2021-2022學(xué)年浙江省浙大附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題

2、卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知全集，集合，則（）ABCD2函數(shù)的圖象過原點且它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線, 則的圖象的頂點在( )A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3已知函數(shù)為內(nèi)的奇函數(shù)，且當(dāng)時，記，則間的大小關(guān)系是（ ）ABCD4運用祖暅原理計算球的體積時，構(gòu)造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，與半球（如圖一）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐（如圖二），用任何一個平行與底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此證明該幾

3、何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖三），類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（ ）ABCD5在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)向量（為坐標(biāo)原點），設(shè)，以射線為始邊，為終邊逆時針旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：，則（ ）ABCD6已知-1，a，b，-5成等差數(shù)列，-1，c，-4成等比數(shù)列，則a+b+c=（ ）A-8B-6C-6或-4D-8或-47下列命題中，真命題是A若，且，則中至少有一個大于1BC 的充要條件是D8若實數(shù)a,b滿足a+b0，則( )Aa,b都小于0 Ba,b都大于0Ca,b中至少有一個大于0 Da,b

4、中至少有一個小于09中，則的值是（ ）ABCD或10某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有A30種B35種C42種D48種11在中，若，則此三角形解的個數(shù)為（）A0個B1個C2個D不能確定12已知（為虛單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知一組數(shù)據(jù)，的方差為，則數(shù)據(jù)2，2，2，2，2的方差為_14復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是_15四面體ABCD中，ABCD2，ACADBCBD4，則異面直線AB與CD的夾角為_16設(shè)函數(shù)圖象在處的切線

5、方程是，則函數(shù)的圖象在處的切線方程是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值；（2）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（3）若對任意的，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍.18（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點（1）證明：平面;（2）設(shè)，三棱錐的體積 ，求A到平面PBC的距離19（12分）已知函數(shù).證明：；已知，證明：.20（12分）已知橢圓的離心率為,過右焦點作垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于兩點，且為坐標(biāo)原點.(1)求橢圓的方程；(2) 設(shè)直線與橢圓相交于兩點,若.求的值；求的面積的最小值.21（12分）近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天

6、氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重. 大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如表所示的列聯(lián)表:已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為.（1）請將列聯(lián)表補充完整；患心肺疾病不患心肺疾病合計男5女10合計50（2）是否有97.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?說明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進(jìn)行其他方面的排查，記選出患胃病的女性人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.下面的臨界值表供參考: 0.150.100.050.0250.0

7、100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式，其中）22（10分）如圖，在四棱錐中，底面，點為棱的中點（1）證明：；（2）若為棱上一點，滿足，求銳二面角的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】首先解出集合，由集合基本運算的定義依次對選項進(jìn)行判定?！驹斀狻坑深}可得，；所以，則選項正確；故答案選D【點睛】本題考查一元二次方程、絕對值不等式的解法以及集合間基本運算，屬于基礎(chǔ)題。2、A【解析】設(shè)，則，由圖可知，從而可得頂點在第一象限.【詳解】因為函

8、數(shù)的圖象過原點，所以可設(shè)，由圖可知,，則函數(shù)的頂點在第一象限，故選A.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，考查了直線與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.3、D【解析】根據(jù)奇函數(shù)解得，設(shè)，求導(dǎo)計算單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)性質(zhì)判斷大小得到答案.【詳解】根據(jù)題意得，令.則為內(nèi)的偶函數(shù)，當(dāng)時，所以在內(nèi)單調(diào)遞減又，故，選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，比較大小，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.4、C【解析】根據(jù)橢圓方程,構(gòu)造一個底面半徑為2,高為3的圓柱,通過計算可知高相等時截面面積相等,因而由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.【詳解】由橢圓方程,構(gòu)造一個底面半徑為2,高為3

9、的圓柱在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點、上底面為底面的圓錐當(dāng)截面與底面距離為時，截圓錐得到的截面小圓半徑為 則，即所以截面面積為把代入橢圓方程，可求得所以橄欖球形狀幾何體的截面面積為由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積為故選:C【點睛】本題考查了類比推理的綜合應(yīng)用,空間幾何體體積的求法,屬于中檔題.5、D【解析】將復(fù)數(shù)化為的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【詳解】【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的計算，意在考查學(xué)生的閱讀能力，解決問題的能力和計算能力.6、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得出a+b的值，利用等比中項的性質(zhì)求出c的值，于此可得出a+b+c的值。【詳解】由于-1、a、b、-5成等差數(shù)列，則a+

10、b=-1又-1、c、-4成等比數(shù)列，則c2=-1當(dāng)c=-2時，a+b+c=-8；當(dāng)c=2時，a+b+c=-4，因此，a+b+c=-8或-4，故選：D。【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，在處理等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)問題時，可以充分利用與下標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)，可以簡化計算，考查計算能力，屬于中等題。7、A【解析】逐一判斷每一個選項的真假得解.【詳解】對于選項A,假設(shè)x1，y1，所以x+y2，與已知矛盾，所以原命題正確.當(dāng)x=2時，2x=x2，故B錯誤當(dāng)a=b=0時，滿足a+b=0，但=1不成立，故a+b=0的充要條件是=1錯誤，xR，ex0，故x0R，錯誤，故正確的命題是A，故答案為：A【點睛】

11、（1）本題主要考查命題的真假的判斷，考查全稱命題和特稱命題的真假，考查充要條件和反證法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）對于含有“至少”“至多”的命題的證明，一般利用反證法.8、D【解析】假設(shè)a,b都不小于0,即a0,b0,則a+b0,這與a+b0相矛盾,因此假設(shè)錯誤,即a,b中至少有一個小于0.9、B【解析】根據(jù)正弦定理求解.【詳解】由正弦定理得，選B.【點睛】本題考查正弦定理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】本小題主要考查組合知識以及轉(zhuǎn)化的思想.只在A中選有種，只在B中選有種，則在兩類課程中至少選一門的選法有種.11、C【解析】判斷的大小關(guān)系，即可得到

