高中物理競賽講義-微積分初步

1、高中物理競賽講義一一微積分初步一：引入【例】問均勻帶電的立方體角上一點(diǎn)的電勢(shì)是中心的幾倍。分析：根據(jù)對(duì)稱性，可知立方體的八個(gè)角點(diǎn)電勢(shì)相等；將原立方體等分為八個(gè)等大的小立方體，原立方體的中心正位于 個(gè)小立方體角點(diǎn)位置；而根據(jù)電勢(shì)疊加原理，其電勢(shì)即為八個(gè)小立方體角點(diǎn)位置的電勢(shì)之 和，即 Ui=8U2 ;立方體角點(diǎn)的電勢(shì)與什么有關(guān)呢？電荷密度p;二立方體的邊長a;三立方體的形狀；根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式 U=KQ及量綱知識(shí)，可猜想邊長為 a的立方體角點(diǎn)電勢(shì)為 rU=CKQ=Ck pa2;其中C為常數(shù)，只與形狀（立方體）及位置（角點(diǎn)）有關(guān)， Q是總電a量，p是電荷密度；其中Q=p a32a 2 CKp a

2、 大立方體的角點(diǎn)電勢(shì)：U0= Ckpa ;小立方體的角點(diǎn)電勢(shì)：U2= Ckp （-）=21大立萬體的中心點(diǎn)電勢(shì)：Ui=8U2=2 Ckpa ；即U01Ui【小結(jié)】我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)物理問題，其所求的物理量總是與其他已知物理量相關(guān)聯(lián)， 或者用數(shù)學(xué)語言來說，所求的物理量就是其他物理量（或者說是變量）的函數(shù)。如果我們 能夠把這個(gè)函數(shù)關(guān)系寫出來，或者將其函數(shù)圖像畫出來，那么定量或定性地理解物理量的 變化情況，幫助我們解決物理問題。二：導(dǎo)數(shù)（一）物理量的變化率我們經(jīng)常對(duì)物理量函數(shù)關(guān)系的圖像處理，比如v-t圖像，求其斜率可以得出加速度a,求其面積可以得出位移s,而斜率和面積是幾何意義上的微積分。我們知道，

3、過 v-t圖像中某個(gè)點(diǎn)作出切線，其斜率即a=T .s=3t+2t 2s=3t+2t 2,試求其t時(shí)刻的速【例】若某質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為上度的表達(dá)式。（所有物理量都用國際制單位，以下同） 分析：我們知道，公式v=三一般是求At時(shí)間內(nèi)的平均速度，當(dāng) At取很小很小，才可近 似處理成瞬時(shí)速度。s(t)=3t+2t 2 s(t+ t)=3(t+ t)+2(t+ At) 2 s=s(t+ t)-s(t)=3(t+t)+2(t+ At) 2-3t-2t 2=3At+4t At+2 At22 s 3At+4t At+2 At v= =-=3+4t+2 AttAt當(dāng)At取很小，小到跟 3+

4、4t相比忽略不計(jì)時(shí)，v=3+4t即為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度?！揪殹考僭O(shè)一個(gè)閉合線圈匝數(shù)為100匝，其磁通量為小=3t+4t3,求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系?！拘〗Y(jié)】回顧我們求物理量y=f(t)的變化率瞬時(shí)值z(mì)的步驟:寫出t時(shí)刻yo=f(t)的函數(shù)表達(dá)式；寫出t+ At時(shí)刻yi=f(t+ At)的函數(shù)表達(dá)式；求出= 0=f(t+ At)- f(t);求出y f(t+ At)- f(t) z=求出z AtAt注意At取很小，小到與有限值相比可以忽略不計(jì)。(二)無窮小 saQN d)當(dāng)at取很小時(shí)，可以用Vy 求瞬時(shí)速度，也可用i= 求瞬時(shí)電流，用& =p 求瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。下面，我們來理解At：t是很

5、小的不為零的正數(shù)，它小到什么程度呢？可以說，對(duì)于我們?nèi)我饨o定一個(gè)不為零的正數(shù)者任匕At大，即： At?；蛘邚膭?dòng)態(tài)的角度來看，給定一段時(shí)間t,我們進(jìn)行如下操作：第一次，我們把時(shí)間段平均分為2段，每段時(shí)間41=；第二次，我們把時(shí)間段平均分為3段，每段時(shí)間A1=：；3第三次，我們把時(shí)間段平均分為4段，每段時(shí)間Atn；4第N次，我們把時(shí)間段平均分為N+1段，每段時(shí)間t=NW ；一直這樣進(jìn)行下去，我們知道，At越來越小，雖然它不為零，但永遠(yuǎn)逼近零，我們稱它為無窮小，記為 H 0?；蛘?，用數(shù)學(xué)形式表示為lim t=0 。其中“ limt 0t 0表示極限，意思是 At的極限值為0。常規(guī)計(jì)算: lim (A

