高中平面幾何常用定理歸納總結(jié)文檔

1、（高中）平面幾何基礎(chǔ)學(xué)問（基本定理,基本性質(zhì)） 1 勾股定理（畢達哥拉斯定理） （廣義勾股定理） 1 銳角對邊的平方, 等于其他兩邊之平方和,減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘 積的兩倍 2 鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和, 加上這兩邊中的 一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍 2 射影定理（歐幾里得定理） 3 中 線 定 理 （ 巴 布 斯 定 理 ） 設(shè) ABC 的 邊 BC 的 中 點 為 P, 就 有 AB 2AC 22 AP 2 BP ； 2 2 2中線長： ma 2b 2c a 24 垂線定理： AB CD AC 2AD 2BC 2 BD 2高線長： h a 2p p

2、a p b p c bc sin A c sin B b sin C a a 5 角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個 角的兩邊對應(yīng)成比例 如 ABC中, AD平分 BAC,就 角平分線長： t ab2c bcp p a BD AB ；（外角平分線定理） DC AC 2bc cos （其中 p 為周長一半） A b c 26 正弦定理： a b c 2R,（其中 R為三角形外接圓半徑） sin A sin B sin C 2 2 27 余弦定理： c a b 2ab cosC 8 張角定理： sin BAC sin BAD sin DAC AD AC AB 9 斯特瓦爾

3、特 Stewart 定理：設(shè)已知 ABC 及其底邊 B,C 兩點間的上 一 點 D,就有 ABDC+ACBDAD BCBC DC BD 10 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等,等于圓心角的一半 （圓外角如 第 1 頁,共 13 頁何轉(zhuǎn)化？） 11 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角 12 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理） ：切線 長定理：） 13 布拉美古塔 （ Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中,ACBD, 自對角線的交點 P 向一邊作垂線,其延長線必平分對邊 14 點到圓的冪：設(shè) P 為 O 所在平面上任意一 PO=d,O 的半徑為 點,

4、 r , 就 d r 就是點 P 對于 O 的 P 任作始終線與 O 交于點 A,B,冪過 就 PAPB= | d r | “到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一 條直線,假如此二圓相交,就該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié) 論這條直線稱為兩圓的“根軸” 三個圓兩兩的根軸假如不相互平行,就 它們交于一點,這一點稱為三圓的“根心” 三個圓的根心對于三個圓等 冪當(dāng)三個圓兩兩相交時,三條公共弦 點 就是兩兩的根軸 所在直線交于一 15 托勒密（ Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積 之和,即 ACBD=ABCD+ADBC, 逆命題成立 （廣義托勒密定理） ABC

5、D+AD BC AC BD 16 蝴蝶定理： AB 是 O 的弦, M 是其中點,CD, EF 經(jīng)過點 M, CF, 弦 DE 交 AB 于 P,Q,求證： MP=QM17 費馬點： 定理 1 等邊三角形外接圓上一點,到該三角形較近兩頂點距 離之和等于到另一頂點的距離；不在等邊三角形外接圓上的點,到該三角 第 2 頁,共 13 頁形兩頂點距離之和大于到另一點的距離 定理 2 三角形每一內(nèi)角都小于 120時,在三角形內(nèi)必存在一點,它對三條邊所張的角都是 120,該點 到三頂點距離和達到最小, 稱為“費馬點”,當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于 120 時,此角的頂點即為費馬點 18 拿破侖三角形： 在任意

6、ABC的外側(cè),分別作等邊 ABD, BCE,CAF, 就 AE,AB,CD三線共點,并且 AE BFCD,這個命題稱為拿破侖定 以 理 ABC 的三條邊分別向外作等邊 ABD, BCE, CAF,它們的外接圓 C1, A1, B1的圓心構(gòu)成的外拿破侖的三角形, C1, A1, B1三圓共點,外拿破侖三角形是一個等邊三角形； ABC 的三條邊分別向 ABC 的內(nèi)側(cè)作等邊 ABD, BCE, CAF,它們的外接圓 C2, A2, B2的圓心構(gòu)成的內(nèi)拿破侖三角形, C2, A2, B2三圓共點,內(nèi) 拿破侖三角形也是一個等邊三角形這兩個拿破侖三角形仍具有相同的中 心 19 九點圓（ Nine poin

7、t round 或歐拉圓或費爾巴赫圓） ：三角形中,三邊 中心,從各頂點向其對邊所引垂線的垂足, 以及垂心與各頂點連線的中點, , 例如 : 這九個點在同一個圓上,九點圓具有許多好玩的性質(zhì) （ 1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半 ; （ 2）九點圓的圓心在歐拉線上 , 且恰為垂心與外心連線的中點 ; （ 3）三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓 , 三個旁切圓均相切費爾巴哈定 理 20 歐拉（ Euler ）線：三角形的外心,重心,九點圓圓心,垂心依次位于 第 3 頁,共 13 頁同始終線（歐拉線）上 21 歐拉（ Euler ）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為 R,內(nèi)切圓半徑為 r ,

