連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型PPT

1、關(guān)于連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型第一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月因?yàn)槊朗狡跈?quán)沒有固定的執(zhí)行時(shí)間，學(xué)者很難用解析模型為美式期權(quán)定價(jià)。本章主要介紹作者2008年提出的連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型。內(nèi)容包括股票價(jià)格行為模型，連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型。第二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月16.1 美式期權(quán)定價(jià)模型概述1973年，F(xiàn)ischer Black、Myron Scholes和Robert Merton在歐式股票期權(quán)定價(jià)模型研究中，取得突破性進(jìn)展。提出不派息（和派息）股票期權(quán)定價(jià)模型，又稱為Black-Scholes模型。該模型的提出為股票期權(quán)定價(jià)提供了理論依據(jù)，同時(shí)也促進(jìn)了20

2、世界80年代和90年代金融工程的發(fā)展。為了表彰他們對(duì)人類所做出的貢獻(xiàn)，Myron Scholes和Robert Merton于1997年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。遺憾的是Fischer Black于1995年逝世。Cox、Ross和 Rubinstein(1979)提出的二叉樹模型，成為美式期權(quán)定價(jià)的主流模型。為了提高二叉樹的收斂速度，Hull和White（1994）提出三叉樹模型。Boyle(1977)提出蒙特卡羅模擬模型。Brennan和Schwartz(1978)提出有限差分模型。Duan(1995)提出GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型。 第三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月經(jīng)

3、過多年的研究，作者已經(jīng)研制出不派息連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型（2008）,在此基礎(chǔ)上又提出連續(xù)時(shí)間美式外匯期權(quán)定價(jià)模型（2009），這兩個(gè)模型的復(fù)雜程度與BS模型相似。通過實(shí)證研究，這兩個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果與二叉樹模型相比，看漲期權(quán)的最大相對(duì)誤差僅為2.47%，看跌期權(quán)的最大誤差僅為-0.6545%。 第四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月16.2 股票價(jià)格行為模型假設(shè)股票的價(jià)格波動(dòng)為零，而且不派息。如果投資者的期望收益率為 ，零時(shí)刻的股票價(jià)格為 ，則持股 年股票價(jià)格的期望值 應(yīng)為： （16-1）公式（16-1）與銀行存款本金和利息的計(jì)算公式完全相同。 為本金； 為銀行存款利率； 為存款年限

4、； 為 年后的本金和利息。為了數(shù)學(xué)處理上的方便，我們采用連續(xù)復(fù)利形式，則模型（16-1）變?yōu)椋?（16-2）從公式（16-2）中我們可以看出，當(dāng)股票的價(jià)格波動(dòng)為零時(shí)，股票價(jià)格的期望值以年利率為的復(fù)利形式增長(zhǎng)，與銀行存款有相同的增長(zhǎng)方式。 第五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由此可見，用公式（16-2）表示t時(shí)刻股票價(jià)格的期望值是合理的。把式（16-2）兩邊同除以 ，并取對(duì)數(shù)得到： （16-3）其中 是持股 年的對(duì)數(shù)收益率，而不是年收益率，年收益率為 。假設(shè) 是單位時(shí)間內(nèi)股票對(duì)數(shù)收益率的方差，則 為 年內(nèi)收益率 的方差。只有在公式（16-3）中加入隨機(jī)項(xiàng)，才能真實(shí)全面地反映股票價(jià)格的變

5、化。第六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月通過上面的分析，股票價(jià)格過程 可以用下列形式的隨機(jī)過程來描述 （16-4）或 （16-5）其中： 為 測(cè)度下的標(biāo)準(zhǔn)維納（Wiener）過程， 。 （16-6）其中： 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量， 。第七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月公式（16-5）兩邊同除以 ，并取對(duì)數(shù)得到： （16-7）對(duì)數(shù)收益率服從下列形式的正態(tài)分布 （16-9）方程（16-5）是描述股票價(jià)格變化的合理模型。 第八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月16.3 無套利機(jī)會(huì)股票價(jià)格模型 一般情況下，國(guó)庫(kù)券以政府為擔(dān)保，價(jià)格受隨機(jī)因素的影響較少，波動(dòng)也較少，因此，買國(guó)庫(kù)