6、t+C) =Ct 0 lim (At+C) =Ct 0 lim f(t+ t)=f(t)t 0附錄常用等價(jià)無窮小關(guān)系 sin x x ； tanx x ；導(dǎo)數(shù) lim C At=0t 0三.sin( Y litm0丁-(x 0)1 2 1 cosx - x ； In2 lim f( t)=f(0)t 0=11 x x ； ex 1 x前面我們用了極限“l(fā)im ”前面我們用了極限“l(fā)im ”的表示方法, t 0那么物理量y的變化率的瞬時(shí)值 z可以寫成：z=lim 一 z=lim 一 ,并簡記為z=dy，稱為物理量 t 0 1d t某物理量的變化率來定義或求解另一物理量，如dWFdU至不限于對(duì)時(shí)間

7、求導(dǎo)，如F=-、E（=、pd xdxy函數(shù)對(duì)時(shí)間變量t的導(dǎo)數(shù)。物理上經(jīng)常用dx dv dqd中備行v=dl、aF、i=d1、& =NdT 等，甚dm皿=dT 等。t,當(dāng)然每次這這個(gè)dt （也可以是dx、dv、dm等）其實(shí)相當(dāng)于微元法中的時(shí)間微元樣用lim來求物理量變化率的瞬時(shí)值太繁瑣了，畢竟微元法只是草創(chuàng)時(shí)期的微積分。 t 0如果能把常見導(dǎo)數(shù)計(jì)算的基本規(guī)律弄懂，那么我們可以簡單快速地求解物理量變化率的瞬時(shí)值（導(dǎo)數(shù)）了。同學(xué)們可以課后推導(dǎo)以下公式:導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 d(u d(u v) du . dvD= 一 士 d t d t d td- - v-u - dv ud td t v2vd(u v)

8、d tdud td(u v)d tdud tdv u d t v常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)累=0（C為常數(shù)）;cost累=0（C為常數(shù)）;cost丁 =-sint;dt n-1/=nt (n為實(shí)數(shù));de tdiT =e ；今 dsint dt =cost;復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為u（x）的自變量。在數(shù)學(xué)上，把u=u（v（t）稱為復(fù)合函數(shù)，即以函數(shù)v為u（x）的自變量。du(v(t)du(v(t)dv(t)-= d t d v(t) d t復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量 的導(dǎo)數(shù)一一稱為。【練】1、某彈簧振子在X軸上做直線運(yùn)動(dòng)，其位移x與時(shí)間t的關(guān)系為x=Asincot,

9、即，質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最大位移為 A (A稱為振幅)，周期2兀一 一 、一，、一.一. 、，、 .一、一為(3稱為角頻率)， 物理上把這種運(yùn)動(dòng)叫簡諧運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)完成以下幾何：求出t時(shí)刻的速度V寫出合力F與位移x的關(guān)系驗(yàn)證簡諧運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒?！揪殹?、某矩形線框面積為S,匝數(shù)為N,處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，如圖所示，線框繞PQ軸以角速度 /勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，從水平位置開始計(jì)時(shí)，在t時(shí)刻：寫出磁,通量中的表達(dá)式求出線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e(計(jì)算完后自行與陽光課堂P40【點(diǎn)撥】部分對(duì)照)三：微分和積分(一)簡單問題【例】電容器是一種存儲(chǔ)電荷的元件，它的基本工作方式為充電和放電，我們先考察電

10、容器放電時(shí)的情況。某電容為C的電容器，其已充電的電量為 Q0,若讓該電容與另一個(gè)阻值為 r的的電阻串聯(lián)起來，該電r- (qQ0 一 Qi容器將會(huì)放電，其釋放的電能轉(zhuǎn)化電阻的焦耳熱(內(nèi)能)。試討論，放電時(shí)流過電阻R的電流隨時(shí)間t的變化關(guān)系如何?分析：根據(jù)電荷守恒定律，當(dāng)通過電阻R的電量為q時(shí),足 Q0=Q+q ,即 q=Q-Qi ;電容器的電量從 Q變成Q,滿.dq i= i d t流過電阻R的電流i與通過電阻R的電量q滿足關(guān)系式: 電容器的電量從 Q變成Q,滿.dq i= i d t進(jìn)行公式變形，令 x= - CR ,則有i= - CRdidtdidx同學(xué)們思考一下,i應(yīng)該是什么函數(shù)，才能滿足