8、外心與內(nèi)心的距離為 d,就 d =R2Rr 22 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的 和 23 重心：三角形的三條中線交于一點,并且各中線被這個點分成 2： 1 的 兩部分； G x A xB xC , y A y B yC 3 3重心性質(zhì)：（ 1）設(shè) G 為 ABC 的重心,連 AG 并延長 BC 于 D,就 D結(jié) 交 為 BC 的中點,AG : GD 2 : 1； 就 （ 2）設(shè) G 為 ABC 的重心,就 ABG S BCG S ACG 1S ABC ；S 3（ 3）設(shè) G 為 ABC的重心,過 G 作 DE BC交 AB 于 D,交 AC于 E,過 G 作 PF

9、AC交 AB 于 P,交 BC于 F,過 G 作 HKAB 交 AC于 K,交 BC 于 H,DE FP KH 2 ; DE FP KH 2 ； 就 BC CA AB 3 BC CA AB （ 4）設(shè) G 為 ABC 的重心,就 2 2 2 2 2 2 BC 3GA CA 3GB AB 3GC ； 2 2 2 2 2 GA GB GC 1 AB 3 2 BC CA ； 2 2 2 2 2 2 2 PA PB PC GA GB GC 3PG （ P 為 ABC 內(nèi)任意一點）； 到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心, 即 GA 2GB 2 GC 2 最小； 三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心

10、；反之亦然（即中意上 述條件之一,就 G 為 ABC 的重心） 第 4 頁,共 13 頁24 垂 心 ： 三 角 形 的 三 條 高 線 的 交 點 ； HaA x A bx B c x C, aA y A by B c y C cos cos B bcos C c cos cos B bcos C c aacos A cos B cos C cos A cos B cos C 垂心性質(zhì)：（ 1）三角形任一頂點到垂心的距離,等于外心到對邊的距離 的 2 倍； （ 2）垂心 H 關(guān)于 ABC 的三邊的對稱點,均在 ABC 的外接圓 上； （ 3） ABC 的垂心 H,就 ABC, ABH, BC

11、H, ACH的外接圓為 是 等圓； （ 4 ） 設(shè) O , H 分 別 為 ABC 的 外 心 和 垂 心 , 就 BAO HAC , CBO ABH , BCO HCA 25 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點內(nèi)接圓圓心,即內(nèi)心到三角形各 邊距離相等； I axA bxB cxC , ayA byB cyC ab c abc 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè) I 為 ABC 的內(nèi)心,就 之亦然； I 到 ABC 三邊的距離相等,反 （ 2） 設(shè) 90 I 1為 ABC 的 內(nèi) 心 , 就 BIC 90 1 2A, AIC B, AIB 90 1C； 22（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離

12、與到內(nèi)心 的距離相等；反之,如 A 平分線交 ABC 外接圓于點 K, I 為線段 AK 上的點且中意 KI=KB,就 I 為 ABC 的內(nèi) 心； A 平分線交 BC于 D,交 ABC （4）設(shè) I 為 ABC的內(nèi)心,a, AC b, AB c, BC第 5 頁,共 13 頁外接圓于點 K,就 AI ID AK IK b c ； ac, I 在 BC,AC, AB 上的射影分別 為 KI KD （5）設(shè) I 為 ABC 的內(nèi)心, a, AC b, AB BC D,E,F , 內(nèi) 切 圓 半 徑 為 r, 令 p 1a bc , 就 S ABC pr ； 2AE AF pa; BD BF p b

13、; CE CD p c ； abcr p AI BI CI 26 外心：三角形的三條中垂線的交點外接圓圓心,即外心到三角形 各頂點距離相等； sin 2 Ax A O sin 2 A sin 2Bx B sin 2Cx Csin 2Ay A sin 2By B , sin 2A sin 2B sin 2Cy sin 2C C sin 2B sin 2C 外心性質(zhì)：（ 1）外心到三角形各頂點距離相等； （ 2）設(shè) O 為 ABC 的外心,BOC 2 A 或 BOC 360 2 A ； 就 （ 3） R abc ；（ 4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其 4 S 內(nèi)切圓與外接圓半徑之和 27

14、 旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點旁切圓圓心； 設(shè) ABC1 的 三邊 BC a, AC b, AB c, 令 p a b c ,分別與 BC, AC, AB 外側(cè)相切的旁切圓 2圓心記為 I , I B , I ,其半徑分別記為 r , r , r C A B C 旁心性質(zhì)：（ 1） BI C 90 1A, BI C BI C 1 A, （對于頂角 B,C 也有 2 2類似的式子）； （ 2） I I I A B C 1 2A C ； D,就 DI A DB DC （對于 BI B , CI C 有 （ 3）設(shè) AI A 的連線交 ABC 的外接圓于 同樣的結(jié)論）； （ 4）ABC是 I

