連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二章

1、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二章第1頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三則梯度為：標(biāo)量的梯度：標(biāo)量函數(shù)：展開后有：原式第2頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三矢量的梯度：左梯度第3頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其中：右梯度第4頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三兩者關(guān)系左梯度右梯度寫成矩陣形式為： 第5頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三張量的梯度： 設(shè)T為任意二階張量 它的左梯度gradT定義為： T的右梯度定義為：一般地 第6頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三4散

2、度矢量場的散度 矢量場的左散度定義為：原式第7頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三右散度表示為： 顯然 今后對于矢量場的左散度和右散度不加區(qū)別第8頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三張量的散度 關(guān)于二階張量場 的左散度定義為： 第9頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三展開后有：原式第10頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 關(guān)于二階張量場 的右散度定義為： 一般地， ，當(dāng)T為對稱張量的時(shí)候，兩者相等第11頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三5旋度原式展開后有：矢量場的旋度：左旋度：第1

3、2頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三第13頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三右旋度：第14頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三.張量場的旋度 設(shè)T為任意二階張量，則它的左旋度定義為：其中：第15頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三右旋度定義為： 其中：第16頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三小結(jié)：哈密頓算子梯度散度旋度第17頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三展開后有：原式2.2 Laplace算子公式：第18頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14

4、分，星期三2.3 物質(zhì)導(dǎo)數(shù)若則：第19頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2.4 積分定理1 Gauss定理有向面積：第20頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三根據(jù)Gauss定理有：左邊右邊第21頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2Stokes定理根據(jù)Stokes定理有：左邊第22頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三右邊證明第23頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2.5 曲線坐標(biāo) 基矢量 度量張量 曲線坐標(biāo) 1 設(shè)空間中任一點(diǎn)P，其位置可用矢徑P表示。在曲線坐標(biāo)系中，指標(biāo)可為上標(biāo)或

5、下標(biāo)。 在斜角坐標(biāo)系 中，P為 的函數(shù)，即P也可用另外三個(gè)變量 ， ， 來表示，即 這種坐標(biāo)系記為 。這兩組變量 和 表示同一空間點(diǎn)的位置。兩者由下列坐標(biāo)變換聯(lián)系起來：第24頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 若 是的線性函數(shù)，則 也是一個(gè)斜角坐標(biāo)，而且坐標(biāo)變換為：這里 為變換系數(shù)，它是常數(shù)。 若 不是 的線性函數(shù)，則 稱為曲線坐標(biāo)。 在曲線坐標(biāo)系 中，若雅可比(Jacobi)行列式J不為零，即則坐標(biāo)變換具有逆變換，即有第25頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中最常用的正交曲線坐標(biāo)系，是柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系?，F(xiàn)敘述如下。柱面坐標(biāo)系

6、 設(shè)直角坐標(biāo)系為 曲線坐標(biāo)系為則式 的具體形式取為：第26頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其中 由此可見，不是 的線性函數(shù)，故 屬于曲線坐標(biāo)系。這種坐標(biāo)變換的雅可比行列式為 第27頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三除 外， ，故有逆變換的具體形式如下： 由此可得坐標(biāo)曲面： (i) (常數(shù))為以z軸為公共軸的圓柱面(當(dāng) 時(shí)，即為z軸)； (ii) (常數(shù))為通過z軸的平面； (iii) (常數(shù))為垂直于z軸的平面；第28頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 (i) 和 的交線(z線)是直線； 和 的交線(r線)是直線；(ii

7、i) 和 的交線( 線)是圓。這種坐標(biāo)系稱為柱面坐標(biāo)系 和坐標(biāo)曲線： 第29頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三球面坐標(biāo)系 設(shè)直角坐標(biāo)系為 ，曲線坐標(biāo)系 則式 的具體形式取為：其中 第30頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 由此可見， 不是 的線性函數(shù)，故 屬于曲線坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)變換的雅可比行列式為 第31頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三除 ， ， 外， ，故有逆變換的具體形式如下：第32頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 由此可得坐標(biāo)曲面： (i) (常數(shù))為中心在原點(diǎn)的球面(當(dāng) 時(shí)，即為原點(diǎn))

