六同第三講直線型面積計(jì)算

1、,.第三講直線型面積計(jì)算教課目的：1.掌握等量代換和割補(bǔ)法的性質(zhì)與特色2.靈巧運(yùn)用這兩種方法決求直線型圖形的面積。3.培育學(xué)生剖析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力教課重難點(diǎn)：割補(bǔ)法在求圖形面積中的應(yīng)用。教課方法：講練教課器具：講義教課過(guò)程:一、故事導(dǎo)入一位農(nóng)民請(qǐng)了工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家來(lái)，想用最少的籬笆圍出最大的面積。工程師用籬笆圍出一個(gè)圓，聲稱(chēng)這是最優(yōu)設(shè)計(jì)。物理學(xué)家將籬笆拉開(kāi)成一條長(zhǎng)長(zhǎng)的直線，以為圍起半個(gè)地球總夠大了。（講到這里，老師們能夠停下來(lái)問(wèn)問(wèn)同學(xué)們還有更好的方法嗎？讓學(xué)生們暢所欲言）揭曉答案，數(shù)學(xué)家好好嘲諷了他們一番。他用極少的籬笆把自己圍起來(lái)，而后說(shuō)：“我此刻是在外面。”師：這個(gè)故事告訴我們想

2、問(wèn)題不可以故步自封，而要把思路發(fā)散開(kāi)來(lái)。就像我們同學(xué)從3年級(jí)開(kāi)始就已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形、梯形、三角形等圖形，關(guān)于他們的面積公式必定是熟記于心。（這里能夠帶著學(xué)生復(fù)習(xí)一下邊積公式：長(zhǎng)方形S=ab；正方形S=aa；梯形S=(a+b)h2；三角形S=ah2。另外老師能夠準(zhǔn)備一些規(guī)則以及不規(guī)則的圖形卡片，指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中實(shí)質(zhì)有好多平面圖形其實(shí)不是規(guī)則的圖形，那么我們?cè)撛鯓觼?lái)求它們的面積呢？這就需要必定的方法了）下邊就隨著老師走進(jìn)今日的數(shù)學(xué)講堂，學(xué)完今日的內(nèi)容大家就會(huì)豁然爽朗了！那么我們一同來(lái)學(xué)習(xí)-直線型面積計(jì)算二、新課學(xué)習(xí),.例1：（原例3）、已知長(zhǎng)方形ABCD的面積是40平方厘米，AE=5cm

3、，求BD的長(zhǎng)。DCE5cmAB分析：能夠很簡(jiǎn)單發(fā)現(xiàn)BD是三角形ABD的一條邊，又因?yàn)锳E為BD的高，那么在已知高的狀況下怎樣求底邊？利用公式三角形S=ah2變形得a=s2h。能夠求得BD。三角形ABD的面積：402=20平方厘米BD的長(zhǎng)：2025=8厘米小結(jié)：此題采納公式變形的方法計(jì)算出結(jié)果，稱(chēng)之定義法。例2：（原例1）、三角形ABC的面積為36平方分米,DC=2BD,求暗影部分的面積。ABDC分析：由題意DC=2BD，能夠理解成BD被分紅3份，BD占1份，DC占2份，又因?yàn)槿切蜛DC和三角形ABD等高，因此三角形ADC是三角形ABD的2倍。36（1+2）2=24平方分米過(guò)渡：來(lái)看下一個(gè)例題

4、可不可以夠用這個(gè)方法呢？例3、如圖，在三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn)，AE=3ED，三角形ABC的面積為96平方厘米，求陰影部分。,.AEBDC分析：D為三角形ABC的底邊BC的中點(diǎn)，BD=CD，并且三角形ABD和ADC等高，因此三角形ABD和ADC面積相等。也能夠理解為AD把三角形ABC分紅了面積相等的兩部分，三角形ABD占一份。同樣的，在三角形ABD中，底邊AD上有這樣的關(guān)系-AE=3ED，說(shuō)明AD被分紅了4平分，ED占一份，AE占3份，即三角形ABD被分紅了面積相等的4部分，三角形ABE占3份。SABD=962=48平方厘米4843=36平方厘米小結(jié)：經(jīng)過(guò)以上兩個(gè)例題，我們知道了同高三角

