常微分方程的一般概念

1、常微分方程的一般概念第1頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三常微分方程Ordinary(1) 概念、建模Differential Equations第2頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三方程 代數(shù)方程 其解為特定常值，如 二次方程、三角方程等；函數(shù)方程 其解為“函數(shù)”，如 微分方程、積分方程等。第3頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三5. 常微分方程的一般概念 一. 兩個(gè)簡單的例子例1求以原點(diǎn)為中心的一切圓所滿足的微分方程。解 圓心在原點(diǎn)的一切圓的直角坐標(biāo)方程(1)第4頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三由于滿足

2、這個(gè)方程的解(函數(shù) (1)有無窮(2)多個(gè)(解族、解集) ,兩邊同時(shí)對x求導(dǎo) 到通解 中有一個(gè)任意常數(shù)：又稱為通解, 應(yīng)注意第5頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三如求出過(1,0)點(diǎn)的圓,通解 的圖像是一族充滿全平滿足所給條件的一個(gè)特解:只要給定條件:面的同心圓也叫 “積分曲線族”；則立即可定出 r = 1, 于是就得到方程(1) 第6頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三例2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),自某高度下落,設(shè)初速度為 ,介質(zhì)阻力與速度的平方成正比,建立速度所滿足的微分方程;建立落程所滿足的微分方程;解 第7頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分

3、，星期三在給定的初始條件從定解條件一般就可得此微分方程的一個(gè)特解:在不記阻力條件下,因 第8頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三先后積分兩次，得其圖象是一族積分曲線族,也叫方程通解,(注意含兩個(gè)任意常數(shù))。若給了如下定解條件:(也叫初始條件)第9頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三即可方便地確定出于是便得到原方程對應(yīng)初條件的一個(gè)特解:第10頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三二. 有關(guān)微分方程的系列概念 微分方程 (Differential Equations)含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。其中只含一個(gè)自變量的方程為常微分方程(or

4、dinary differential equations),自變量多余一個(gè)的方程為偏微分方程(partial differential equations)。第11頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三 微分方程的階方程所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù) .請見以下各種微分方程：第12頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三第13頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三一般形式正規(guī)形式第14頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三含有 n 個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解的一般表達(dá)式： 微分方程的解 微分方程的通解n 階微分方程(10

5、)的第15頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三微分方程的特解n 階微分方程(10)的不含有任何常數(shù)的一個(gè)確定的 線性微分方程方程的含“未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)”的各項(xiàng)(整體)皆以一次項(xiàng)的形式出現(xiàn); 否則為非線性微分方程。第16頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三 齊次微分方程的不含“未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)”對于正規(guī)方程(11)的項(xiàng)的和為零；否則稱為非齊次 微分方程定解條件微分方程。為確定方程的定條件如: 初始條件或邊值條件。一個(gè)特解而設(shè)定或附加的某些特第17頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三(1) 由實(shí)際問題出發(fā), 建立未知函數(shù)所滿 足的

6、微分方程, 并根據(jù)需要附加定解 條件；(數(shù)學(xué)建模) 關(guān)于微分方程要研究的問題主要有：(2) 研究解的存在性、唯一性；(3) 求微分方程的通解；(4) 求滿足定解條件的 微分方程的特解。幾何法分析法代數(shù)法數(shù)值法方法第18頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三第19頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三2. 微分方程數(shù)學(xué)建模舉例 1. 指數(shù)模型 ( Malthus 模型 ) 十八世紀(jì)晚期，人類首次關(guān)注人口規(guī)劃問題. 指數(shù)模型及Logistic模型在人口、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、 生態(tài)環(huán)境領(lǐng)域都有很好的應(yīng)用。第20頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三美國科

7、學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在17901860年期間美國人口的相對增長率 k 接近一個(gè)常數(shù)：根據(jù)這一點(diǎn)建立的微分方程及定解條件為：第21頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三從而得出人口按指數(shù)規(guī)律增加：評價(jià) 相對增長率等于常數(shù)這一假設(shè)只在一 個(gè)較短的時(shí)間間隔對問題的模擬較好；按指數(shù)模型，人口將無限增長下去, 但這是不可能的。第22頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三2. Logistic 模型(人口增長模型 )Malthus 模型不符合實(shí)際情況的主要原因在于未考慮“密度制約”或“擁擠效應(yīng)”, 以及戰(zhàn)爭、災(zāi)荒、經(jīng)濟(jì)衰退等因素。第23頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)2

8、1分，星期三 經(jīng)過對美國17901940年人口狀況的 數(shù)據(jù)分析, 發(fā)現(xiàn)人口的相對增長率呈線性規(guī)律：(只有1840與1870的預(yù)測與實(shí)際偏離較大)第24頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三 Logistic 模型的一般形式或其中環(huán)境的承載量：(這個(gè)方程是由比利時(shí)數(shù)學(xué)家于1830給出的) Logistic 方程的解的定性分析可以用Maple完美作出。第25頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三 求 Logistic 方程的解析解分離變量并積分第26頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三通解為設(shè)初值條件 ,則相應(yīng)的特解為由這一特解易見,當(dāng)?shù)?7

9、頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三說明人口(或種群)的數(shù)目隨著時(shí)間的推移, 最終將穩(wěn)定在 k 左右環(huán)境的承載量。 下面這個(gè)例子說明,有時(shí)不完全解方程，也可以定性地研究微分方程解的性態(tài)。第28頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三3. 宇宙的膨脹模型 天文學(xué)家在研究“宇宙膨脹速度到底有多快”時(shí)，建立了一種模型設(shè)宇宙這個(gè)大球體的半徑，G 宇宙引力常數(shù)宇宙的質(zhì)量第29頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三方程兩邊同乘 ，得 于是，又可以把上面方程 寫為 第30頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三即：亦即： 利用這個(gè) 與 的

10、關(guān)系式就可確定 是 如何隨時(shí)間 t 變化的.第31頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三由于仍保持 ,宇宙但速度將減小,當(dāng) 時(shí)膨脹速度減小到 ; 當(dāng) R 增大時(shí), 宇宙在膨脹情況下 因此仍在膨脹,第32頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三(big crunch)第33頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三通過解這個(gè)一階方程, 得 第34頁，共36頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)21分，星期三 這個(gè)公式被稱為“扁平宇宙模型”(flat universe model) , 試問此模型就宇宙膨脹可以給出什么預(yù)言？ 微分方程數(shù)學(xué)模型建立之后，可以從理論上研究解的存在唯一性, 還可以用分析、幾何、代數(shù)、數(shù)值等多種