高中數(shù)學(xué)圓錐曲線常見題型歸納

1、圓錐曲線常見題型歸納一、基礎(chǔ)題 涉及圓錐曲線的基本概念、 幾何性質(zhì),如求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求準(zhǔn)線或漸近線方程, 求頂點(diǎn)或焦點(diǎn)坐標(biāo), 求與 a , b , c , e , p 有關(guān)的值,求與焦半徑或長（短）軸或?qū)?（虛）軸有關(guān)的角和三角形面積； 此類題在考試中最常見,解此類題應(yīng)留意：嫻熟把握圓錐曲線的圖形結(jié)構(gòu),充分利用圖形來解題；留意離心率與曲線形狀的關(guān)系；如未指明焦點(diǎn)位置,應(yīng)考慮焦點(diǎn)在x軸和 y 軸的兩種（或四種）情形；留意 a , 2 a , a 2,b 2, b , b 2,c 2, c , c 2,2 p , p , p 2 的區(qū)分及其幾何背景、顯現(xiàn)位置的不同,橢圓中 c 2a 2b

2、2,雙曲線中 c 2a 2b 2,離心率 e c a,準(zhǔn)線方程 x a 2c；二、定義題 對圓錐曲線的兩個定義的考查,與動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離（焦半徑）和動點(diǎn)到定直線（準(zhǔn)線）的距離有關(guān),有時要用到圓的幾何性質(zhì)；此類題常用平面幾何的方法來解決,需要對圓錐曲線的（兩個）定義有深化、細(xì)致、全面的理解和把握；常用到的平面幾何學(xué)問有：中垂線、角平分線的性質(zhì),勾股定理,圓的性質(zhì),解三角形（正弦余弦定理、三角形面積公式）,當(dāng)條件是用向量的形式給出時,應(yīng)由向量的幾何形式而用平面幾何學(xué)問；涉及圓的解析幾何題多用平面幾何方法處理；三、直線與圓錐曲線的關(guān)系題寫直線方程時,先考慮斜率k 存在,把直線方程設(shè)為ykxb的形式,

3、但隨后應(yīng)對斜率 k 不存在的情形作出相應(yīng)說明,由于 般是驗(yàn)證前面的結(jié)論此時是否成立；k 不存在的情形很特別,一聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程,消去 x 或消去 y ,得到方程 ax 2bx c 0 或 ay 2by c 0 ,此方程是后一切運(yùn)算的基礎(chǔ),應(yīng)確保不出錯；當(dāng)方程或的二次項系數(shù) a 0 時, 方程是一次方程,只有唯獨(dú)解,不能用判別式, 這種情形是直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行；（過拋物線外一點(diǎn)作與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線有三條,過雙曲線含中心的區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)（不在漸近線上）作與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線有四條；）當(dāng)方程或的二次項系數(shù)a0時,判別式0 、0、0,與之相對應(yīng)的

4、是,直線與圓錐曲線分別相離、相切、相交；如直線與圓錐曲線有公共點(diǎn),應(yīng)用0 來求斜率 k 的范疇；直線與圓錐曲線相交成弦（前提 a 0,0）,記為 AB ,其中 A x 1y 1 ,B x 2y 2 , AB 的坐標(biāo)可由方程或求得,一般是由方程求出 x 1, x 2,再代入直線方程求 y 1, y 2,或由方程求出 y 1, y 2,再代入直線方程求 x 1, x 2；涉及弦長問題, 可用韋達(dá)定理, 由方程 ax 2bx c 0 求出 x 1 x 2 , x 1 x 2,A x 1y 1 ,B x 2y 2 在直線 y kx b 上,y 1 kx 1 b,y 2 kx 2 b,2 2 2 2y

5、1 y 2 k x 1 x 2 , AB x 1 x 2 y 1 y 2 1 k x 1 x 2 1 k 2 x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 1 k 2；a留意 ,假如聯(lián)立直線和圓錐曲線方程,消去 x ,得到 ay 2by c 0 ,繼而用韋達(dá)定理,求出 y 1 y 2 , y 1 y 2,x 1 x 2 1 y 1 y 2 , kAB x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 1 12 y 1 y 2 2k1 12 y 1 y 24y y 1 12 ；k k a涉及弦中點(diǎn)問題,可用韋達(dá)定理,由方程 ax 2bx c 0 求出 x 1 x 2,設(shè)弦 A x 1y 1 B x 2y 2 的

