甘肅省靖遠(yuǎn)縣第四中學(xué)2023學(xué)年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知、，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（ ）ABCD2如圖所示，三國時代數(shù)學(xué)家在周脾算經(jīng)中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒

2、（大小忽略不計，?。?，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（ ）A20B27C54D643已知正四面體的棱長為，是該正四面體外接球球心，且，則（ ）ABCD4集合的真子集的個數(shù)為( )A7B8C31D325若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD6雙曲線的左右焦點為，一條漸近線方程為，過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于，滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）AB3CD27某個小區(qū)住戶共200戶，為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查，得到本月的用水量(單位：m3)的頻率分布直方圖如圖所示，則小區(qū)內(nèi)用水量超過15 m3的住戶的戶數(shù)為( )A10B50

3、C60D1408已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則（ ）AB2C3D9已知函數(shù)，為的零點，為圖象的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（ ）ABCD10若雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦距為（ ）ABC6D811已知函數(shù)若存在實數(shù)，且，使得，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）ABCD12已知奇函數(shù)是上的減函數(shù)，若滿足不等式組，則的最小值為（ ）A-4B-2C0D4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)（）在區(qū)間上的值小于0恒成立，則的取值范圍是_.14的展開式中，若的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為32，則_15滿足線性的約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值為_16已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，是

4、邊長為2的正三角形，則球的體積為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在四邊形中，；如圖，將沿邊折起，連結(jié)，使，求證：（1）平面平面；（2）若為棱上一點，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小.18（12分）的內(nèi)角，的對邊分別是，已知.（1）求角；（2）若，求的面積.19（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，直線過點，且與拋物線交于，兩點（1）求拋物線的方程及點的坐標(biāo)；（2）求的最大值20（12分）設(shè)函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的方程有唯一的實數(shù)解，求a的取值范圍.21（12分）已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點為平面直角坐標(biāo)系

5、的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是:（是參數(shù)）.（1）若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數(shù)m值.（2）設(shè)為曲線上任意一點，求的取值范圍.22（10分）已知，分別為內(nèi)角，的對邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，求角.2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù)，由得出，分、三種情況討論，利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所

6、以，函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù)，當(dāng)時，則，；當(dāng)時，.由得.若，則，即，不合乎題意；若，則，則，此時，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，；若，則，則，此時，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【答案點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時要注意對的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.2、B【答案解析】設(shè)大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解。【題目詳解】設(shè)大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B

7、【答案點睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。3、A【答案解析】如圖設(shè)平面，球心在上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得，根據(jù)平面向量的加法的幾何意義，重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出的值.【題目詳解】如圖設(shè)平面，球心在上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形是正三角形，在直角三角形中，因為為重心，因此，則，因此，因此，則，故選A.【答案點睛】本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.4、A【答案解析】計算，再計算真子集個數(shù)得到答案.【題目詳解】，故真子集個數(shù)為：.故選：.【答案點睛】本題考查了集合的真子集個數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.5、A【答案解析】試

8、題分析：由題意得有兩個不相等的實數(shù)根，所以必有解，則，且，考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點【方法點睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略（1）知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號.（2）已知函數(shù)求極值.求f（x）求方程f（x）0的根列表檢驗f（x）在f（x）0的根的附近兩側(cè)的符號下結(jié)論.（3）已知極值求參數(shù).若函數(shù)f（x）在點（x0，y0）處取得極值，則f（x0）0，且在該點左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號相反.6、A【答案解析】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程得到，根據(jù)向量關(guān)系化簡到，得到離心率.【題目詳解】設(shè)，直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因為，所以為線段的中點，所

9、以，整理得，故該雙曲線的離心率.故選：.【答案點睛】本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.7、C【答案解析】從頻率分布直方圖可知，用水量超過15m的住戶的頻率為，即分層抽樣的50戶中有0.350=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為，故選C8、A【答案解析】由奇函數(shù)定義求出和【題目詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，.又當(dāng)時，.故選：A【答案點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵9、B【答案解析】由題意可得，且，故有，再根據(jù)，求得，由可得的最大值，檢驗的這個值滿足條件【題目詳解】解：函數(shù)，為的零點，為圖象的對稱軸，且，、，即

10、為奇數(shù)在，單調(diào)，由可得的最大值為1當(dāng)時，由為圖象的對稱軸，可得，故有，滿足為的零點，同時也滿足滿足在上單調(diào)，故為的最大值，故選：B【答案點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題10、A【答案解析】依題意可得，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得解；【題目詳解】解：雙曲線的離心率為，所以，雙曲線的焦距為.故選：A【答案點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.11、D【答案解析】首先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，求得結(jié)果.【題目詳解】，令，得，其單調(diào)性及極值情況如下：x0+0_0+極

