數(shù)學(xué)模型實驗報告

1、重 慶 交 通 大 學(xué)學(xué) 生 實 驗 報 告實驗課程名稱 數(shù) 學(xué) 模 型 學(xué)院 年級 專業(yè)班 學(xué) 生 姓 名 學(xué) 號 開 課 時 間 2015 至 2016 學(xué)年 第 2 學(xué)期數(shù)學(xué)模型實驗報告格式要求論文題目（三號黑體，居中）一級標(biāo)題（四號黑體，居中）論文中其他漢字一律采用五號宋體，單倍行距。論文用A4，上下左右各留出2.5厘米的頁邊距。首頁為封面，第二頁開始編寫頁碼，頁碼必須位于每頁頁腳中部，用阿拉伯?dāng)?shù)字“1”開始連續(xù)編號。第二頁開始論文的題目、摘要和正文正文應(yīng)包括以下八個部分：摘要：是對論文內(nèi)容的高度概括，一般可圍繞如下幾個問題來寫：針對什么樣的問題？采用什么數(shù)學(xué)方法建立了怎么樣的數(shù)學(xué)模型

2、？如何求解模型的？結(jié)果是什么、怎么樣？問題提出：敘述問題內(nèi)容及意義；基本假設(shè)與符號說明：假設(shè)要合理，一般來源于兩個方面：一是問題中有的假定，二是在建模過程中需要添加的條件；符號說明主要是對全文的符號集中在此進(jìn)行說明；問題分析：對問題背景進(jìn)行分析，給出問題解決的基本思路、步驟和方法。模型的建立與求解：根據(jù)問題分析，敘述建模的推導(dǎo)過程，給出具體的數(shù)學(xué)模型，對模型的求解需給出求解方法和結(jié)果，并對結(jié)果進(jìn)行分析；結(jié)果分析與檢驗：（含誤差分析）；模型評價： 優(yōu)缺點及改進(jìn)意見；參考文獻(xiàn)： 限公開發(fā)表文獻(xiàn)，指明出處；參考文獻(xiàn)在正文引用處用方括號標(biāo)示參考文獻(xiàn)的編號，如13等，引用書籍還必須指出頁碼。參考文獻(xiàn)按正

3、文中的引用次序列出，其中書籍的表述方式為：編號 作者，書名，出版地：出版社，出版年參考文獻(xiàn)中期刊雜志論文的表述方式為：編號 作者，論文名，雜志名，卷期號：起止頁碼，出版年參考文獻(xiàn)中網(wǎng)上資源的表述方式為：編號 作者，資源標(biāo)題，網(wǎng)址，訪問時間（年月日）附錄：計算框圖，原程序及打印結(jié)果。雨中行走問題摘要 當(dāng)我們在雨中冒雨行走時總會下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量就會越小。但事實上會是這種情況嗎？在這里，我們將給予綜合性的考慮，來解釋不同情況下的淋雨量。在不考慮風(fēng)向的情況下，若人的全身都受到雨淋，理所當(dāng)然人跑的越快所淋的雨就會越少。那么模型也可算出淋雨量。當(dāng)雨線從正面和人的跑步方向在同一平面時，并

4、且考慮風(fēng)向的影響，雨線方向和豎直方向成角。因為迎著雨的方向跑，所以全身都會淋到雨，由于有夾角，可以將雨分成豎直方向和水平方向兩部分。便可根據(jù)題的要求解出模型。當(dāng)雨線從后面和人的跑步方向在同一平面時，并且考慮風(fēng)向的影響，雨線方向和豎直方向成角。因為背著雨的方向跑，所以全身不一定都會淋到雨?？煞謳追N情況分別來說。關(guān)鍵詞 人速；雨速；風(fēng)向；夾角 1.問題的重述當(dāng)人們在雨中行走時，是不是走的越快就會淋越少的雨呢？對于這個問題，建立合理的數(shù)學(xué)模型。討論一下，在不考慮風(fēng)向時，人的淋雨量為多少；進(jìn)而進(jìn)一步討論一下，在考慮雨線方向與人的跑步方向在同一平面內(nèi)成不同角度時的淋雨量。2.問題的分析當(dāng)人在雨中行走時，

