：邊長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求A1B與B1D1的距離()

13、。4.球面距： 它是球面上兩點間的最短距離，求解的環(huán)節(jié)：（1）計算線段AB的長（2）計算A、B所對的球心角（用弧度角表達）（3）計算球大圓在AB間的劣弧舉例：設(shè)地球半徑為R，在北緯45圈上有A、B兩地，沿此緯度圈上A、B兩地間的劣弧長為R，求AB間的球面距。（R）注意：1。在求距離過程中，要體現(xiàn)先證角(把所要的角給找出來)，后求角這兩個環(huán)節(jié)。 2要靈活把握點面距、線面距、線線距(注意：兩異面直線間的距離就等于分別過這兩條直線的平行平面間的距離)、面面距間的轉(zhuǎn)化使用。四、“垂直”的問題1.平面內(nèi)證明兩直線垂直的措施a.勾股定理b.等腰三角形的三線合一c.直徑所對的圓周角d.垂徑定理e直二角的性質(zhì)

14、f.棱形、正方形的對角線互相垂直g.平行直線中一條垂直于第三條直線，則另一條也與第三條垂直2.線面垂直的鑒定（1）線線垂直-線面垂直： （2）線面垂直-線面垂直： （3）直二面角的性質(zhì)： （4）三垂線定理注意：以上幾種措施，實質(zhì)乃是轉(zhuǎn)化思想，在解題中，要把握它們互相間的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，切不可死記硬背。舉例：在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、D1B1的中點，求證：EF平面B1AC.(例子自己再補充)3.面面垂直（1）定義法，求證二面角為90（2）一平面過另一平面的垂線舉例：直線a、b是異面直線，a平面，b平面，ab，求證：4.三垂線定理 （1）cosPAB= cosPAC cos

15、CAB（2）PAC相稱于斜線與平面所成角（3）PBC相稱于二面角（4）（定理）（5）（逆定理）（6）垂線段最短（前提是自平面外同一種點引的所有線段中）（7）最小角定理（波及到不等問題時要想到這里）五、“個數(shù)”的問題（1）空間中到四周體的四個頂點距離都相等的平面?zhèn)€。（7個）（2）過直線外一點有個平面與該直線平行（無數(shù)個）（3）始終線與一平面斜交，則平面內(nèi)有條直線與該直線平行。（0）（4）3條兩兩相交的直線可以擬定個平面（1個或3個）（5）過空間一點，與兩異面直線都平行的平面有條（0或1）（6）3個平面可以把空間分個部分。（4或6或7或8）（7）兩兩相交的4條直線最多可以擬定個平面（6個）（8）兩

16、異面直線成60的角，問過空間一點與它們都成30（45,60,80）的角的直線有條。（1；2；3；4）六、克服思維定勢，辨別平面與空間的問題1在空間中錯誤的命題（1）垂直于同一條直線的兩直線平行（2）平行于同始終線的兩平面平行（3）平行于同一平面的兩直線平行（4）過直線外一點只有一條直線與已知直線垂直（有無數(shù)條）（5）兩個不同平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（對的：不同在任何平面內(nèi)的兩條直線）（6）始終線與一平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則該直線與這個平面垂直（無數(shù)條應(yīng)改成所有的才是對的的）2.對的的命題（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（2）垂直于同一條直線的兩個平面平行（3）兩平面平行，若第三個平面與

17、它們相交且有兩條交線，則兩直線平行（4）兩相交平面同步垂直于第三個平面，則它們的交線垂直于第三個平面七、“正多面體”的問題1正四周體（請掌握有關(guān)的推導(dǎo)措施）（1）每對對棱都是成90的異面直線，中點連線即為公垂線（2）兩異面直線間的距離為a（此時設(shè)a為正四周體棱長）（3）體積為（此時設(shè)a為正四周體外接正方體邊長。即四周體的四個頂點剛好和正方體的某四個頂點重疊）（結(jié)合課本P53：第8題圖形）（4）外接球的半徑為（）（a為四周體的邊長）（5）內(nèi)切球的半徑為（）（a為四周體的邊長）（6）相鄰兩面的二面角為（）（7）以各棱中點為頂點可以得到正八面體，則正八面體的棱長為（）（a為正四周體邊長）2正八面體（