6、券屬于無風(fēng)險(xiǎn)投資。而股票的價(jià)格受隨機(jī)因素的影響較大，波動(dòng)也較大，因此，買股票屬于風(fēng)險(xiǎn)投資。單位國(guó)庫(kù)券的價(jià)格和股票的價(jià)格分別用下列模型表示： （16-10） （16-11）其中： 為 時(shí)刻單位國(guó)債的價(jià)格； 為 時(shí)刻股票的價(jià)格，元/股； 為零時(shí)刻股票的價(jià)格，元/股； 為國(guó)債利率，又稱為無風(fēng)險(xiǎn)利率；第九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)股票價(jià)格貼現(xiàn)后得到 時(shí)刻股票價(jià)格的現(xiàn)值：即 （16-12）其中：隨機(jī)變量 零時(shí)刻的值等于隨機(jī)變量零時(shí)刻的值 ，即 。下面推導(dǎo)式（16-12）的微分形式。我們可以把式（16-12）寫成下列形式：其中:第十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月令伊滕公式的一

7、般形式為：因?yàn)榈谑粡垼琍PT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月高級(jí)無窮小項(xiàng) 和 ，另外 ，因此分別把上述公式代入伊滕公式，可以求出隨機(jī)過程（16-12）的隨機(jī)微分方程： （16-13）公式（16-12）和（16-13）表示同一隨機(jī)過程，前者是該過程的積分形式，表示時(shí)刻股票價(jià)格的現(xiàn)值，而后者為該過程的微分形式，表示時(shí)刻股票價(jià)格現(xiàn)值的變化。假設(shè)債券市場(chǎng)和股票市場(chǎng)允許買空賣空。第十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)任意時(shí)刻股票價(jià)格現(xiàn)值變化的期望值等于零時(shí)，即 ，為 鞅過程，這時(shí)，市場(chǎng)沒有套利機(jī)會(huì)。當(dāng) 時(shí)，股票的利潤(rùn)比國(guó)債高，投資者紛紛拋售國(guó)債，投資股票，國(guó)債的價(jià)格越來越低，而股票的價(jià)格越

8、來越高，直到套利機(jī)會(huì)消失為止。當(dāng) 時(shí)，股票的利潤(rùn)比國(guó)債低，投資者紛紛拋售股票，投資國(guó)債，國(guó)債的價(jià)格越來越高，而股票的價(jià)格越來越低，直到套利機(jī)會(huì)消失為止。由此可見，在套利者的作用下，市場(chǎng)中的套利機(jī)會(huì)很少，一旦出現(xiàn)，套利者就會(huì)蜂擁而至，套利機(jī)會(huì)立即就會(huì)消失。由此可見，套利者的作用并不是一無是處，對(duì)金融市場(chǎng)有糾偏的作用。第十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月在方程（16-13）中，包括兩項(xiàng)，第一項(xiàng)為非隨機(jī)項(xiàng)，期望值不等于零，第二項(xiàng)為隨機(jī)項(xiàng)，期望值為零。如果漂移率 ，則， ，這時(shí)，市場(chǎng)存在套利機(jī)會(huì)。根據(jù)CMG測(cè)度變換定理，為了把股票價(jià)格現(xiàn)值過程變?yōu)轺边^程，令 （16-14）則或 （16-15

9、）第十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月把公式（16-15）代入公式（16-13），得到鞅過程： （16-16）其中： 為 測(cè)度下的布朗運(yùn)動(dòng)， ； 為 測(cè)度下的布朗運(yùn)動(dòng)， 。 在方程（16-16）中，因?yàn)?，則 為 測(cè)度下鞅過程，這時(shí)，市場(chǎng)沒有套利機(jī)會(huì)。利用伊滕定理，可以猜出隨機(jī)微分方程（16-16）的解： （16-17）推導(dǎo)過程如下：令第十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月令伊滕公式的一般形式為：因?yàn)榈谑鶑垼琍PT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月分別把上述公式代入伊滕公式，可以求出隨機(jī)過程（16-17）的隨機(jī)微分方程（16-16）。用隨機(jī)過程（16-17）表示股票價(jià)格的