5、是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案當(dāng)然不是。人在雨中所淋到的雨量和風(fēng)向有關(guān)，因為風(fēng)向的不同會導(dǎo)致雨線和人成不同的角度。從而使人所淋到的雨量有所不同。3.模型的假設(shè)與符號說明3.1模型的假設(shè)（1）把人體視為長方體，身高米，身寬米，身厚米，淋雨總量升。（2）把降雨強(qiáng)度視為常量，記為：（）。（3）風(fēng)速保持不變。（4）以定速度跑完全程。3.2符號說明 人體的身高 （m）w 人體的寬度 (m)d 人體的厚度 (m)D 人跑步的全程 (m)v 人跑步的速度 (m/s) i 降雨強(qiáng)度 (cm/h)c 人在跑步中的淋雨總量 (L)s 人在雨中會被雨淋的面積 ()t 人在雨中跑步的時間 (s)v 雨滴下落速度

6、 (m/s) 雨滴反方向與人速度方向的夾角 雨滴密度4.模型的建立與求解（1）不考慮雨的方向，此種情況，人的前后左右都會淋雨。淋雨面積：（） 行走世間： 降雨強(qiáng)度：淋雨量：結(jié)論：在此種情況下，跑步全程長度、降雨強(qiáng)度、淋雨面積都是定參數(shù)，只有跑步速度是變量。可知，淋雨量與速度成反比。驗證了快跑能減少淋雨量。但我們也可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們?nèi)?shù)，時，可求得：，。也就是說在不到三分鐘時間內(nèi)淋雨量就很大了，不太符合實際情況。結(jié)論：用這種模型來描述淋雨量問題不符合實際，原因是模型太簡單，沒有考慮降雨方向，使得模型太粗超。（2）考慮降雨方向，可知， 此種情況，淋雨的部位只有頭頂和前面。頭頂?shù)牧苡炅浚呵懊媪苡炅浚?/p>

7、淋雨總量： 取參數(shù) 計算上式得：可以看出：淋雨量與降雨的方向和跑步的速度有關(guān)。這樣我們就可以把問題轉(zhuǎn)化成給定角度求淋雨量最小的問題。1 時 結(jié)論：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時淋雨量最小。若速度為。則計算可得：2 時 結(jié)論：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時淋雨量最小。若速度為。則計算可得：3 時雨滴將從身后落下。令，則。計算得： 此種情況中，淋雨量有可能為負(fù)值，這是不可能的，產(chǎn)生的原因是我們認(rèn)為雨是從前面落到身上的。這種情況另行討論。當(dāng)跑的速度小于雨滴的水平運動速度，即時，雨滴將會從后面淋在身上?？捎嬎愕茫寒?dāng)時，取最小值。代入數(shù)據(jù)得結(jié)論：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時，淋雨量

8、最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角從背后落下，應(yīng)該以 的速度行走，此時，淋雨量為 ： 這意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒淋雨。 當(dāng)行走速度快與雨滴的水平運動速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕 你的前胸。被淋得雨量是：當(dāng)盡可能大， 才會最小。當(dāng)盡可能小，才會最小。當(dāng)接近，才可能最小。現(xiàn)取，時， 5.模型的評價經(jīng)過解題可知：對于問題一的模型，由于不考慮風(fēng)向所帶來的影響，求得的結(jié)果是非常大的。不符合現(xiàn)實中的實際情況。對于問題二的模型，在考慮風(fēng)向所帶來的影響時，求得的結(jié)果迅速減小。并且想淋到最少的雨，就應(yīng)該盡量跑得快些，因為淋雨量和人跑的速度為減函數(shù)關(guān)系。對于問題三的

