經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、3.1 導(dǎo)數(shù)概念3.2 求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運(yùn)算法則3.3 微分3.4 高階導(dǎo)數(shù)和高階微分第三章 導(dǎo)數(shù)與微分3.5 邊際與彈性本章計(jì)劃學(xué)時(shí): 14學(xué)時(shí)1微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第1頁(yè)第1頁(yè)3.1 導(dǎo)數(shù)概念引例1、變速直線運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度一、引例2微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第2頁(yè)第2頁(yè)（1）當(dāng)物體作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)（2）當(dāng)物體作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)3微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第3頁(yè)第3頁(yè)引例2 平面曲線切線斜率 在點(diǎn)求曲線L：處切線斜率。割線 MN 斜率為： 4微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第4頁(yè)第4頁(yè)割線 MN 極限位置 MT 稱為曲線 L 在點(diǎn) M 處切線。切線 MT 斜率為： 當(dāng)時(shí),5微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第5頁(yè)第5頁(yè)

2、二、導(dǎo)數(shù)定義6微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第6頁(yè)第6頁(yè)7微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第7頁(yè)第7頁(yè)8微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第8頁(yè)第8頁(yè)9微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第9頁(yè)第9頁(yè)10微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第10頁(yè)第10頁(yè)11微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第11頁(yè)第11頁(yè)三、導(dǎo)數(shù)幾何意義12微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第12頁(yè)第12頁(yè)四、單邊（側(cè)）導(dǎo)數(shù)13微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第13頁(yè)第13頁(yè)14微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第14頁(yè)第14頁(yè)同樣單邊導(dǎo)數(shù)定義式也可簡(jiǎn)化為：15微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第15頁(yè)第15頁(yè)例.求函數(shù)在處導(dǎo)數(shù).解因此,函數(shù)在處不可導(dǎo).思考16微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第16頁(yè)第16頁(yè)五、可導(dǎo)性與連續(xù)

3、性關(guān)系若函數(shù)在處可導(dǎo),則必連續(xù) .事實(shí)上, 因在處可導(dǎo),即定理2.1因此,函數(shù)在處連續(xù).17微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第17頁(yè)第17頁(yè)例.求函數(shù)在處導(dǎo)數(shù).解因此,函數(shù)在處不可導(dǎo).0問(wèn)題：連續(xù)是否一定可導(dǎo)？18微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第18頁(yè)第18頁(yè)19微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第19頁(yè)第19頁(yè)1-120微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第20頁(yè)第20頁(yè)函數(shù)在其可導(dǎo)點(diǎn)處一定連續(xù)函數(shù)在其不連續(xù)點(diǎn)處一定不可導(dǎo)函數(shù)在其連續(xù)點(diǎn)處不一定可導(dǎo)結(jié)論21微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第21頁(yè)第21頁(yè)六、用定義求導(dǎo)數(shù)舉例同樣單邊導(dǎo)數(shù)定義式也可簡(jiǎn)化為：22微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第22頁(yè)第22頁(yè)例1. 求函數(shù)(常數(shù))導(dǎo)數(shù).解常數(shù)導(dǎo)數(shù)等

4、于零例2. 求函數(shù)導(dǎo)數(shù).解23微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第23頁(yè)第23頁(yè)例3. 求指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù).解24微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第24頁(yè)第24頁(yè)例4. 設(shè)求解尤其地,25微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第25頁(yè)第25頁(yè)例5. 設(shè)求解正弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù).類似得,余弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于負(fù)正弦函數(shù).26微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第26頁(yè)第26頁(yè)注：分段函數(shù)分段點(diǎn)導(dǎo)數(shù)必須用定義求例6. 設(shè)函數(shù)解由于27微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第27頁(yè)第27頁(yè)例7. 解28微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第28頁(yè)第28頁(yè)辦法一：例8. 解29微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第29頁(yè)第29頁(yè)30微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第30頁(yè)第30頁(yè)辦法二：31微積

