差分方程講解老師

1、差分方程講解老師第1頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三一. 數(shù)列的概念二. 數(shù)列差分的概念三. 差分表的性質(zhì)1 數(shù)列的差分第2頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三一. 數(shù)列的概念一個數(shù)列就是實數(shù)的任何(有限或無限的)有序集. 這些數(shù)稱為數(shù)列的項或元素.用an來表示數(shù)列的第n項, 稱之為數(shù)列的通項.1 數(shù)列的差分定義1.1 一個數(shù)列是一個函數(shù), 其定義域為全體正整數(shù)(有時, 為方便計, 是全體非負整數(shù)集合), 其值域包含在全體實數(shù)集中. 第3頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三數(shù)列的表示:1. 列舉法:1 數(shù)列的差分第4頁，共6

2、9頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三數(shù)列的表示:2. 通項法:1 數(shù)列的差分第5頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三數(shù)列的表示:1 數(shù)列的差分3. 圖象法: 序列的項通過標出點(n, an) 圖示. 直觀, 具有可視化的效果. 4. 描述法:第6頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三數(shù)列的一些例子1. 假如你開了一個10000元的銀行帳戶, 銀行每月付給2%的利息. 假如你既不加進存款也不取錢, 那么每個月后的存款余額就構(gòu)成一個數(shù)列.1 數(shù)列的差分第7頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三1 數(shù)列的差分2. 兔子出生以

3、后兩個月就能生小兔, 若每次不多不少恰好生一對(一雌一雄). 假如養(yǎng)了初生的小兔一對, 則每個月小兔的對數(shù)也構(gòu)成一個數(shù)列(假設生下的小兔都不死) 斐波那契(Fibonacci意大利 約1170-1250本名Leonardo)1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 第8頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三二. 數(shù)列差分的概念數(shù)列相鄰項的差, 稱為數(shù)列的差分.1 數(shù)列的差分定義1.2 對任何數(shù)列A a1, a2, , 其差分算子(讀作delta)定義如下: a1 a2 a1, a2 a3 a2, a3 a4 a3, ,一般地, 對任何n有 an an1 a

4、n,第9頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三應用這個算子, 從原來的數(shù)列A構(gòu)成一個新的數(shù)列A, 從數(shù)列A可得到數(shù)列2A 2an, 這里 2an (an) an1 an an2 an1 an1 an an2 2an1 an,稱之為數(shù)列A的二階差分, 二階差分2an的差分3an稱為三階差分, 二階及二階以上的差分稱為高階差分, 而稱an為一階差分.1 數(shù)列的差分第10頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三差分的物理和幾何意義:在物理方面, 一階差分表示物體運動的平均速度, 二階差分表示平均加速度.在幾何方面, 一階差分表示數(shù)列圖形中相鄰兩點連線的斜率.1

5、數(shù)列的差分例. 外出汽車旅行, 每小時記錄下里程表的讀數(shù). 設A an 22322, 22352, 22401, 22456, 22479, 22511,A an 30, 49, 55, 23, 32,第11頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三例. 假設我們有數(shù)列an 3n 5, 并考慮由表給出的關(guān)于n 1, 2, 3, 的數(shù)列. 我們按函數(shù)值列表, 并考慮相鄰項的差. 1 數(shù)列的差分3333333-21471013161912345678n第12頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三1 數(shù)列的差分第13頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27

6、分，星期三定理1.1 若c和b為常數(shù)且對所有n 1, 2, 3, 有 an cn b, 則: 1. 對所有n, 數(shù)列an的差分為常數(shù); 2. 當畫an關(guān)于n的圖形時, 這些點都落在 一條直線上.1 數(shù)列的差分定理1.2 若an c, 其中c是一個與n無關(guān)的常數(shù), 則有一個an的線性函數(shù)(即存在常數(shù)b使 an cn b).第14頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三1 數(shù)列的差分例. 對二次多項式數(shù)列 , 當 時造差分表.n12345633591523024682222第15頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三定理1.3 若數(shù)列an由一個二次多項式定義,

7、 則該數(shù)列具有性質(zhì): 其二階差分為常數(shù), 2an c.1 數(shù)列的差分定理1.4 若數(shù)列an具有性質(zhì): 對一切n有2an c, c為一個常數(shù), 則該數(shù)列的項遵從二次變化模式, 而且表達其通項的公式是一個二次多項式.注: 一般地, 由k次多項式定義的數(shù)列的k1階差分為零, 反之, 若數(shù)列an的k1階差分為零, 則存在一個生成該數(shù)列的k次多項式.第16頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三例 考慮數(shù)列an 1, 3, 6, 10, 15, 21, , 則有an 2, 3, 4, 5, 6, 以及 2an 1, 1, 1, 1, 1, .令 an An2 Bn C,1 數(shù)列的差分第

