2021-2022學(xué)年吉林省長春汽車經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)六中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知命題，命題q：若恒成立，則，那么()A“”是假命題B“”是真命題C“”為真命題D“”為真命題2今年全國高考,某校有3000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績 (，試卷滿分150分),統(tǒng)計(jì)

2、結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績高于130分的人數(shù)為100，則該校此次數(shù)學(xué)考試成績高于100分且低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（ ）A1300B1350C1400D14503已知向量，若，則（ ）A1BC2D34函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A0B1C2D35在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)向量（為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線為始邊，為終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：，則（ ）ABCD6平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ）A或B或C或D或7某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用萬元與銷售額萬元的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，其中，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)，銷售額為65

3、.5萬元，則，的值為（ ）A，B，C，D，8若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD9設(shè)函數(shù)（e為自然底數(shù)），則使成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）ABCD10若曲線yx32x2+2在點(diǎn)A處的切線方程為y4x6，且點(diǎn)A在直線mx+ny20（其中m0，n0）上，則（）Am+7n10Bm+n10Cm+13n30Dm+n10或m+13n3011設(shè)集合M=0，1，2，則（ ）A1M B2M C3M D0M12已知，則ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知向量，若，則_14設(shè)直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)），直線與曲線交于兩點(diǎn)，則_.15已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范

4、圍為_.16平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)經(jīng)過伸縮變換后的點(diǎn)Q，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)與Q的直角坐標(biāo)相同的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是:每場投6個(gè)球,至少投進(jìn)4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng);否則不獲獎(jiǎng).已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是.()記教師甲在每場的6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；()求教師甲在一場比賽中獲獎(jiǎng)的概率.18（12分）已知函數(shù)，.（）若，求的極值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19（12分）隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網(wǎng)站為增加收入，促銷策

5、略越來越多樣化，促銷費(fèi)用也不斷增加.下表是某購物網(wǎng)站2017年1-8月促銷費(fèi)用（萬元）和產(chǎn)品銷量（萬件）的具體數(shù)據(jù).（1）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關(guān)關(guān)系，請建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到）；（2）已知6月份該購物網(wǎng)站為慶祝成立1周年，特制定獎(jiǎng)勵(lì)制度：以（單位：件）表示日銷量，則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)100元；，則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)150元；，則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元.現(xiàn)已知該網(wǎng)站6月份日銷量服從正態(tài)分布，請你計(jì)算某位員工當(dāng)月獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.（當(dāng)月獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)精確到百分位）參考數(shù)據(jù)：，其中，分別為第個(gè)月的促銷費(fèi)用和產(chǎn)品銷量，.參考公式：（1）對于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分

6、別為，.（2）若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.20（12分）某技術(shù)人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術(shù)人員從中隨機(jī)抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在內(nèi)的植物有8株,在內(nèi)的植物有2株.()求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;()在選取的樣本中,從高度在內(nèi)的植物中隨機(jī)抽取3株,設(shè)隨機(jī)變量表示所抽取的3株高度在內(nèi)的株數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;()據(jù)市場調(diào)研,高度在內(nèi)的該植物最受市場追捧.老王準(zhǔn)備前往該基地隨機(jī)購買該植物50株.現(xiàn)有兩種購買方案,方案一:按照該植物的不同高度來付費(fèi),其中高度在內(nèi)的每株10

7、元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數(shù)來付費(fèi),每株6元.請你根據(jù)該基地該植物樣本的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果為決策依據(jù),預(yù)測老王采取哪種付費(fèi)方式更便宜?21（12分）已知不等式的解集為（1）求集合；（2）設(shè)，證明：22（10分）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為；（1）計(jì)算；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分別判斷命題的真假性，然后再判斷每個(gè)選項(xiàng)的真假【詳解】，即不存在，命題是假命題若恒成立，時(shí)，即符合條件時(shí)，則解得，則命題為真命題故是真命題故選【點(diǎn)睛】本題考查了含有“或”“且”