5、分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第31頁(yè)第31頁(yè)32微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第32頁(yè)第32頁(yè)解例9. 33微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第33頁(yè)第33頁(yè)由導(dǎo)數(shù)幾何意義知,所求切線斜率為:所求切線方程為:即所求法線方程為:即解例11. 34微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第34頁(yè)第34頁(yè)3.2 求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運(yùn)算法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則35微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第35頁(yè)第35頁(yè)證: 設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:( C為常數(shù) )36微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第36頁(yè)第36頁(yè)37微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第37頁(yè)第37頁(yè)證畢.38微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第38頁(yè)第38頁(yè)例1. 解39微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第39頁(yè)第39頁(yè)解:

6、例2. 40微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第40頁(yè)第40頁(yè)求解例3. 41微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第41頁(yè)第41頁(yè)例4. 解42微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第42頁(yè)第42頁(yè)解例5. 43微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第43頁(yè)第43頁(yè)慣用公式：44微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第44頁(yè)第44頁(yè)二、反函數(shù)求導(dǎo)法則45微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第45頁(yè)第45頁(yè)46微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第46頁(yè)第46頁(yè)解例5. 47微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第47頁(yè)第47頁(yè)解例6. 48微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第48頁(yè)第48頁(yè)三、基本導(dǎo)數(shù)公式49微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第49頁(yè)第49頁(yè)50微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第50頁(yè)第50頁(yè)51微積分

7、第三章導(dǎo)數(shù)與微分第51頁(yè)第51頁(yè)Guess四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則52微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第52頁(yè)第52頁(yè)53微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第53頁(yè)第53頁(yè)54微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第54頁(yè)第54頁(yè)法則5(連鎖法則) Outfunctioninnerfunction55微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第55頁(yè)第55頁(yè)證在點(diǎn)可導(dǎo)，由知由極限與無(wú)窮小關(guān)系知于是56微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第56頁(yè)第56頁(yè)即57微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第57頁(yè)第57頁(yè)解.例1 求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)58微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第58頁(yè)第58頁(yè)更簡(jiǎn)明過(guò)程59微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第59頁(yè)第59頁(yè)解例2. 更簡(jiǎn)明過(guò)程60微積分 第三章導(dǎo)數(shù)

8、與微分第60頁(yè)第60頁(yè)解例3. 61微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第61頁(yè)第61頁(yè)例4. 解62微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第62頁(yè)第62頁(yè)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則能夠推廣到多重復(fù)合情形.設(shè)則或63微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第63頁(yè)第63頁(yè)例.求解64微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第64頁(yè)第64頁(yè)更簡(jiǎn)明過(guò)程65微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第65頁(yè)第65頁(yè)例求解66微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第66頁(yè)第66頁(yè)例求解67微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第67頁(yè)第67頁(yè)例8解68微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第68頁(yè)第68頁(yè)形如，函數(shù)稱為顯函數(shù).若與函數(shù)關(guān)系由方程所擬定,稱這類函數(shù)為隱函數(shù).五、隱函數(shù)求導(dǎo)法69微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第69頁(yè)第6

9、9頁(yè)解例9 70微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第70頁(yè)第70頁(yè)解例1071微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第71頁(yè)第71頁(yè)解例1172微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第72頁(yè)第72頁(yè)六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法兩類函數(shù)2. 有簡(jiǎn)便求73微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第73頁(yè)第73頁(yè)對(duì) x 求導(dǎo)兩邊取對(duì)數(shù)例1274微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第74頁(yè)第74頁(yè)75微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第75頁(yè)第75頁(yè)例13 求導(dǎo)數(shù) . 解 兩邊取對(duì)數(shù) , 化為隱函數(shù)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)76微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第76頁(yè)第76頁(yè)解法2 將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)77微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第77頁(yè)第77頁(yè)例12解 兩邊取對(duì)數(shù) 對(duì) x 求導(dǎo)78微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第

10、78頁(yè)第78頁(yè)79微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第79頁(yè)第79頁(yè)引例. 一塊正方形金屬薄片受溫度影響,其邊長(zhǎng)由變到問(wèn)此薄片面積改變了多少?面積改變量：一、微分引進(jìn)3.3 微分80微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第80頁(yè)第80頁(yè)81微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第81頁(yè)第81頁(yè)二、微分定義82微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第82頁(yè)第82頁(yè)證(必要性)83微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第83頁(yè)第83頁(yè)(充足性)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),即與無(wú)關(guān),是較高階無(wú)窮小.因此函數(shù)在點(diǎn)處可微.且84微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第84頁(yè)第84頁(yè)闡明:時(shí) ,因此時(shí)很小時(shí), 有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)85微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第85頁(yè)第85頁(yè)86微積