6、中點(diǎn)為 M x 0y 0 ,就 x 0 x 1 x 2,M 點(diǎn)也在直2線 y kx b 上,y 0 kx 0 b；假如問題僅僅與弦中點(diǎn)和弦的斜率 k 有關(guān),而不涉及弦長,就可把弦 AB 的坐標(biāo) x 1y 1 , x 2y 2 直接代入曲線方程,然后相減,因式分解,所得的式子中只有 x 1 x 2 、 x 1 x 2 、 y 1 y 2 、 y 1 y 2 ,這些都與弦中點(diǎn)坐標(biāo)和弦的斜率 k 有關(guān)；弦AB滿意有關(guān)的向量的條件,如 OA OB 0（ O 為原點(diǎn)）,就x 1 x 2 y 1 y 2 0,y 1 kx 1 b,y 2 kx 2 b,2 2x 1 x 2 kx 1 b kx 2 b 1

7、k x 1 x 2 kb x 1 x 2 b 0 . 又如過橢圓 x 22 y 22 的右焦點(diǎn) 1F 的直線 l 與該橢圓交于 M N 兩點(diǎn),且F 1MF2M2263,求直線 l 的方程；四、關(guān)于圓錐曲線的最值圓錐曲線上的動點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離的最值；設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo) M x 0y 0 ,用兩點(diǎn)間的距離公式表示距離 d ,利用點(diǎn) M 的坐標(biāo) x 0y 0 滿意圓錐曲線方程,消去 y （或消去 x ）,把 d 表示成 20 x （或 0y ）的二次函數(shù),由于 x （或 0y ）有一個取值范疇（閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間）,所以問題轉(zhuǎn)化為：求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值； 有時須針對二次函數(shù)的對稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系

8、進(jìn)行分類 爭論；圓錐曲線上的動點(diǎn)到一條定直線的距離的最值；作圓錐曲線與定直線平行的切線,切點(diǎn)即為所求的點(diǎn),切線與定直線的距離即為所求最值；五、求動點(diǎn)的軌跡方程直接法按求動點(diǎn)軌跡方程的一般步驟求,其過程是建系設(shè)點(diǎn),列出幾何等式, 坐標(biāo)代換, 化簡整理,主要用于動點(diǎn)具有的幾何條件比較明顯時；例 1、已知點(diǎn)A 2 ,0、B3 0,.動點(diǎn)Px,y滿意PAPBx2,就點(diǎn) P 的軌跡為（）A圓B橢圓C雙曲線D拋物線參數(shù)法（求曲線的基本方法）如動點(diǎn) P（x,y）的坐標(biāo) x 與 y 之間的關(guān)系不易直接找到,就可求出 x、y 關(guān)于另一變量的參數(shù)方程,再化為一般方程而動點(diǎn)變化受到另一變量的制約,例 2、 過拋物線

9、y22px（p0）的頂點(diǎn) O 作兩條相互垂直的弦OA 、OB ,求弦 AB 的中點(diǎn) M 的軌跡方程 .定義法（只求軌跡,不求方程,用幾何性質(zhì)及圓錐曲線定義）動點(diǎn)運(yùn)動的規(guī)律滿意某種曲線的定義,就可依據(jù)曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程此法一般用于求圓錐曲線的方程,在高考中常填空、挑選題的形式顯現(xiàn)例 3、一動圓與兩圓2 xy21和2 xy28x120都外切,就動圓圓心軌跡為（A ）拋物線（B）圓（C）雙曲線的一支（D）橢圓相關(guān)點(diǎn)法如動點(diǎn) M（x,y）依靠已知曲線上的動點(diǎn)N 而運(yùn)動,就可將轉(zhuǎn)化后的動點(diǎn)N 的坐標(biāo)入已知曲線的方程或滿意的幾何條件,從而求得動點(diǎn) 兩個或兩個以上動點(diǎn)的情形M 的軌跡方程,此法稱為代入法,一般用于例 4、如圖,從雙曲線C:x2y21上一點(diǎn) Q 引直線l:xy2的垂線,垂足為N ,求線段 QN 的中點(diǎn) P 的軌跡方程；交軌法 當(dāng)所求動點(diǎn) M 恰好為兩動曲線的交點(diǎn)并且兩曲線隨著某參量的變化而變化時,可以選用合 適