8、17頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三例 求數(shù)列an n2 12, 22, 32, 42, 52, 62, 前n項和Sn, 即n個正整數(shù)平方和. 由于Sn(n1)222, 32, 42, 52, , 2Sn 2n3 5, 7, 9, 11, 以及 3Sn 2, 2, 2, 2, 令 Sn An3 Bn2 Cn D.1 數(shù)列的差分第18頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三由S1 1, S2 5, S3 14, S4 30得 A B C D 1, 8A 4B 2C D 5(23 A 22 B 2C D 5), 27A 9B 3C D 14(33A 32

9、B 3C D 14), 64A 16B 4C D 30(43A 42 B 4C D 30),1 數(shù)列的差分解關(guān)于A, B, C和D的方程組可得 A 1/3, B 1/2, C 1/6, D 0,則第19頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三三. 差分表的性質(zhì)和應用1 數(shù)列的差分定義1.3 數(shù)列A an在第k項處是增的, 若 ak ak1(或用算子記號, ak 0).數(shù)列A在第k項處是減的, 若ak ak1(或ak 0).數(shù)列A在第k項處達到相對極大, 若ak ak1而ak ak1(或用算子記號, ak1 0而ak 0).數(shù)列A在第k項處達到相對極小, 若ak ak1而ak

10、ak1(或ak1 0而ak 0).第20頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三1 數(shù)列的差分數(shù)列A在第k項處上凹, 若ak ak1(或用二階差分的算子記號, 2ak1 0).數(shù)列A在第k項處下凹, 若ak ak1(或2ak1 0).注意: 在k1處的二階差分決定了k項處的凹性. 決定凹性的另一種看法是: 當一階差分增加時數(shù)列上凹, 而當一階差分減小時數(shù)列下凹.定義1.4 數(shù)列A在第k項處有一個拐點, 倘若2ak和2ak1有不同的正負號.第21頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三1 數(shù)列的差分第22頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期

11、三1 數(shù)列的差分例 討論數(shù)列 n2 4n 3的性質(zhì) 構(gòu)造an n2 4n 3的前7個數(shù)列值的差分表, 并用該表確定數(shù)列在何處增加、減少, 達到相對極大或極小, 上凹、下凹以及是否有拐點.n101221123032435258726159724第23頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三1 數(shù)列的差分第24頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三一. 差分方程的基本概念二. 齊次線性差分方程的解析解2 一階線性差分方程第25頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三一. 差分方程的基本概念2 一階線性差分方程定義2.1 差分方程是一種方程,

12、該方程表明數(shù)列中的任意項如何用前一項或幾項來計算. 初始條件是該數(shù)列的第一項. 出現(xiàn)在差分方程中的項的最大下標減去最小下標得到的數(shù)稱為差分方程的階.第26頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三2 一階線性差分方程定義2.2 如果差分方程中包含數(shù)列變量(即包含an)的項不包含數(shù)列變量的乘積, 不包含數(shù)列變量的冪, 也不包含數(shù)列變量的諸如指數(shù), 對數(shù)或三角函數(shù)在內(nèi)的函數(shù), 那么我們稱該差分方程是線性的. 否則差分方程就是非線性的. 注意這種限制只適用于包含數(shù)列變量的項, 而不能用于不包含數(shù)列變量的其它項.線性的非線性的第27頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星

13、期三2 一階線性差分方程定義2.3 線性差分方程稱為齊次的, 如果它只包含數(shù)列變量的項.如果略掉非齊次方程中不包含數(shù)列變量的項, 就得到一個齊次方程, 稱之為與原方程相應的齊次方程.齊次的第28頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三2 一階線性差分方程對于差分方程的研究主要是差分方程的求解(當可以求解的時候)以及討論解的性質(zhì). 能夠給出解析解的差分方程是為數(shù)很少的一部分, 大多數(shù)差分方程是不能給出解析解的, 此時, 只能對其解的性質(zhì)給出一定的討論, 討論解的性質(zhì)(解的變化趨勢, 是周期的還是非周期的或混沌的)有兩種方法: 一是數(shù)值計算方法, 二是定性或定性定量結(jié)合的方法.第

14、29頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三2 一階線性差分方程差分方程的解具有不同的形式: 數(shù)值, 圖形, 公式定義2.4 數(shù)值解是從一個或多個初值出發(fā)迭代差分方程得到的一張數(shù)值表.第30頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三2 一階線性差分方程例如, 在銀行帳戶上以7%的利息積累起來的錢數(shù)是由差分方程 an1 an 0.07an來確定, 其中an表示n個月后銀行中的存款數(shù). 月本金利息nan0$1000.000$70.000011070.000 74.900021144.900 80.143031225.043 85.753041310.796 91.