8、“非”命題的真假判定，只需將命題的真假進(jìn)行判定出來即可，需要解答一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計(jì)算，即【詳解】100分是數(shù)學(xué)期望，由題意成績高于130分的有100人，則低于70分的也有100人，70到130的總?cè)藬?shù)為30002002800，因此成績高于100分低于130分的人數(shù)為故選C【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布，解題關(guān)鍵是掌握正態(tài)分布曲線中的對稱性，即若，則，3、B【解析】可求出，根據(jù)即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出x【詳解】；解得故選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件，向量坐標(biāo)的減法和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】因?yàn)楹驮诰鶠樵龊瘮?shù)，所以在單調(diào)遞增

9、，所以函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，再給賦值，根據(jù)可得函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)【詳解】因?yàn)榕c均在上為增函數(shù)，所以函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)又，即函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)答案選B【點(diǎn)睛】零點(diǎn)問題可根據(jù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷，也可采用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)構(gòu)造的兩新函數(shù)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)來確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)5、D【解析】將復(fù)數(shù)化為的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的閱讀能力，解決問題的能力和計(jì)算能力.6、A【解析】設(shè)所求直線為，由直線與圓相切得，解得所以直線方程為或選A.7、C【解析】分析：根據(jù)回歸直線過樣本中心和條件中給出的預(yù)測值得到關(guān)于，的方程組，解方程組可得所求詳解：由題意得，又回歸方程為，由題意

10、得，解得故選C點(diǎn)睛：線性回歸方程過樣本中心是一個(gè)重要的結(jié)論，利用此結(jié)論可求回歸方程中的參數(shù)，也可求樣本數(shù)據(jù)中的參數(shù)根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測時(shí)，得到的數(shù)值只是一個(gè)估計(jì)值，解題時(shí)要注意這一點(diǎn)8、D【解析】因?yàn)?，由題設(shè)可得在上恒成立，令，則，又，且，故，所以問題轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立令函數(shù)，則，應(yīng)選答案D點(diǎn)睛：本題的求解過程自始至終貫穿著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是第一個(gè)轉(zhuǎn)化過程，換元是第二個(gè)轉(zhuǎn)化過程；構(gòu)造二次函數(shù)是第三個(gè)轉(zhuǎn)化過程，也就是說為達(dá)到求出參數(shù)的取值范圍，求解過程中大手筆地進(jìn)行三次等價(jià)的轉(zhuǎn)化與化歸，從而使得問題的求解化難為易、化陌生為熟悉、化繁為簡，彰顯了數(shù)學(xué)思想的

11、威力9、A【解析】由可得：，結(jié)合充分、必要條件的概念得解.【詳解】 解得：又“”可以推出“”但“”不能推出“”所以“”是“” 充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及充分、必要條件的概念，屬于基礎(chǔ)題。10、B【解析】設(shè)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率為，然后根據(jù)切線方程盡量關(guān)于的方程組，再結(jié)合條件，即可求得的關(guān)系，得到答案【詳解】設(shè)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率為，又由切線方程為，所以，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用切線方程列出相應(yīng)的方程組求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題11、A【解析】

12、解：由題意，集合M中含有三個(gè)元素0，1，1A選項(xiàng)1M，正確；B選項(xiàng)1M，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)3M，錯(cuò)誤，D選項(xiàng)0M，錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)評】本題考查了元素與集合關(guān)系的判定，一個(gè)元素要么屬于集合，要么不屬于這個(gè)集合，二者必居其一，這就是集合中元素的確定性12、A【解析】 ，故選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：先計(jì)算出，再利用向量平行的坐標(biāo)表示求的值.詳解：由題得，因?yàn)?，所以?1）（-3）-4=0,所以=. 故答案為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查向量的運(yùn)算和平行向量的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平.(2) 設(shè)=,=，則|.14、【解析】試題分析：由題意得，

13、曲線的普通方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為，所以圓心到直線的距離為，所以直線與曲線交于考點(diǎn)：直線與圓的位置的弦長的計(jì)算15、【解析】分析：由條件可得，由單調(diào)遞增的定義可知 ，由求得交集即可得到答案詳解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)為增，即 時(shí)也為增，即有 又由單調(diào)遞增的定義可知 由可得由可得故的取值范圍為點(diǎn)睛：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，助于分段函數(shù)的分界點(diǎn)的情況，是一道中檔題，也是易錯(cuò)題。16、3.【解析】由點(diǎn)P的直角坐標(biāo)求出伸縮變換后的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)看作極坐標(biāo)，根據(jù)極坐標(biāo)的性質(zhì)距離為，將極坐標(biāo)代入即可求出距離【詳解】點(diǎn)P經(jīng)伸縮變換后，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，將點(diǎn)Q看作極坐標(biāo)，

