高一數(shù)學(xué)必修四知識點梳理

1、 高一數(shù)學(xué)必修四知識點梳理高一數(shù)學(xué)必修四學(xué)問點梳理1 【公式一】 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin(2k+)=sin(kZ) cos(2k+)=cos(kZ) tan(2k+)=tan(kZ) cot(2k+)=cot(kZ) 【公式二】 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin(+)=-sin cos(+)=-cos tan(+)=tan cot(+)=cot 【公式三】 任意角與-的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin(-)=-sin cos(-)=cos tan(-)=-tan cot(-)=-cot 【公式四】 利用公式二和公式三可以得到-與的三角

2、函數(shù)值之間的關(guān)系： sin(-)=sin cos(-)=-cos tan(-)=-tan cot(-)=-cot 【公式五】 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin(2-)=-sin cos(2-)=cos tan(2-)=-tan cot(2-)=-cot 【公式六】 /2及3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin(/2+)=cos cos(/2+)=-sin tan(/2+)=-cot cot(/2+)=-tan sin(/2-)=cos cos(/2-)=sin tan(/2-)=cot cot(/2-)=tan sin(3/2+)=-cos cos(3/2+)

3、=sin tan(3/2+)=-cot cot(3/2+)=-tan sin(3/2-)=-cos cos(3/2-)=-sin tan(3/2-)=cot cot(3/2-)=tan (以上kZ) 高一數(shù)學(xué)必修四學(xué)問點梳理2 問題提出 1.函數(shù)是討論兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對于兩個變量,假如當(dāng)一個變量的取值肯定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系. 2.在中學(xué)校內(nèi)里，有這樣一種說法：“假如你的數(shù)學(xué)成果好,那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題.”根據(jù)這種說法,好像同學(xué)的物理成果與數(shù)學(xué)成果之間存在著某種關(guān)系,我們把數(shù)學(xué)成果和物理成果看成是兩個變量,那

4、么這兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎? 3.我們不能通過一個人的數(shù)學(xué)成果是多少就精確地斷定其物理成果能達(dá)到多少,學(xué)習(xí)愛好、學(xué)習(xí)時間、教學(xué)水公平,也是影響物理成果的一些因素,但這兩個變量是有肯定關(guān)系的,它們之間是一種不確定性的關(guān)系.類似于這樣的兩個變量之間的關(guān)系,有必要從理論上作些探討,假如能通過數(shù)學(xué)成果對物理成果進(jìn)行合理估量,將有著特別重要的現(xiàn)實意義. 學(xué)問探究(一)：變量之間的相關(guān)關(guān)系 思索1:考察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系: (1)商品銷售收入與（廣告）支出經(jīng)費; (2)糧食產(chǎn)量與施肥量; (3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡. 這些問題中兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎? 思索2：“名師出高徒”可

5、以解釋為老師的水平越高，同學(xué)的水平就越高，那么同學(xué)的學(xué)業(yè)成果與老師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關(guān)系的（成語）嗎? 思索3:上述兩個變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,稱之為相關(guān)關(guān)系,那么相關(guān)關(guān)系的含義如何? 自變量取值肯定時，因變量的取值帶有肯定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系. 1、球的體積和球的半徑具有() A函數(shù)關(guān)系B相關(guān)關(guān)系 C不確定關(guān)系D無任何關(guān)系 2、下列兩個變量之間的關(guān)系不是 函數(shù)關(guān)系的是() A角的度數(shù)和正弦值 B速度肯定時，距離和時間的關(guān)系 C正方體的棱長和體積 D日照時間和水稻的畝產(chǎn)量AD練:學(xué)問探究(二)：散點圖 【問

6、題】在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的討論中,討論人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù): 其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù). 思索1:對某一個人來說,他的體內(nèi)脂肪含量不肯定隨年齡增長而增加或削減,但是假如把許多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出肯定的規(guī)律性.觀看上表中的數(shù)據(jù),大體上看,隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化? 思索2:為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系,我們需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,通過作圖可以對兩個變量之間的關(guān)系有一個直觀的印象.以x軸表示年齡,y軸表示脂肪含量,你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎? 思索3：上圖叫做散點圖，你能描述一下散點圖的含義嗎? 在平面直角

7、坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖. 思索4:觀看散點圖的大致趨勢,人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系? 思索5：在上面的散點圖中,這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱為正相關(guān).一般地,假如兩個變量成正相關(guān)，那么這兩個變量的變化趨勢如何? 思索6：假如兩個變量成負(fù)相關(guān)，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何?其散點圖有什么特點? 一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域. 一般狀況下兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，類似于函數(shù)的單調(diào)性. 學(xué)問探究(一)：回歸直線 思索1:一組樣本數(shù)據(jù)的平