15、755751402.552 98.178661500.730 105.0510716.5.781 112.405081718.186 120.273091838.459 128.6920101967.151137.7010第31頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三2 一階線性差分方程定義2.5 差分方程的一個解析解是一個函數(shù), 當把它代入差分方程時就得到一個恒等式, 而且還滿足任何給定的初始條件.差分方程 an1 an 0.07an若把函數(shù)ak (0.07)kc, 其中c為任意常數(shù), 代入差分方程就得到一個恒等式:第32頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，

16、星期三2 一階線性差分方程定義2.6 差分方程的一個通解是一個函數(shù), 當代入特定值后就得到相應于不同初值的特解.ak (0.07)kc稱為差分方程an1 an 0.07an的通解, 因為代入c的特定值就給出與不同的初值a0相應的特解.第33頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三2 一階線性差分方程數(shù)值解與解析解的比較: 在求銀行模型的數(shù)值解時只需要一個差分方程和一個初值. 這是數(shù)值解的一個強有力的性質(zhì)求數(shù)值解時無須要求差分方程具有特殊的性質(zhì). 只要從一個或多個初值開始進行迭代計算就行了. 另一方面, 因為沒有第k項的一個一般的公式, 每一項必須從前一項或幾項算得. 從一個數(shù)

17、值解來預測解的長期性態(tài)可能是困難的. 第34頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三2 一階線性差分方程解析解給出了一個我們可以直接計算數(shù)列中任何特定項的函數(shù). 解析解的另一個優(yōu)點是, 當我們求得一個解析解時, 通常也同時得到了通解. 相比之下, 用迭代計算求得的解只從屬于某個初始條件.第35頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三二. 齊次線性差分方程的解析解2 一階線性差分方程定理2.1 一階線性差分方程an1 ran b的解為an bn c, 若r 1.若r 1.第36頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三1 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型2

18、 減肥計劃節(jié)食與運動3 差分形式的阻滯增長模型4 按年齡分組的種群增長差分方程模型第37頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三1 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型問 題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩第38頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三蛛 網(wǎng) 模 型gx0y0P0fxy0 xk第k時段商品數(shù)量；yk第k時段商品價格消費者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)供應函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點P0(x0,y0) 平衡點一旦x

19、k=x0，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 第39頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三xy0fgy0 x0P0設x1偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點xy0y0 x0P0fg曲線斜率蛛 網(wǎng) 模 型第40頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方 程 模 型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致第41頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三 商品數(shù)量減少1單位, 價格上漲幅度 價格上漲1單位, (下時段

20、)供應的增量考察 , 的含義 消費者對需求的敏感程度 生產(chǎn)者對價格的敏感程度小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定 小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋xk第k時段商品數(shù)量；yk第k時段商品價格經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋第42頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1. 使 盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變2. 使 盡量小，如 =0靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直第43頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設供應函數(shù)

21、為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件第44頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三方程通解(c1, c2由初始條件確定)1, 2特征根，即方程 的根 平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件:平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件 放寬了模型的推廣第45頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三2 減肥計劃節(jié)食與運動背景 多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持 通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運動（消耗熱量）引起

22、體重減少 體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重; BMI30 肥胖.第46頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗200千卡 320千卡(因人而異), 相當于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。第47頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三某甲體重100千克，目

23、前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標 2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。第48頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三 確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡基本模型w(k) 第k周(末)體重c(k) 第k周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡 w

24、=100千克不變第49頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三 第一階段: w(k)每周減1千克, c(k)減至下限10000千卡第一階段10周, 每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃第50頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三 第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克 1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型第51頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三 第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克 第二階段19周, 每周吸收熱量保持10000千卡, 體重按 減少至75千克。

25、第52頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三運動 t=24 (每周跳舞8小時或自行車10小時), 14周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡): 跑步 跳舞 乒乓 自行車(中速) 游泳(50米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運動時間(小時)基本模型第53頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三3）達到目標體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變 不運動 運動(內(nèi)容同前)第54頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三3 差分形式的阻滯增長模型連續(xù)

26、形式的阻滯增長模型 (Logistic模型)t, xN, x=N是穩(wěn)定平衡點(與r大小無關(guān))離散形式x(t) 某種群 t 時刻的數(shù)量(人口)yk 某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N, 則yk+1,yk+2,=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點第55頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程 (1)的平衡點y*=N討論 x* 的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點第56頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三(1)的平衡點 x*代數(shù)方程 x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點補充知識一階非線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性第57頁，共69頁，2022年，5月20日，20點27分，星期三01的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性x*