14、則距離為.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的伸縮變換以及極坐標(biāo)的性質(zhì)，注意題目中給出的點(diǎn)P的坐標(biāo)為直角坐標(biāo)，不要看錯(cuò)題目，并且注意距離為正數(shù)，要有絕對值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、 ()X的分布列X0123456P數(shù)學(xué)期望；().【解析】試題分析：()先定出X的所有可能取值，易知本題是6個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)的離散概率分布，即為二項(xiàng)分布.由二項(xiàng)分布公式可得到其分布列以及期望.()根據(jù)比賽獲勝的規(guī)定，教師甲前四次投球中至少有兩次投中，后兩次必須投中，即可能的情況有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1種

15、情況有種可能，第2中情況有（或）種可能.將上述三種情況的概率相加即得到教師甲獲勝的概率.試題解析：()X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.依條件可知， X的分布列為：X0123456P.或因?yàn)?，所?即的數(shù)學(xué)期望為4. 7分()設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎(jiǎng)為事件A，則 答：教師甲在一場比賽中獲獎(jiǎng)的概率為.考點(diǎn)：1.二項(xiàng)分布；2.離散型隨機(jī)變量的分布列與期望；3.隨機(jī)事件的概率.18、（）極大值，極小值；（）見解析.【解析】（）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，然后列表分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)的極大值和極小值；（）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對分、和四種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)

16、在區(qū)間上的符號，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，令，?列表如下：極大值極小值所以，函數(shù)的極大值，極小值；（）由題意得，（1）當(dāng)時(shí)，令，解得；，解得.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在處理含參數(shù)的函數(shù)問題時(shí)，要弄清楚分類討論的基本依據(jù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析導(dǎo)

17、數(shù)符號進(jìn)行求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.19、 (1) (2) 【解析】試題分析：（1）先求均值，再代入公式求以及，即得回歸方程，（2）先根據(jù)正態(tài)分布計(jì)算各區(qū)間概率，再根據(jù)概率乘以總數(shù)得頻數(shù)，最后將頻數(shù)與對應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)相乘求和得結(jié)果.試題解析：（1）由題可知，將數(shù)據(jù)代入得所以關(guān)于的回歸方程（2）由題6月份日銷量服從正態(tài)分布，則日銷量在的概率為，日銷量在的概率為，日銷量的概率為，所以每位員工當(dāng)月的獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)為 元.20、 (),，；()分布列見解析，；()方案一付費(fèi)更便宜.【解析】() 由題目條件及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y() 由題意可知，高度在80，90

18、）內(nèi)的株數(shù)為5，高度在90，100內(nèi)的株數(shù)為2，共7株抽取的3株中高度在80，90）內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）()根據(jù)()所得結(jié)論，分別計(jì)算按照方案一購買應(yīng)付費(fèi)和按照方案二購買應(yīng)付費(fèi)，比較結(jié)果即可得按照方案一付費(fèi)更便宜.【詳解】() 由題意可知，樣本容量,，.()由題意可知,高度在80,90)內(nèi)的株數(shù)為5,高度在90,100內(nèi)的株數(shù)為2，共7株.抽取的3株中高度在80,90)內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1,2,3,則，,X的分布列為：X123P故.()根據(jù)()所得結(jié)論，高度在內(nèi)的概率為，按照方案一購買應(yīng)付費(fèi)元，按照方案二購買應(yīng)付費(fèi)元，故按照方案一付費(fèi)更便宜.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、分布列和數(shù)學(xué)期望，考查能否根據(jù)頻率分布直方圖得出每一組的概率以及一組的數(shù)據(jù)計(jì)算總體，求隨機(jī)變量的分布列的主要步驟：明確隨機(jī)變量的取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布；求每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率；列成表格，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力，屬于中等題.21、（1）;（2）見解析【解析】（1）使用零點(diǎn)分段法，討論，以及的范圍，然后取并集，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，然后使用三角不等式，可得結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)， 由，得無實(shí)