5、形面積的份數(shù)關(guān)系等于底的分?jǐn)?shù)關(guān)系（因?yàn)橛行W(xué)生不知道比，因此老師們能夠視班里學(xué)生狀況總結(jié)）下邊我們看下練習(xí)7練習(xí)：以下列圖，已知在三角形ABC中，BE=3AE，CD=2AD。若三角形ADE的面積為1平方厘米。求三角形ABC的面積。AAEEDDBCBC分析：這一題和方才的兩題就有點(diǎn)差別了，題目中給出了邊的份數(shù)關(guān)系和小三角形ADE的面積。我們要求大三角形ABC的面積。連結(jié)BD，我們?nèi)允菑拇笕切伍_(kāi)始剖析：CD=2AD，說(shuō)明AC被分紅了3等份，CD占2份，即三角形ABC被分紅了面積相等的3等份，三角形ABD占一份；BE=3AE,說(shuō)明AB被分紅,.了4等份，AE占一份，即三角形ABD的面積被分紅了4等

6、份，三角形ADE占一份。這樣我們就找到了SADE與SABC的關(guān)系。1（3+1）=4（平方厘米）4（2+1）=12（平方厘米）例4、下列圖是由大、小兩個(gè)正方形構(gòu)成的，小正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，大正方形邊長(zhǎng)為5厘米，求三角形AABC的面積。ABBFECDFECD分析：這個(gè)題目只有小正方形的邊長(zhǎng)是已知的，而三角形ABC中有一部分在小正方形中，還有一部分在大正方形中。假如我們能經(jīng)過(guò)等量代換把三角形ABC所有都變換到小正方形中就好解決了。連結(jié)AD，明顯ADBC,接下來(lái)怎么轉(zhuǎn)變呢？我們把梯形ABCD獨(dú)自取出來(lái)議論，ABFDC發(fā)現(xiàn)，三角形ABD和ACD有公共的底AD，且它們的高相等（因?yàn)锳DBC）。因此，SA

7、BD=SACD，而這兩個(gè)三角形有一個(gè)公共的部分-三角形ADF，依據(jù)我們前面講的，等式兩邊都減去SADF后所得結(jié)果仍舊相等，聯(lián)系圖形，即SABF=SCDF。這是有名的蝶形定理中的一個(gè)性質(zhì)。而后，我們就能夠把三角形ABC所有轉(zhuǎn)變到小正方形中了，SABC=SBCD。SABC=SBCD=442=8（平方厘米）答：三角形ABC的面積為8平方厘米。,.小結(jié)：這一題我們連結(jié)AD，利用兩個(gè)正方形的對(duì)角線，找出一個(gè)梯形，而后再進(jìn)行等量代換。把三角形ABC中的ABF割下來(lái)補(bǔ)到三角形CDF中，這樣就用到了我們今日要學(xué)習(xí)的第二種方法-割補(bǔ)法，把不能直接求的面積轉(zhuǎn)變?yōu)槟軌蚯蟮拿娣e。這一題還要注意蝶形定理的運(yùn)用。例5：兩

8、個(gè)相同的直角三角形以下列圖所示（單位：厘米）重疊在一同，求暗影部分的面積.ADB3OC2EF10分析：先看一個(gè)簡(jiǎn)單的加減法算式13=5+8，假如等式的兩邊都減去3，結(jié)果還會(huì)不會(huì)相等呢？（發(fā)問(wèn)）其實(shí)這里面隱含著一個(gè)很重要的性質(zhì)-兩個(gè)相等的量同時(shí)減去一個(gè)相同的量，所得結(jié)果仍舊相等，簡(jiǎn)稱(chēng)同減。此刻我們來(lái)看這一題，暗影部分的面積不可以直接求出，能夠轉(zhuǎn)變?yōu)锳BC與DOC的面積差。ABC和DEF是相同的三角形，因此SABC=SDEF；從圖中看出，DOC是ABC和DEF的公共部分。依據(jù)我們前面的剖析，能夠得出SABC-SDOC=SDEF-SDOC，因此S陰=SOEFC。SOEFC=（10+7）22=17（平

9、方厘米）答：暗影部分的面積為17平方厘米。例6、以下列圖所示，在一個(gè)等腰直角三角形中，削去一個(gè)三角形后，剩下一個(gè)上底長(zhǎng)5厘米、下地長(zhǎng)9厘米的等腰梯形（暗影部分）。求這個(gè)梯形的面積。,.分析：已知條件只給出了大、小兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)，但是求三角形的面積需要知道直角邊長(zhǎng)，怎么辦呢？能不可以想方法把直角邊轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯沁吥?？題目所給的三角形特別特別，等腰直角三角形，其底角為45度。我們將這個(gè)三角形沿著此中一條直角邊旋轉(zhuǎn)180度，以后獲得下列圖：ADBEFC我們發(fā)現(xiàn)，三角形ABC和DEF仍舊是等腰直角三角形，且這兩個(gè)三角形的面積能夠直接得出。然后依據(jù)我們方才學(xué)習(xí)的等量代換的思想，能夠計(jì)算出暗影部分的面