11、i=di?進(jìn)行公式變形，令 x= - CR ,則有i= - CRdidtdidx同學(xué)們思考一下,i應(yīng)該是什么函數(shù)，才能滿足i=di?dx .，或者說什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)本身?我們觀察到,只有xy=Ce形式的函數(shù)才滿足i=我們觀察到,只有xy=Ce形式的函數(shù)才滿足i=didx關(guān)系,C為待定常數(shù)。故可以知道,x -t/CR故可以知道,x -t/CRe = Ce當(dāng)t=0時(shí),QU0= C0當(dāng)t=0時(shí),QU0= C0=U0R黑；而把CRt=0代人，得i = c e-t/CR =C；故 c=QLCR所以，流過電阻 R所以，流過電阻 R的電流隨時(shí)間Q0 -t/CRt的變化關(guān)系為：i = cR e【練】對(duì)于

12、上例電容器放電問題，試討論，放電時(shí)電容器的電量 Q隨時(shí)間t的變化關(guān)系如何?微分1、從上面式子可以看出，理論上雖然我們說是要經(jīng)過無窮長的時(shí)間電容才放完電，電流 為零，但實(shí)際上只需要電流減少足夠小時(shí)，電流計(jì)就檢測(cè)不到有電流了。2、對(duì)于i= - CR d-或i= d-,我們稱之為微分方程，最直觀的解決方法是觀察有哪些函t=0之類的初始條件。t=0之類的初始條件。3、3、般來說，微積分可以幫助同學(xué)們深刻理解物理概念和公式，但微元法可以幫助同學(xué) 們更細(xì)致地明了物理過程。下面我們用微元法的方式來處理這個(gè)問題。在At的時(shí)間內(nèi)，通過電阻R的電量為Aq。雖然電流隨時(shí)間 發(fā)生變化，但在很短的時(shí)間 At內(nèi)，可以認(rèn)為

13、 電流幾乎不變，當(dāng) 成恒定電流處理，故有Aq= i At 。對(duì)電容有 Q=CU=CiR aQ=C R Ai ;由電量守恒， aQ= Aq ,故一i At = C R Ai ,然后把形式改寫成微積分語言的“d”形式，就有一idt =CR di (dt和di稱之為微分)形式改寫成微積分語言的數(shù)學(xué)變形為i= - CR空，即以上解法中的微分方程。dt微分與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系呢？對(duì)某自變量為時(shí)間t的函數(shù)F(t),它的極其微小的變化，我們記它為微分dF,它與時(shí)間微分dt滿足關(guān)系式：dF=dF dt ,其中4為F對(duì)t的導(dǎo)數(shù)。 TOC o 1-5 h z dtdt下面是常見的微分公式與微分運(yùn)算法則： d c 0

14、d xnnxn 1dx HYPERLINK l bookmark61 o Current Document d cosx sin xdx d exexdxD d sin x cosxdxDd u v du dv3 d cu cdu d uv vdu udvu vdu udvD d sin x cosxdxDd u v du dv3 d cu cdu d uv vdu udvd-v v積分在上例問題中，在 t的時(shí)間內(nèi)，通過電阻 R的電量為Aq= i At , Aq稱為電量微元。如果我們把0到t時(shí)間內(nèi)的q加起來，用求和符號(hào)“匯”表示，則有：q=Ei At o由于t=NAt,當(dāng)以取無窮小時(shí)，那么i

15、At就有NH0個(gè)，也就是，我們要把無窮個(gè) i At進(jìn)行相加操作，為了方便，我們用微積分符號(hào)idt表示q= lim Ei At= idt ,稱為對(duì)i在時(shí)間上t o求積分。我們來看一下這么做有什么意義：從幾何上看，對(duì)于i-t 圖像，q= lim E i At= idt t o就是圖像中的面積。 對(duì)于恒定電流，很簡單，Aq= i At , 即小塊矩形面積；對(duì)于變化的電流，用Aq= 2t來計(jì)算， 發(fā)現(xiàn)有一小塊近似三角形面積的誤差，不過當(dāng)我們?nèi)‘?dāng)t取無窮小時(shí)，用極限處理后，該誤差會(huì)無窮逼近零，可以忽略不計(jì)，那么計(jì)算的面積就無限精確接近實(shí)際面 積了。前面我們求導(dǎo)用了i=dq，積分用了 q= idt?？梢钥?/p>