10、現(xiàn)值，沒有套利機(jī)會(huì)。根據(jù)模型（16-17），可以反推出股票t時(shí)刻的價(jià)格過程：即 （16-18）用隨機(jī)過程（16-18）表示t時(shí)刻股票的價(jià)格沒有套利機(jī)會(huì)。而方程（16-5）則有套利機(jī)會(huì)。因此，方程（16-18）將作為建立美式股票期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)。第十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月16.4 美式看漲期權(quán)定價(jià)模型 歐式看漲期權(quán)只有在到期日才能執(zhí)行。期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格在簽署期權(quán)和約時(shí)就已經(jīng)確定，因此，股票的到期價(jià)格決定期權(quán)到期時(shí)的價(jià)值。另外，看漲期權(quán)的買方支付期權(quán)費(fèi)后，就獲得了一項(xiàng)權(quán)利，買方有權(quán)執(zhí)行期權(quán)，也有權(quán)不執(zhí)行期權(quán)，因此，期權(quán)的價(jià)值總是大于零。每股看漲期權(quán)在執(zhí)行日的價(jià)值可以表示為：

11、（16-19）其中： 為期權(quán)的到期時(shí)間，年； 為股票的到期價(jià)格，元/股； 為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，元/股； 求 測(cè)度下的期望值運(yùn)算符。 第十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 式（16-19）是期權(quán)在執(zhí)行時(shí)的價(jià)值，而看漲期權(quán)的買方在簽署和約時(shí)支付期權(quán)費(fèi)，因此必須對(duì)式（16-19）貼現(xiàn)后才能得到每股歐式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值 ： （16-20）其中： 為期限為 的無風(fēng)險(xiǎn)零利率； 為折現(xiàn)因子。對(duì)于美式期權(quán)，投資者可以在到期日之前任何時(shí)刻執(zhí)行。假設(shè)美式期權(quán)的投資者，買入美式期權(quán)后立即執(zhí)行，投資者可以把投資收益購(gòu)買國(guó)債獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。因此，美式期權(quán)應(yīng)該是歐式期權(quán)的 倍。 （16-21）第十九張，PPT

12、共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月如果投資者購(gòu)買股票看漲期權(quán)后，股票價(jià)格波動(dòng)很大，立即執(zhí)行看漲期權(quán)對(duì)投資者有利，投資者就可能立即執(zhí)行看漲期權(quán)。這時(shí)美式看漲期權(quán)的執(zhí)行時(shí)間為零。美式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為： （16-22）根據(jù)公式（16-18），我們知道，在到期日股票的價(jià)格為： （16-23）把式（16-23）代入式（16-22），則得到美式期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值： （16-24）第二十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月因?yàn)榫S納過程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中： 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量, 。因?yàn)槠跈?quán)的價(jià)值又必須大于零，因此從中得到隨機(jī)變量 的取值范圍：第二十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)公式（16

13、-24）求數(shù)學(xué)期望，就得到期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值： （16-25）或者 （16-26）因?yàn)槭剑?6-26）可以寫成 (16-27)第二十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月令 (16-28)交換積分上下限，并改變積分上下限的符號(hào)。 (16-29)可以把式(16-29)簡(jiǎn)寫成式（16-30） （16-30）第二十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月令, ， 則（16-30）式變成式（16-31） （16-31）其中同理，我們可以得到歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型。 （16-32）第二十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例題16-1美式看漲期權(quán)定價(jià) 假設(shè)股票的當(dāng)前價(jià)格為20元，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)