10、積，而后再得出題目所求。SABC=992=40.5（平方厘米）SDEF=552=12.5（平方厘米）S陰=40.5-12.5=28（平方厘米）S梯=282=14（平方厘米）這類(lèi)方法我們利用了這里特別的45度角，除了利用補(bǔ)圖形的方法外，還有沒(méi)有其余方法呢？求三角形的面積需要知道底邊長(zhǎng)和對(duì)應(yīng)邊上的高，我們給這個(gè)等腰三角形作高，大家有沒(méi)有什么發(fā)現(xiàn)呢？（引導(dǎo)學(xué)生，讓他們學(xué)會(huì)利用等腰直角三角形特別的45度角）以下列圖MN垂直于AC，三角形CNM和FHM也都是等腰直角三角形，MN=CN=AC2=4.5（厘米）MH=FH=CD2=2.5（厘米）HN=4.5-2.5=2（厘米）S梯=（5+9）22=14（平方

11、厘米）,.ADNHMFC小結(jié)：這一題我們有兩種方法，都是利用了等腰直角三角形中特別的45度角，或許是旋轉(zhuǎn)補(bǔ)圖形，或許是作高。下邊大家看練習(xí)題8練習(xí)：在下列圖所示的等腰直角三角形中，剪去一個(gè)三角形后，剩下的部分是一個(gè)直角梯形（暗影部分）。已知梯形的面積為36平方厘米，上底為3厘米，求下底和高。分析：這一題和例題的條件很相像，不過(guò)例題中平行于底邊剪掉一個(gè)三角形，而此題中則平行于一條直角邊剪掉一個(gè)三角形。依據(jù)方才的學(xué)習(xí)，大家應(yīng)當(dāng)平等腰直角三角形中特別的45度角很有好感了！因?yàn)樗鼘?duì)我們解題很有幫助。與例題近似，我們先補(bǔ)圖形，以下列圖：AEOFBDC我們發(fā)現(xiàn)，三角形AOF，AEF，ABC都是等腰直角三角

12、形。因?yàn)轭}目中告訴了直角梯形的上底，即OF=OE=3，AO=3，因此三角形AEF的面積可求。等腰梯形EFCB的面積也可求，這樣就能求出三角形ABC的面積。依據(jù)三角形的面積計(jì)算公式，能夠求出BC，AD，而后再求CD，OD，即下底和高。（3+3）32=9（平方厘米）362+9=81（平方厘米）,.BCAD2=CDAD=CDCD=81（平方厘米）CD=AD=9（厘米）OD=9-3=6（厘米）答：下底為9厘米，高為6厘米。例7、在下列圖的直角三角形中有一個(gè)矩形，求矩形的面積。46分析：求矩形的面積我們一定知道其長(zhǎng)和寬，而題目給出的條件與所求沒(méi)有任何關(guān)系，因此我們要想方法把已知條件轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀兡軌蛴玫牧俊?/p>

13、因?yàn)轭}目給出的是一個(gè)直角三角形，我們給它補(bǔ)一個(gè)相同的直角三角形，讓它變?yōu)橐粋€(gè)矩形，以下圖：GADEFOBCH我們發(fā)現(xiàn)，在矩形ABCD中，三角形ABC和ACD相等；在矩形AEOG中，三角形AOG和AOE相等；在矩形CFOH中，三角形COF和COH相等。依據(jù)等量代換的思想，SABC-SCOH-SAOE=SACD-SCOF-SAOG，即SBEOH=SDFOG。矩形DOFG的面積能夠有已知條件求出，因此得解。SBEOH=SDFOG=46=24,.小結(jié)：在這一例中，我們利用對(duì)稱(chēng)的思想補(bǔ)圖形，而后再進(jìn)行等量代換，得出題目所求。下邊大家看練習(xí)題9，用近似的方法試一試看。練習(xí)：在下列圖中，長(zhǎng)方形AEFD的面積

14、是18平方厘米，BE長(zhǎng)3厘米，求CD的長(zhǎng)。CFDAEB分析：這一題和例題特別的近似，不過(guò)把已知和求解調(diào)動(dòng)了。相同的，我們先要補(bǔ)圖形，如圖CHGDFMAEB和例題近似，在矩形ABGC中，三角形ABC和BGC相等；在矩形BEFM中，三角形BEF和BMF相等；在矩形CDFH中，三角形CDF和FHC相等。因此，SABC-SBEF-SCDF=SBGC-SBMF-SFHC，即SAEFD=SGMFHSGMFH=FMHF=BECDCD=183=6(厘米)過(guò)渡：是否是所有的圖形問(wèn)題都能夠用這類(lèi)對(duì)稱(chēng)的思想解決呢？（發(fā)問(wèn)）接下來(lái)我們看例8。例8、在下列圖中，平行四邊形ABCD的邊長(zhǎng)長(zhǎng)10厘米，直角三角形ECB的直角