16、出，從某種程度上說，積分實(shí)際是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，比 如：q=Q)-Q=Q0(1-e t/CR ), i =2 e 0滿足求導(dǎo)和積 分的運(yùn)算關(guān)系i= dt、q= idt。dF 對(duì)于一般函數(shù)F,如果有f= dF ,那么就有fdt變化的斜流=F+C。請(qǐng)思考，為什么積分中會(huì)出現(xiàn)常數(shù)變化的斜流=F+C。請(qǐng)思考，為什么積分中會(huì)出下面是常見的積分公式，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照求導(dǎo)公式理解: kdx kxn 1nxx dx cn 1 cosxdxsin x csin xdx cosx c exdx ex現(xiàn)在我們用微積分書寫方式來來解答上題。由 Q=Q+q ;Q=Qq ;則 dQ= - dq = - idt=-R dt= -

17、kdx kxn 1nxx dx cn 1 cosxdxsin x csin xdx cosx c exdx ex現(xiàn)在我們用微積分書寫方式來來解答上題。由 Q=Q+q ;Q=Qq ;則 dQ= - dq = - idt=-R dt= -QCR dt怎么來求t1 一 , , , , de dQ呢？我們知道RQd t即% -工dtQ CR令 F(t)= e有 t=lnF;對(duì)等號(hào)兩邊積分:1CRdF - 則有d t寸，門dF即 F =dt=d(lnF)t有 In Q =-CRC,或者Q=(e-t/CR一1八那么 dQ=Qd(lnQ) = InQ+C1、，一，1、，一，dt=?請(qǐng)同學(xué)們自己推導(dǎo)。CR-t

18、/CR所以電容器電量為 Q= Qe?！纠磕迟|(zhì)點(diǎn)在X軸上做直線運(yùn)動(dòng)，其速度 v滿足函數(shù)關(guān)系v=3t2求從t=1s到t=3s時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的位移 分析：在dt時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)可以認(rèn)為做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即有 ds vdt3t2dt,則有：s= t3+C ;現(xiàn)在有問題了：當(dāng)t=0時(shí)，S(0)等于多少我們不知道！而且已知條件中的時(shí)間“從t=1s到t=3s”也沒有用上！下面我們從物理上考察 C這個(gè)常數(shù)的意義。t=0時(shí)，s(0)=C。當(dāng)我們令C=0時(shí)，相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)在零時(shí) 刻從坐標(biāo)原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)；當(dāng)我們令 C=1時(shí)，相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)在 零時(shí)刻從坐標(biāo)位置 X=1m處開始運(yùn)動(dòng)； 。我們發(fā)現(xiàn)，C這常數(shù)的取值相當(dāng)于選取觀察質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

19、的 靜止參考系位置，然而所求的從t=1s到t=3s時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)ds=vdt,那么對(duì)等號(hào)兩邊積分,發(fā)生的位移應(yīng)該與所選取的靜止參考系無關(guān)，也就是對(duì)任 意靜止參考系，質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的位移應(yīng)該是一致的，如圖所示。ds=vdt,那么對(duì)等號(hào)兩邊積分,那么我們就隨便選取某一參考系，使質(zhì)點(diǎn)在零時(shí)刻從坐標(biāo)位置x=Cm開始運(yùn)動(dòng)，則位移與時(shí)間的函數(shù) 關(guān)系式為：s(t)= t3+Co題目中所求的1到3秒的位移 為：s1=s(3)-s(1)=(33+C) - (13+C) =8m。題目中所要求的位移(速度積分)與積分式f dt =F+C中的C無關(guān)，當(dāng)要求t=t 1到t=t 2時(shí)間內(nèi)位移時(shí)，s(t 1 - t 2)= S(t2

20、)- s(t 2)。這個(gè)相當(dāng)于我們用 s=EVAt來求v-t圖像中的從t=t 1到t=t 2范圍內(nèi)的面積。b我們用一種簡單符號(hào)表示這種關(guān)系：f dt =F(b) - F(a)。這種積分叫定積分。a【練】1、已知導(dǎo)線中的電流按I = t3-0.5t+6的規(guī)律隨時(shí)間t變化，式中電流和時(shí)間的單位分別為A和so計(jì)算在t =1s到t =3s的時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電荷量?！揪殹?、某質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿，長為L,繞其一端點(diǎn)做角速度為的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試求其動(dòng)能?！揪殹?、某彈簧勁度系數(shù)為K,原長為L,若將彈簧從2L長拉伸至3L長處,問應(yīng)克服彈簧彈力做多少功？【練】4、對(duì)于某電路，通過電阻 R=2Q的電流i=2t+1(A),問從t=0時(shí)刻開始經(jīng)過4s后，電阻產(chǎn)生的焦耳熱是多少？四：課后習(xí)題1、質(zhì)量為2kg的某物體在平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)，已知其x軸上的坐標(biāo)為x=