8、均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心,那么散點圖中樣本點的中心如何確定?它肯定是散點圖中的點嗎? 思索2:在各種各樣的散點圖中,有些散點圖中的點是雜亂分布的,有些散點圖中的點的分布有肯定的規(guī)律性,年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點? 這些點大致分布在一條直線四周. 思索3:假如散點圖中的點的分布,從整體上看大致在一條直線四周,則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線.對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量,其回歸直線肯定通過樣本點的中心嗎? 思索4:對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù),你認(rèn)為其回歸直線是一條還是幾條? 思索5:在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺精確畫出回歸直線?借助計

9、算機(jī)怎樣畫出回歸直線? 學(xué)問探究(二)：回歸方程 在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有相應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程.對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，假如能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較詳細(xì)、清晰地了解兩個相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并依據(jù)回歸方程對總體進(jìn)行估量. 思索1：回歸直線與散點圖中各點的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系? 整體上最接近 思索2:對于求回歸直線方程，你有哪些想法? 思索4：為了從整體上反映n個樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認(rèn)為選用哪個數(shù)量關(guān)系來刻畫比較合適?20.9%某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫 之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計并制作了某6天 賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表： 假

10、如某天的氣溫是-50C，你能依據(jù)這些 數(shù)據(jù)猜測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎? 實例探究 為了了解熱茶銷量與 氣溫的大致關(guān)系,我們 以橫坐標(biāo)x表示氣溫， 縱坐標(biāo)y表示熱茶銷量， 建立直角坐標(biāo)系.將表 中數(shù)據(jù)構(gòu)成的6個數(shù)對 表示的點在坐標(biāo)系內(nèi) 標(biāo)出，得到下圖。 你發(fā)覺這些點有什么規(guī)律? 今后我們稱這樣的圖為散點圖(scatterplot). 建構(gòu)數(shù)學(xué) 所以,我們用類似于估量平均數(shù)時的 思想,考慮離差的平方和 當(dāng)x=-5時，熱茶銷量約為66杯 線性回歸方程： 一般地,設(shè)有n個觀看數(shù)據(jù)如下：當(dāng)a,b使2.三點(3,10),(7,20),(11,24)的 線性回歸方程是()D11.69 二、求線性回歸方程

11、 例2：觀看兩相關(guān)變量得如下表： 求兩變量間的回歸方程解1：列表： 閱讀課本P73例1 EXCEL作散點圖 利用線性回歸方程解題步驟： 1、先畫出所給數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖; 2、觀看散點，假如在一條直線四周，則說明所給量具有線性相關(guān)關(guān)系 3、依據(jù)公式求出線性回歸方程，并解決其他問題。 (1)假如x=3,e=1,分別求兩個模型中y的值;(2)分別說明以上兩個模型是確定性 模型還是隨機(jī)模型. 模型1：y=6+4x;模型2：y=6+4x+e. 解(1)模型1：y=6+4x=6+43=18; 模型2：y=6+4x+e=6+43+1=19.C線性相關(guān)與線性回歸方程小結(jié)1、變量間相關(guān)關(guān)系的散點圖 2、如何利用

12、“最小二乘法”思想求直線的回歸方程 3、學(xué)會用回歸思想考察現(xiàn)實生活中變量之間的相關(guān)關(guān)系 高一數(shù)學(xué)必修四學(xué)問點梳理3 定義： 形如y=xa(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。 定義域和值域： 當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不憐憫況如下：假如a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的全部實數(shù);假如a為負(fù)數(shù)，則x確定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必需根據(jù)q的奇偶性來確定，即假如同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的全部實數(shù);假如同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的全部實數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不憐憫況如下：在x大于0時，

13、函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域 性質(zhì)： 對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種狀況來爭論各自的特性： 首先我們知道假如a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x(p/q)=q次根號(x的p次方)，假如q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，假如q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是0，+)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時，設(shè)a=-k，則x=1/(xk)，明顯x0，函數(shù)的定義域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道： 排解了為0與負(fù)數(shù)兩種可能

14、，即對于x0，則a可以是任意實數(shù); 排解了為0這種可能，即對于x0和x0的全部實數(shù)，q不能是偶數(shù); 排解了為負(fù)數(shù)這種可能，即對于x為大于且等于0的全部實數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。 （總結(jié)）起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不憐憫況如下： 假如a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的全部實數(shù); 假如a為負(fù)數(shù)，則x確定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必需依據(jù)q的奇偶性來確定，即假如同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的全部實數(shù);假如同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的全部實數(shù)。 在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。 在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。 而只有a為正數(shù)，0