14、格為20 元，期權(quán)的期限為6個(gè)月，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%，股票的年波動(dòng)率為20%。求美式看漲期權(quán)的價(jià)值。解：因?yàn)?第二十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月美式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為：該股票美式看漲期權(quán)當(dāng)前的價(jià)值為1.46元/股。第二十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月歐式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為：該股票歐式看漲期權(quán)當(dāng)前的價(jià)值為1.43元/股。因?yàn)槊朗狡跈?quán)又靈活的執(zhí)行時(shí)間，因此，美式期權(quán)的價(jià)值大于歐式期權(quán)的價(jià)值。第二十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月16.5 美式看跌期權(quán)定價(jià)模型如果投資者預(yù)測(cè)股票的價(jià)格將會(huì)下跌，為了保值或投機(jī)，買入看跌期權(quán)。歐式看跌期權(quán)在到期日?qǐng)?zhí)行。期權(quán)的

15、執(zhí)行價(jià)格在簽署期權(quán)和約時(shí)就已經(jīng)確定，因此，股票的到期價(jià)格決定看跌期權(quán)到期時(shí)的價(jià)值。另外，看跌期權(quán)的買方支付期權(quán)費(fèi)后，就獲得了一項(xiàng)權(quán)利，當(dāng)看跌期權(quán)的價(jià)值大于零時(shí)就執(zhí)行期權(quán)，否則就不執(zhí)行期權(quán)，因此，期權(quán)的價(jià)值總是大于零。在到期日每股看跌期權(quán)的價(jià)值為： （16-33）看跌期權(quán)的買方在簽署和約時(shí)支付期權(quán)費(fèi)，因此必須對(duì)公式（16-33）貼現(xiàn)后才能得到每股歐式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為： （16-34）第二十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月投資者購(gòu)買美式股票看跌期權(quán)后，如果股票價(jià)格急劇下跌，投資者可以立即執(zhí)行期權(quán)，獲得的收益可以購(gòu)買國(guó)債，獲得無風(fēng)險(xiǎn)。這時(shí)，美式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為： （16-35）把

16、式（16-23）代入式（16-35），則得到看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值： （16-36）把維納過程， ，代入（16-36），而且期權(quán)的價(jià)值又必須大于零，因此第二十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月從中得到隨機(jī)變量 的取值范圍：對(duì)公式（16-36）求數(shù)學(xué)期望，就得到美式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為： （16-37）為了方便積分，我們把式（16-37）分成兩項(xiàng) （16-38）第三十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月在式（16-38）中，第一項(xiàng)就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)積分。為了方便積分，我們可以變換第二項(xiàng)的指數(shù)形式： （16-39） （16-40）在（16-40）中，令 ，得： （16-41）第三十一

17、張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月在式（16-41）中，第二項(xiàng)又變成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的積分，我們可以把它寫成如下形式： （16-42）在式（16-42）中，令 ， ，則美式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值可以表示為： （16-43）第三十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月其中： （16-43）同理，我們可以得到歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型。 （16-44）下面舉例說明美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的用法。第三十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例題16-2 美式看跌期權(quán)定價(jià)考慮不分紅5個(gè)月美式股票期權(quán)，股票的當(dāng)前價(jià)格為50元，執(zhí)行價(jià)格為50元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，股票對(duì)數(shù)收益率的年波動(dòng)率為40%。

18、求美式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)的價(jià)值。解：因?yàn)?第三十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月美式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為6.41元/股。第三十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月美式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為4.286元/股。如果用二叉樹模型計(jì)算美式看跌式期權(quán)的價(jià)值，當(dāng)把期權(quán)的持續(xù)時(shí)間劃分成5、30、50和100個(gè)時(shí)間段時(shí)，看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值分別為4.49、4.263、4.272和4.278。當(dāng)時(shí)間段趨于無窮時(shí)，與連續(xù)模型的計(jì)算結(jié)果相同。 第三十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月從前面的兩個(gè)例子中，我們可以看出，在條件相同的情況下，看漲期權(quán)的價(jià)值大于看跌期權(quán)的價(jià)值，因?yàn)楣善钡膬r(jià)格以無風(fēng)險(xiǎn)利率增長(zhǎng)，股票在T時(shí)刻的期望值始終大于當(dāng)前價(jià)值。美式期權(quán)的價(jià)值大于歐式期權(quán)的價(jià)值，因?yàn)槊朗狡跈?quán)有靈活的執(zhí)行時(shí)間，美式期權(quán)