11、大值極小值若存在，使得，則（如圖1）或（如圖2）（圖1）（圖2）于是可得，故選：D.【答案點睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識點有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，畫出圖象數(shù)形結(jié)合，屬于較難題目.12、B【答案解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【題目詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù)，則，且，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，即，表示直線與軸截距的相反數(shù)，根據(jù)平移得到：當(dāng)直線過點，即時，有最小值為.故選：.【答案點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，線性規(guī)劃問題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.二

12、、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】首先根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍，由此求得函數(shù)的值域，結(jié)合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】由于，所以，由于區(qū)間上的值小于0恒成立，所以（）.所以，由于，所以，由于，所以令得.所以的取值范圍是.故答案為：【答案點睛】本小題主要考查三角函數(shù)值域的求法，考查三角函數(shù)值恒小于零的問題的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.14、【答案解析】試題分析：由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為，其系數(shù)之和為，解得考點：二項式定理15、1【答案解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，將直線進(jìn)行平移

13、，利用的幾何意義，可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值?！绢}目詳解】由，得，作出可行域，如圖所示：平移直線，由圖像知，當(dāng)直線經(jīng)過點時，截距最小，此時取得最大值。由 ，解得 ，代入直線，得?！敬鸢更c睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法平移法。16、【答案解析】由題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，求出正方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求出球的體積.【題目詳解】解：因為，為正三角形，所以，因為，所以三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，因為正方體的對角線長為，所以其外接球的半徑為，所以球的體積為故答案為：【答案點睛】此題考查球的體積，幾

14、何體的外接球，考查空間想象能力，計算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解；（2）【答案解析】（1）由題可知，等腰直角三角形與等邊三角形，在其公共邊AC上取中點O，連接、，可得，可求出.在中，由勾股定理可證得，結(jié)合，可證明平面.再根據(jù)面面垂直的判定定理，可證平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由點F在線段上，設(shè)，得出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的一個法向量.用向量法表示出與平面所成角的正弦值，由其等于，解得.再結(jié)合為平面的一個法向量，用向量法即可求出與的夾角，結(jié)合圖形，寫出二面角的大小.【題目詳解】證明：（1）在中

15、，為正三角形，且在中，為等腰直角三角形，且取的中點，連接，平面平面平面.平面平面（2）以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè).則設(shè)平面的一個法向量為.則，令，解得與平面所成角的正弦值為，整理得解得或(含去)又為平面的一個法向量，二面角的大小為.【答案點睛】本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解決線面角、二面角的問題，屬于中檔題.18、（1）（2）【答案解析】（1）利用余弦定理可求，從而得到的值.（2）利用誘導(dǎo)公式和正弦定理化簡題設(shè)中的邊角關(guān)系可得，得到值后利用面積公式可求.【題目詳解】（1）由，得.所以由余弦定理，得.又因為，所以.（2）由，得.由正弦定理，得，因為，所

16、以.又因，所以.所以的面積.【答案點睛】在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.19、（1），；（2）1【答案解析】（1）根據(jù)拋物線上的點到焦點和準(zhǔn)線的距離相等，可得p值，即可求拋物線C的方程從而可得解；（2）設(shè)直線l的方程為：x+my10，代入y24x，得，y2+4my40，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y24m，y1y24，x1+x22+4m2，x1x21，（）

17、，（x22，），由此能求出的最大值【題目詳解】（1）點F是拋物線y22px（p0）的焦點，P（2，y0）是拋物線上一點，|PF|3，23，解得：p2，拋物線C的方程為y24x，點P（2，n）（n0）在拋物線C上，n2428，由n0，得n2，P（2，2）（2）F（1，0），設(shè)直線l的方程為：x+my10，代入y24x，整理得，y2+4my40設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是y2+4my40的兩個不同實根，y1+y24m，y1y24，x1+x2（1my1）+（1my2）2m（y1+y2）2+4m2，x1x2（1my1）（1my2）1m（y1+y2）+m2y1y21+4m24m2

18、1，（），（x22，），（x12）（x22）+（）（）x1x22（x1+x2）+4148m2+44+8m+88m2+8m+58（m）2+1當(dāng)m時，取最大值1【答案點睛】本題考查拋物線方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題20、（1）當(dāng)時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2）或.【答案解析】（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn)，若不恒成立，求解，即可得出結(jié)論；（2）有解，即，令，轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個實數(shù)解，根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可求解.【題目詳解】（1），當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，綜上，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2），令，原方程只有一個解，只需只有一個解，即求只有一個零