11、分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第86頁(yè)第86頁(yè)87微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第87頁(yè)第87頁(yè)注意：88微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第88頁(yè)第88頁(yè)三、基本微分公式與微分法則依據(jù)可得基本初等函數(shù)微分公式：89微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第89頁(yè)第89頁(yè)微分法則：設(shè)都可微，則90微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第90頁(yè)第90頁(yè)微分法則：設(shè)都可微，則91微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第91頁(yè)第91頁(yè)復(fù)合函數(shù)微分法則：設(shè)而因此即微分形式不變性92微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第92頁(yè)第92頁(yè)93微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第93頁(yè)第93頁(yè)94微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第94頁(yè)第94頁(yè)95微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第95頁(yè)第95頁(yè)96微積分 第三章導(dǎo)

12、數(shù)與微分第96頁(yè)第96頁(yè)四、微分在近似計(jì)算中應(yīng)用由微分定義知,當(dāng)時(shí),因此,當(dāng)很小時(shí),有近似公式:(1)即(2)(3)97微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第97頁(yè)第97頁(yè)Linear Approximations and Differentials98微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第98頁(yè)第98頁(yè)解: 設(shè)取則近似值 .例求99微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第99頁(yè)第99頁(yè)100微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第100頁(yè)第100頁(yè)即在生產(chǎn)100單位產(chǎn)品基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本會(huì)增長(zhǎng)2.96101微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第101頁(yè)第101頁(yè)可證,當(dāng)很小時(shí),有近似公式:當(dāng)很小時(shí),(4)102微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第102

13、頁(yè)第102頁(yè)103微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第103頁(yè)第103頁(yè)解:近似值 .例. 計(jì)算104微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第104頁(yè)第104頁(yè)速度即加速度即引例：變速直線運(yùn)動(dòng)3.4 高階導(dǎo)數(shù)105微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第105頁(yè)第105頁(yè)記作：或即二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作：或106微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第106頁(yè)第106頁(yè)三階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，記作：或階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，叫做階導(dǎo)數(shù)，記作：或函數(shù)有階導(dǎo)數(shù)，也說(shuō)函數(shù)為階可導(dǎo)。二階及二階以上導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。107微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第107頁(yè)第107頁(yè)108微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第108頁(yè)第108頁(yè)109微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第10

14、9頁(yè)第109頁(yè)110微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第110頁(yè)第110頁(yè)111微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第111頁(yè)第111頁(yè)112微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第112頁(yè)第112頁(yè)113微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第113頁(yè)第113頁(yè)114微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第114頁(yè)第114頁(yè)115微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第115頁(yè)第115頁(yè)由上面各階導(dǎo)數(shù)能夠得到116微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第116頁(yè)第116頁(yè)二、高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則(C為常數(shù))萊布尼茲(Leibniz) 公式及設(shè)函數(shù)117微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第117頁(yè)第117頁(yè)例. 求解: 設(shè)則代入萊布尼茲公式 , 得118微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與

15、微分第118頁(yè)第118頁(yè)119微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第119頁(yè)第119頁(yè)以上這個(gè)公式稱為萊布尼茲（Leibniz）公式，可用于求乘積高階導(dǎo)數(shù)120微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第120頁(yè)第120頁(yè)121微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第121頁(yè)第121頁(yè)122微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第122頁(yè)第122頁(yè)123微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第123頁(yè)第123頁(yè)124微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第124頁(yè)第124頁(yè)125微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第125頁(yè)第125頁(yè)3.5 邊際與彈性一、邊際概念126微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第126頁(yè)第126頁(yè)127微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第127頁(yè)第127頁(yè)128微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第128頁(yè)第128頁(yè)129微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第129頁(yè)第129頁(yè)130微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第130頁(yè)第130頁(yè)131微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第131頁(yè)第131頁(yè)132微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第132頁(yè)第132頁(yè)二、彈性函數(shù)1、彈性概念彈性意義：133微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第133頁(yè)第133頁(yè)134微積分 第三章導(dǎo)數(shù)與微分第134頁(yè)第134頁(yè)冪函數(shù)在任意點(diǎn)彈性不變稱