12、三角形解的個數(shù).【詳解】,即，有兩個三角形.故選C.【點睛】本題考查判斷三角形解的個數(shù)問題，屬于簡單題型.12、B【解析】由得，再利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，即可得出復(fù)數(shù)所表示的點所在的象限.【詳解】由得，因此，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，故選B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限，解題的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的四則運算將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)方差的性質(zhì)運算即可.【詳解】由題意知： 本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查方差的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的結(jié)果

13、，直接判斷出其虛部是多少.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的辨別，難度容易.已知復(fù)數(shù)，則為復(fù)數(shù)的實部，為復(fù)數(shù)的虛部.15、【解析】取的中點，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得平面，然后根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)可得，從而可得答案.【詳解】如圖所示：取的中點，連接，因為，為的中點，所以，因為，為的中點，所以，又，所以平面，因為平面，所以，所以異面直線與所成的角為.故答案為：【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，再根據(jù)點斜式求切線方程.詳解：

14、因為函數(shù)圖象在處的切線方程是，所以,因此函數(shù)的圖象在處的切線斜率等于，切線方程是.點睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極小值，無極大值；（2）參考解析；（3）【解析】試題分析：第一問，將代入中確定函數(shù)的解析式，對進(jìn)行求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，確定在時，函數(shù)有極小值，但無極大值，在解題過程中，注意函數(shù)的定義域；第二問，對求導(dǎo)，的根為和，所以要判斷函數(shù)的單調(diào)性，需對和的大小進(jìn)行3種情況的討論；第三問，由第二問可知，當(dāng)時，在為減函數(shù)，所以為最大值，為最小值，所以的最大值可以求出來，因為

15、對任意的恒成立，所以，將的最大值代入后，又是一個恒成立，整理表達(dá)式，即對任意恒成立，所以再求即可.試題解析：（1）當(dāng)時，由,解得. 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù). 的極小值為，無極大值. （2）. 當(dāng)時，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)； 當(dāng)時，在上是減函數(shù)； 當(dāng)時，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù). （3）當(dāng)時，由（2）可知在上是減函數(shù)，. 由對任意的恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立， 由于當(dāng)時，. 考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；4.不等式的性質(zhì).18、（1）證明見解析 （2） 到平面的距離為【解析】試題分析：（1）連結(jié)BD、AC相交于O

16、，連結(jié)OE，則PBOE，由此能證明PB平面ACE（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A到平面PBD的距離試題解析：(1）設(shè)BD交AC于點O，連結(jié)EO 因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點又E為PD的中點，所以EOPB 又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB平面AEC （2）由，可得.作交于由題設(shè)易知，所以故，又所以到平面的距離為法2：等體積法由，可得.由題設(shè)易知,得BC假設(shè)到平面的距離為d，又因為PB=所以又因為(或)，所以考點：線面平行的判定及點到面的距離19、證明見解析；證明見解析.【解析】(1) ，于是證明即可，左邊可由所證得到；

17、（2）即證，表示成含n的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)歸納法可證.【詳解】令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，即當(dāng)時，由可得，即，即由可知下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，結(jié)論成立；假設(shè)時，結(jié)論成立，即；當(dāng)時，設(shè)，其中，則在上單調(diào)遞增又，數(shù)列單調(diào)遞增，故由歸納假設(shè)和中結(jié)論時結(jié)論成立，即結(jié)合可得，即【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的運用，意在考查學(xué)生的分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度較大.20、（1）；（2），.【解析】（1）利用橢圓的離心率公式，通徑的長和橢圓中a，b，c的關(guān)系，求得a，b，c的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.(2)通過聯(lián)立直線和橢圓方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用一元二次方程

18、的根與系數(shù)的關(guān)系，求出，再結(jié)合向量表示垂直得，進(jìn)而求解；設(shè)直線OA的斜率為.分和兩種情況討論，當(dāng)時，通過聯(lián)立直線與橢圓方程和三角形面積公式，將面積的最小值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題求解，再結(jié)合時的情況，得面積的取值范圍，進(jìn)而求得最小值.【詳解】(1) 已知橢圓的離心率為，可知 ，根據(jù)橢圓的通徑長為 ，結(jié)合橢圓中 ，可解得 ，故橢圓C的方程為 .（2）已知直線AB的方程為 , 設(shè) 與橢圓方程聯(lián)立有,消去y,得 ,所以 ，因 ,所以 ，即 ，所以 .整理得 ,所以為 設(shè)直線OA的斜率為.當(dāng)時,則的方程OA為,OB的方程為 ，聯(lián)立得,同理可求得 ,故AOB的面積為 .令 ，則 令 ,所以 .所以 ，

19、當(dāng)時,可求得S=1,故,故S的最小值為【點睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及了橢圓的離心率方程，通徑的長和橢圓中a，b，c的關(guān)系；考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了橢圓中的最值問題；函數(shù)中求最值的常用方法有函數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)法：利用函數(shù)最值的探究方法，將橢圓中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理，解題過程中要注意橢圓中x，y的范圍.21、（1）見解析（2）有97.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān).（3）見解析，【解析】（1）由題意可知：在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為，即可求得患心肺疾病的為20人，即可完成列聯(lián)表；（2）再代入公式計算得出，與5.024比較即可得出結(jié)論；（