15、邊EC長(zhǎng)8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積。,.EFGADBC分析：相同的，我們先來(lái)看一個(gè)加法算式10=8+2，此刻我在等號(hào)的兩邊同時(shí)加上4，所獲得的新式子仍然相等嗎？在這個(gè)變化過(guò)程中相同的包括一個(gè)重要的性質(zhì)-兩個(gè)相等的量同時(shí)加上一個(gè)相同的量，所得結(jié)果仍舊相等，簡(jiǎn)稱(chēng)同加。此刻我們看這一題，平行四邊形的面積沒(méi)方法直接求出，能夠轉(zhuǎn)變?yōu)榘涤安糠峙c梯形FGCB的和。由已知條件，有這樣的等量關(guān)系：S陰=SEFG+10。由前面剖析的性質(zhì)，假如在等式的兩邊同時(shí)加上梯形FGCB的面積，等式仍舊建立，即SFGCB+S陰=SFGCB+SEFG+10。聯(lián)系圖形

16、，我們發(fā)現(xiàn)，等式的左側(cè)是平行四邊形ABCD的面積，右邊的（SFGCB+SEFG）是三角形BEC的面積，即SABCD=SBEC+10。SABCD=1082+10=50（平方厘米）答：平行四邊形的ABCD的面積為50平方厘米。小結(jié)：例8中的圖形面積都不可以直接求出，我們經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)變?yōu)槠溆嗫汕蟮膱D形才得以解決，這叫做等量代換，即一個(gè)量能夠用它相等的量來(lái)取代。此外，在這兩個(gè)例題中我們用到了兩條重要的性質(zhì)：兩個(gè)相等的量同時(shí)減去一個(gè)相同的量，所得結(jié)果仍舊相等；兩個(gè)相等的量同時(shí)加上一個(gè)相同的量，所得結(jié)果仍舊相等。這在此后的學(xué)習(xí)中也常常會(huì)用到，大家要掌握。下邊我們看下練習(xí)10。練習(xí)：在下列圖中，AB=8厘米，CD

17、=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面積大18平方厘米。求ED的長(zhǎng)。,.DCEFAB分析：由已知得出等量關(guān)系，SAFB=SEFD+18，因此SAFB+SBCDF=SBCDF+SEFD+18，聯(lián)系圖形，發(fā)現(xiàn)等式左側(cè)就是直角梯形ABCD的面積，右側(cè)的（SBCDF+SEFD）就是直角三角形BEC的面積，即SABCD=SBEC+18。而直角梯形ABCD的面積我們能夠直接求出，從而計(jì)算出三角形BEC的面積，而后依據(jù)三角形的面積計(jì)算公式求出CE的長(zhǎng)，最后計(jì)算ED的長(zhǎng)。SABCD=（4+8）62=36（平方厘米）SBEC=36-18=18（平方厘米）SBEC=BCCE2CE=1826=6(厘

18、米)ED=6-4=2(厘米)答：ED的長(zhǎng)為2厘米?？偨Y(jié)：今日這節(jié)課但是大豐產(chǎn)，學(xué)習(xí)了好多解決直線型面積計(jì)算的方法，比方利用公式的變換、割、補(bǔ)、對(duì)稱(chēng)、等量代換等思想，課后要好好復(fù)習(xí)，并把方法運(yùn)用到實(shí)質(zhì)計(jì)算中去。好嗎？家庭作業(yè)練習(xí)題1，2，3，4，5、6板書(shū)設(shè)計(jì)直線型面積計(jì)算長(zhǎng)方形S=ab正方形S=aa梯形S=(a+b)h2,.三角形S=ah2等量代換：同減；同加割補(bǔ)法：蝶形定理；等腰直角三角形45度角；一半模型；份數(shù)課后反?。壕毩?xí)穩(wěn)固：1、（1）一塊長(zhǎng)方形草坪，中間有兩條寬1米的走道，求植草（暗影部分）的面積。15-1）（10-1）=126平方米（2）已知：ABCD是長(zhǎng)方形，AB4，BC6，AE3，CF1。（單位：厘米）求暗影部分的面積。ABEDFC342+362=15連BD平方厘米（3）、已知：在四邊形AECF中，AE和EC垂直，CF和AF垂直。AE8，AB7，CD4，CF10。（單位：厘米）求：暗影部分的面積。,.BFAEDC連AC842+7102=51平方厘米2、在直角三角形ABC中，AB=4cm,BC=3m,AC=5cm。求AC邊上的高BE的長(zhǎng)。CE35B4A厘米435=2.43、以下列圖，已知在ABC中，BE3