9、模型，當(dāng)雨從后面下來時，人淋雨量的多少和雨的水平分量有關(guān)。隨著人跑步速度的改變淋雨量將發(fā)生不同的變化。模型的優(yōu)點：（1）模型可以準(zhǔn)確的根據(jù)已知數(shù)據(jù)求解出淋浴量的多少。 （2）模型簡單明了，易于理解。模型的缺點：（1）由于假設(shè)雨速和人跑步的速度一直不變，可能造成一些誤差。參考文獻(xiàn)姜啟源、謝金星、葉俊 數(shù)學(xué)模型（第三版） 高等教育出版社 姜啟源、謝金星、葉俊 數(shù)學(xué)模型習(xí)題參考答案 高等教育出版社鋼管下料問題摘要生產(chǎn)中常會遇到通過切割、剪裁、沖壓等手段,將原材料加工成規(guī)定大小的某種,稱為原料下料問題.按照進(jìn)一步的工藝要求,確定下料方案,使用料最省,或利潤最大是典型的優(yōu)化問題.下面我們采用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

10、建立線性規(guī)劃模型并借助LINGO 9.0來解決這類問題.關(guān)鍵詞 線性規(guī)劃 最優(yōu)解 鋼管下料 一，問題重述1、問題的提出某鋼管零售商從鋼管廠進(jìn)貨，將鋼管按照顧客的要求切割出售從鋼管廠進(jìn)貨得到的原材料的鋼管的長度都是1850mm ，現(xiàn)在一顧客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的鋼管為了簡化生產(chǎn)過程，規(guī)定所使用的切割模式的種類不能超過4種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價值的1/10增加費用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價值的2/10增加費用，以此類推，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品），此外為了減少

11、余料浪費，每種切割模式下的余料浪費不能超過100 mm，為了使總費用最小，應(yīng)該如何下料？2、問題的分析首先確定合理的切割模式，其次對于不同的分別進(jìn)行計算得到加工費用，通過不同的切割模式進(jìn)行比較，按照一定的排列組合，得最優(yōu)的切割模式組，進(jìn)而使工加工的總費用最少.二，基本假設(shè)與符號說明1、基本假設(shè)假設(shè)每根鋼管的長度相等且切割模式理想化.不考慮偶然因素導(dǎo)致的整個切割過程無法進(jìn)行.2、定義符號說明（1）設(shè)每根鋼管的價格為a，為簡化問題先不進(jìn)行對a的計算.（2）四種不同的切割模式：、.（3）其對應(yīng)的鋼管數(shù)量分別為：、（非負(fù)整數(shù)）.三、模型的建立由于不同的模式不能超過四種，可以用表示按照第種模式（=1,2

12、,3,4）切割的原料鋼管的根數(shù)，顯然它們應(yīng)當(dāng)是非負(fù)整數(shù).設(shè)所使用的第i種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn)290mm，315mm,350mm和455mm的鋼管數(shù)量分別為，（非負(fù)整數(shù)）.決策目標(biāo) 切割鋼管總費用最小，目標(biāo)為：Min=（1.1+1.2+1.3+1.4）a (1)為簡化問題先不帶入a 約束條件 為滿足客戶需求應(yīng)有+15 (2)+28 (3)+21 (4)+15 (5)每一種切割模式必須可行、合理，所以每根鋼管的成品量不能大于1850mm也不能小于1750mm.于是：1750290+315+350+4551850 （6） 1750290+315+350+4551850 （7） 1750290+

13、315+350+4551850 （8） 1750290+315+350+4551850 （9） 由于排列順序無關(guān)緊要因此有 (10) 又由于總根數(shù)不能少于（15290+28315+21350+30455）/185018.47 (11)也不能大于（15290+28315+21350+30455）/175019.525 (12)由于一根原鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品，所以有+5 (13)四、模型的求解將（1）（13）構(gòu)建的模型輸入Lingo11.0經(jīng)計算繪制成表格如下： 切割模式290mm315mm350mm455mm余料mm 022165300270013130000430即取切割模式14根及切割模式5根，即可