15、 AI BI C的垂足三角形,且 I AI BI C 的外接圓半徑 R 等于 ABC 的直徑為 2R 第 6 頁,共 13 頁28 三 角 形 面 積 公 式 ： S ABC 1 ah a 1 ab sin C abc 2 R 2 sin Asin B sin C a 2b 2c 22 2 4R 4cot A cot B cot C pr p p a p b p c ,其中 ha 表示 BC 邊上的高, R 為外接圓半徑, r 為內(nèi) 切圓半徑, p 1 a b c 229 三角形中內(nèi)切圓,旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系： r4Rsin A sin 2B Csin 2 2; ra 4Rsin A

16、B Ccos cos , rb 2 2 2A 4Rcos sin 2B Ccos , rc 2 2 A B C4Rcos cos sin 2 2 2; r a rC, r b tan rtan C, rc rB ; 1111. tan tan B 2 A tan tan A 2 r a r b rc r222230 梅涅勞斯（ Menelaus）定理：設(shè) ABC 的三BC, CA, AB 或其延長邊 線 和 一 條 不 經(jīng) 過 它 們 任 一 頂 點 的 直 線 的 交 點 分 別 為 P, Q, R 就 有 BP CQ AR 1（逆定理也成立） PC QA RB 31 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理

17、 1：設(shè) ABC的 A 的外角平分線交 CA 于 邊 Q, C 的平分線交 AB 于 R, B 的平分線交 CA 于 Q,就 P, Q, R 三點邊 邊 共 線 32 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理 2：過任意 ABC 的三個頂 A,B,C 作它點 的 外接圓的切線,分別和 BC,CA,AB 的延長線交于 P, Q, R,就 P,Q, R 點 三點共線 33 塞瓦 Ceva 定理：設(shè) X,Y,Z 分別為 ABC 的 BC,CA,AB 上的一邊 點, AZ BX CY 就 AX,BY,CZ 所在直線交于一點的充要條件是 ZB XC YA =1 34 塞瓦定理的應(yīng)用定理： 設(shè)平行于 ABC的邊 BC 的直

18、線與兩 AB,AC邊 的 第 7 頁,共 13 頁交點分別是 D, E,又設(shè) BE 和 CD 交于 S,就 AS 確定過邊 BC 的中點 M 35 塞瓦定理的逆定理： （略） 36 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理 1：三角形的三條中線交于一點, 三角形 的三條高線交于一點,三角形的三條角分線交于一點 37 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理 2：設(shè) ABC 的內(nèi)切圓和 BC, CA, AB 邊 分別相切于點 R,S, T,就 AR, BS, CT 交于一點 38 西摩松（ Simson）定理：從 ABC 的外接圓上任意一 P 向三邊 BC, 點 CA,AB 或其延長線作垂線,設(shè)其垂足分別是 D, E,R,

19、就 D, E,R 共線, （這條直線叫西摩松線 Simson line ） 39 西摩松定理的逆定理： （略） 40 關(guān)于西摩松線的定理 1： ABC 的外接圓的兩個端點 P, Q 關(guān)于該三角 形的西摩松線相互垂直,其交點在九點圓上 41 關(guān)于西摩松線的定理 2（寂靜定理）：在一個圓周上有 4 點,以其中任 三點作三角形,再作其余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線,這些西摩松線 交于一點 42 史坦納定理：設(shè) ABC 的垂心為 H,其外接圓的任意 P,這時關(guān)于 ABC 點 的點 P 的西摩松線通過線 PH 的中段 心 43 史坦納定理的應(yīng)用定理： ABC 的外接圓上的一 P 的關(guān)于邊 BC,點 CA

20、, AB 的對稱點和 ABC 的垂心 H 同在一條（與西摩松線平行的）直線上這 條直線被叫做點 P 關(guān)于 ABC 的鏡象線 44 牛頓定理 1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對 第 8 頁,共 13 頁角線的中點,三點共線這條直線叫做這個四邊形的牛頓線 45 牛頓定理 2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點,及該圓的圓心,三點 共線 46 笛沙格定理 1：平面上有兩個三角形 ABC,DEF,設(shè)它們的對應(yīng)頂點 （ A 和 D,B 和 E,C 和 F）的連線交于一點,這時假如對應(yīng)邊或其延長線 相 交,就這三個交點共線 47 笛沙格定理 2：相異平面上有兩個三角形 ABC,DEF,設(shè)它