18、1）若它是以正方體和各面中心為頂點得到的，則正方體的邊長為_(a)（a為正八面體的邊長）（2）其體積為（，即為外接正方體體積的）（a為正八面體的邊長）（3）相鄰兩面所成的二面角為_（）.附：簡易邏輯之否認詞：（所謂否認，即事物的對立面）原詞=0(或sinBAB對嗎?32.一般說來，周期函數(shù)加絕對值或平方，其周期減半（如的周期都是, 但）33.函數(shù)是周期函數(shù)嗎？（都不是）34.正弦曲線、余弦曲線、正切曲線的對稱軸、對稱中心你懂得嗎？35.在三角中，你懂得1的變形嗎？（ 這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”的代換有著廣泛的應(yīng)用36.在三角的恒等變形中，要特別注意角的多種變換（如 等）37.你還記得三

19、角化簡題的規(guī)定是什么嗎？項數(shù)至少、函數(shù)種類至少、分母不含三角函數(shù)、且能求出值的式子，一定要算出值來）38.你還記得三角化簡的通性通法嗎？（從函數(shù)名、角、運算三方面進行差別分析，常用的技巧有：切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次）39.你能說出所有特殊角的任意三角函數(shù)值嗎？幾種常用的角的三角函數(shù)值你懂得嗎？（）40.你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？()41.輔助角公式：(其中角所在的象限由a, b 的符號擬定，角的值由擬定)在求最值、化簡時起著重要作用.42.在用反三角函數(shù)表達直線的傾斜角、兩向量的夾角、兩條異面直線所成的角等時，你與否注意

20、到它們各自的取值范疇及意義？ 異面直線所成的角、線面所成的角、二面角的取值范疇依次是. 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范疇依次是 向量的夾角的取值范疇是0， 43.若對嗎？（）；，=， =0=0或=0，=呢？哪些是對的，哪些是錯的。44.若，則，的充要條件是什么？45.共線向量模相等與否等價于向量相等？46.。在已知向量長度求兩向量夾角時注意用此關(guān)系整體求得數(shù)量積。47.若與的夾角，且為鈍角，則cos0)焦點的弦交拋物線于A(x1,y1), B(x2,y2)，則y1y2=-p2, x1x2=?，|AB|= x1+x2+p.79.若A(x1,y1), B(x2,y2)是二次曲線C：F(x,

21、y)=0的弦的兩個端點，則F(x1,y1)=0 且F(x2,y2)=0。波及弦的中點和斜率時，常用點差法作F(x1,y1)-F(x2,y2)=0求得弦AB的中點坐標與弦AB的斜率的關(guān)系。80.作出二面角的平面角重要措施是什么？（定義法、三垂線法、垂面法）三垂線法：一定平面，二作垂線，三作斜線，射影可見.81.求點到面的距離的常規(guī)措施是什么？（直接法、體積變換法、向量法）82.你懂得三垂線定理的核心是什么嗎？(一面四直線，立柱是核心，垂直三處見。)83.立體幾何中常用某些結(jié)論：正四周體的體積公式V=記住了嗎？面積射影定理、“立平斜關(guān)系式”、最小角定理等你熟悉嗎？84.異面直線所成角運用“平移法”

22、求解時，一定要注意平移后所得角是所求角或其補角。85.平面圖形的翻折、立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折、展開前后有關(guān)幾何元素的“不變量”與“不變性”。86.棱錐的頂點在底面的射影何時為底面的內(nèi)心、外心、垂心、重心？87.解排列組合問題的根據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合88.解排列組合問題的規(guī)律是：元素分析法、位置分析法相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序分派問題法；選用問題先排后排法；至多至少問題間接法89.二項式定理中，“系數(shù)最大的項”、“項的系數(shù)的最大值”、“項的二項式系數(shù)的最大值”是同一種概念嗎？90.求二項展開式各項系數(shù)代數(shù)和的有關(guān)問題中的“賦值法”、“轉(zhuǎn)化法”，求特定項的“通項公式法”、“構(gòu)造分析法”你會用嗎？91.“兩個事件對立是這兩個事件互斥的充足不必要條件?！薄叭绻麅蓚€事件是互相獨立事件，那么它們一定不是互斥事件?！薄叭鬉是一隨機事件，則P（A）= P（A）P（）”,“概率等于1的事件一定是必然事件，概率為零的事件一定是不也許事件?！币陨厦}