ch21.4二重積分的變量變換(a)課件

1、4 二重積分的變量變換 一、二重積分的變量變換公式三、二重積分的廣義極坐標(biāo)變換 二、二重積分的極坐標(biāo)變換 1一、二重積分的變量變換公式在定積分的計(jì)算中, 我們得到了如下結(jié)論: 設(shè)在區(qū)間 上連續(xù), 當(dāng)從變到 時(shí)嚴(yán)格 單調(diào)地從a 變到 b, 且 連續(xù)可導(dǎo), 則 當(dāng)(即)時(shí), 記 則 利用這些記號(hào), 公式(1)又可 寫(xiě)成2當(dāng)(即 )時(shí), (1)式可寫(xiě)成 故當(dāng)為嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)可微時(shí), (2)式和(3)式可 統(tǒng)一寫(xiě)成如下的形式:下面要把公式(4)推廣到二重積分的場(chǎng)合. 為此先給 出下面的引理.3引理 設(shè)變換 將 uv 平面 上由按段光滑封閉曲線所圍的閉區(qū)域 , 一對(duì)一地 映成 xy 平面上的閉區(qū)域 D.

2、 函數(shù) 在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的Jacobi行列式 則區(qū)域 D 的面積 (5)證:(略)4定理21.13 設(shè) 在有界閉區(qū)域 D 上可積, 變換 將 uv 平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域 一對(duì)一地映成 xy 平面上 的閉區(qū)域 D, 函數(shù) 在內(nèi)分別具有 一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的 Jacobi 行列式 則有證:(略)5在 T 的作用下, 區(qū)域 D 的 如圖 21-24 所示. 原象 所以 D：7例2 求拋物線和直線所圍區(qū)域 D 的面積解 D 的面積 令它把 xy 平面上的區(qū)域 D (圖)對(duì)應(yīng)到 uv 平面上的矩形 8例3 設(shè)上可積,是由曲線 所圍成的區(qū)域在第一象限中的部分. 證明: 證

3、 令 則 10令 則 因此 11二、二重積分的極坐標(biāo)變換 當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分, 或者被積函數(shù) 的形式為時(shí), 采用極坐標(biāo)變換 (8)往往能達(dá)到簡(jiǎn)化積分區(qū)域或被積函數(shù)的目的. 此時(shí), 變換 T 的函數(shù)行列式為 12將極坐標(biāo)系下二重積分化為累次積分 1. 常用的是將分解為平面中的型區(qū)域. (i) 若原點(diǎn)則 型區(qū)域必可表示成(圖) 于是有 14(ii) 若原點(diǎn)為 D 的內(nèi)點(diǎn)(圖(a), D 的邊界的極坐 標(biāo)方程為 則 一般可表示成 152. 也可將分解為平面中的 型區(qū)域(圖). (1) 令(2) 作半徑為的圓穿過(guò) D, 按逆時(shí)針?lè)?向首先由邊界曲線 穿入, 而后由邊界曲線 穿出. 則有 1

4、7解例4 寫(xiě)出積分的極坐標(biāo)二次積分形式， .其中積分區(qū)域18例5 計(jì)算 其中 D 為圓域: 解 由于原點(diǎn)為 D 的內(nèi)點(diǎn), 故有 19例6 求球體 被圓柱面所割下部分的體積 ( 稱為維維安尼 (Viviani) 體 ). 解 由所求立體的對(duì)稱性(圖21-31),只要求出在第 一卦限內(nèi)的部分體積,再乘以4,即得所求立體的體積. 20(圖21-32),而曲頂?shù)姆匠虨?所以 后, 由 (13) 式便可求得 xy 平面內(nèi)由和所確定的區(qū)域 D 在第一卦限內(nèi)的立體是一個(gè)曲頂柱體, 其底為 其中 用極坐標(biāo)變換 21例7 計(jì)算 其中 D 為圓域: 解 利用極坐標(biāo)變換, 容易求得 若不用極坐標(biāo)變換, 而直接在直角

5、坐標(biāo)系下化為累次積分計(jì)算, 則會(huì)遇到無(wú)法算出 的難題. R22由上題結(jié)論 24解例9 計(jì)算二重積分 其中積分區(qū)域?yàn)?5解例11 求雙紐線 和所圍成的圖形的面積 27三、二重積分的廣義極坐標(biāo)變換 當(dāng)積分區(qū)域?yàn)闄E圓或橢圓的一部分時(shí), 可考慮用如 下的廣義極坐標(biāo)變換:并計(jì)算得對(duì)廣義極坐標(biāo)變換也有與定理21.14 相應(yīng)的定理, 這 28例12 求橢球體 的體積. 解 由對(duì)稱性, 橢球體的體積 V 是第一卦限部分體 積的 8 倍, 而這部分是以為曲頂, 里就不再贅述了. 29應(yīng)用廣義極坐標(biāo)變換, 由于因此特別當(dāng)時(shí), 得到球的體積為為底的曲頂柱體, 所以30二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中注意使用對(duì)

6、稱性）小結(jié)31思考題32思考題解答33練 習(xí) 題343536練習(xí)題答案3738二重積分的對(duì)稱性質(zhì)結(jié)論1：如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，且 結(jié)論2：如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，且則 則 39結(jié)論3：如果積分區(qū)域D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，則其中結(jié)論4：如果積分區(qū)域D關(guān)于直線yx對(duì)稱，則40內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域?yàn)閯t 若積分區(qū)域?yàn)閯t41則(2) 一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下42(3) 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫(huà)出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫(xiě)出積分限 計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(