21、們的對應(yīng) 頂點（ A 和 D,B 和 E,C 和 F）的連線交于一點,這時假如對應(yīng)邊或其延 長 線相交,就這三個交點共線 48 波朗杰,騰下定理：設(shè) ABC 的外接圓上的三點 P, Q,R,就 P, Q, 為 R 關(guān)于 ABC 交于一點的充要條件是：AP+弧 BQ+弧 CR=0mod2 弧 49 波朗杰,騰下定理推論 1：設(shè) P,Q,R 為 ABC 的外接圓上的三點,如 P,Q,R 關(guān)于 ABC 的西摩松線交于一點,A, B,C 三點關(guān)于 PQR的 就 的 西摩松線交于與前相同的一點 50 波朗杰,騰下定理推論 2：在推論 1 中,三條西摩松線的交點是 A,B, C,P, Q,R 六點任取三點

22、所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形 的 垂心的連線段的中點 51 波朗杰,騰下定理推論 3：考查 ABC 的外接圓上的一 P 的關(guān)于 點 ABC 的西摩松線,如設(shè) QR 為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦,就三 P,Q, 點 R 的關(guān)于 ABC 的西摩松線交于一 點 52 波朗杰,騰下定理推論 4：從 ABC 的頂點向 BC,CA,AB 引垂 邊 線, 第 9 頁,共 13 頁設(shè)垂足分別是 D,E, F,且設(shè)邊 BC, CA, AB 的中點分別 是 L, M, N,就 D, E,F,L,M,N 六點在同一個圓上,這 時 松線交于一點 L,M,N 點關(guān)于關(guān)于 ABC 的西 摩 53 卡諾定理

23、：通過 ABC 的外接圓的一 P,引與 ABC的三邊 BC, 點 CA, AB 分別成同向的等角的直 PD, PE, PF,與三邊的交點分別是 D,E,F, 線 就 D, E, F 三點共線 54 奧倍爾定理： 通過 ABC 的三個頂點引相互平行的三條直 設(shè)它們與 線, ABC 的外接圓的交點分別 L, M, N,在 ABC 的外接圓上取一 P,就 是 點 PL,PM,PN與 ABC的三邊 BC,CA,AB 或其延長線的交點分別 D,E,F, 是 就 D, E, F 三點共線 55 清宮定理：設(shè) P,Q 為 ABC 的外接圓的異 A, B, C 的兩點, P 點于 的 關(guān)于三邊 BC,CA,A

24、B 的對稱點分別是 U,V,W,這時, QU,QV,QW和邊 BC,CA,AB 或其延長線的交點分別 D, E,F,就 D, E,F 三點共線 是 56 他拿定理：設(shè) P, Q 為關(guān)于 ABC 的外接圓的一對反點,P 的關(guān)于點 三 邊 BC,CA,AB 的對稱點分別 U, V,W,這時,假如 QU,QV,QW和邊 是 BC, CA,AB 或其延長線的交點分別 D, E,F,就 D, E, F 三點共線（反點： 是 P,Q 分別為圓 O 的半徑 OC和其延長線的兩點, 假如 OC=OQ OP 就稱 P,Q 兩點關(guān)于圓 O 互為反點） 57 朗古來定理：在同一圓周上有 A1,B1, C1,D1四點

25、,以其中任三點作三 角形,在圓周取一點 P,作 P 點的關(guān)于這 4 個三角形的西摩松線,再從 P 第 10 頁,共 13 頁向這 4 條西摩松線引垂線,就四個垂足在同一條直線上 58 從三角形各邊的中點,向這條邊所對的頂點處的外接圓的切線引垂線, 這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心 59 一個圓周上有 n 個點,從其中任意 n 1 個點的重心,向該圓周的在其 余一點處的切線所引的垂線都交于一點 60 康托爾定理 1：一個圓周上有 n 個點,從其中任意 n2 個點的重心向 余下兩點的連線所引的垂線共點 61 康托爾定理 2：一個圓周上有 A,B,C, D 四點及 M,N 兩點,就 M 和 N 點關(guān)于四個三角形 BCD, CDA, DAB, ABC中的每一個的兩條西摩 松 線的交點在同始終線上這條直線叫做 M,N 兩點關(guān)于四邊ABCD的康形 托 爾線 62 康托爾定理 3：一個圓周上有 A,B,C, D 四點及 M,N,L 三點,就 M, N 兩點的關(guān)于四邊 ABCD的康托爾線, L,N 兩點的關(guān)于四邊 ABCD的 康 形 形 托爾線,M,L 兩點的關(guān)于四邊形 ABCD的康托爾線交于一點 這個點叫 M, 做 N, L 三點關(guān)于四邊形 ABCD的康托爾 點 63 康托爾定理 4：一個圓周上有 A,B,C,D,E 五點及 M,N,L 三點,就 E CDE,A DEA,B EAB