8、； (ii) (常數(shù))為以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐(當(dāng) 或 時(shí)變?yōu)橹本€，當(dāng) 時(shí)為 面)； (iii) (常數(shù))為通過 軸的平面； 和坐標(biāo)曲線： (i) 和 的交線( 線)是圓； (ii) 和 的交線(r線)是直線； (iii) 和 的交線( 線)是半圓。 這種坐標(biāo)系稱為球面坐標(biāo)系。第33頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2基矢量度量張量 給定曲線坐標(biāo)之后，過空間任意一點(diǎn)沿每一族坐標(biāo)曲線可以得到一個(gè)切矢量： 取 為，則 在斜角坐標(biāo)系中，設(shè)其協(xié)變基矢量為由于 是常數(shù)，故有 第34頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 對于一個(gè)矢量a可有兩種類型的分量 和 ，設(shè)其

9、對應(yīng)的基矢量為 和 ，則 由 的定義可知，下列混合積等式成立： 這兩個(gè)量定義為愛丁頓(Eddington)張量并分別記為 和 。由此定義可知第35頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 對于矢量 ，則有令它們分別稱為協(xié)變度量張量、逆變度量張量和混合度量張量 第36頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三考慮到矢量a的任意性 可知：基矢量 與 是正交的，它們稱為互逆基矢量 互逆基矢量間具有下列關(guān)系： 第37頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三由于故知 和 互為逆陣。因?yàn)樗鼈兙鶠檎ň仃?，故行列式?8頁，共92頁，2022年，5月20日

10、，19點(diǎn)14分，星期三可以證明這樣的等式： 愛丁頓張量可以寫成下列形式： 在直角坐標(biāo)系下， ，故有第39頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 在曲線坐標(biāo)系中，任意張量例如二階逆變一階協(xié)變張量可表示成下列四種記法：(1)不變性記法 (2)分量記法 (3)并矢記法 (4)基張量記法 第40頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2.6 克里斯托弗爾符號 在基矢量組 ， ， 中把 按下式分解 這里分解系數(shù) 和 分別稱為第一類和第二類克里斯托弗爾(Christoffel)符號 定義：第41頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三性質(zhì)：克里斯托弗

11、爾符號不是張量 和 關(guān)于指標(biāo)i和j對稱。 由于 根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì) 同理可得：第42頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三和 的指標(biāo)可用度量張量升降。事實(shí)上同樣地 在直線坐標(biāo)系中， 事實(shí)上，因?yàn)樵谛苯呛椭苯亲鴺?biāo)系中基矢量和均為常量，故 和 。第43頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 克里斯托弗爾符號可用度量張量表示。 事實(shí)上，由于 對指標(biāo)進(jìn)行輪換，則有另外 第44頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三由于第45頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三由于 ，故有 于是第46頁，共92頁，2022年，5月20日，19

12、點(diǎn)14分，星期三2.7 協(xié)變導(dǎo)數(shù)逆變導(dǎo)數(shù) 在曲線坐標(biāo)系下，哈密頓算子定義為1 設(shè)T為任意張量，則 構(gòu)成新的張量，稱為T的梯度。為簡單起見，現(xiàn)以 為例給出它的梯度的并矢形式如下： 第47頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其中：稱為張量 的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 第48頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三不難證明下列結(jié)果 對于矢量a，這是特殊情形。此時(shí)，我們可寫出 可見，度量張量和愛丁頓張量對于 或 有如常數(shù)可以移進(jìn)或移出于其內(nèi)或外。第49頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三這里稱為協(xié)變矢量 的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。 另一方面，我們也可以寫出稱為逆變矢量

13、的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 這里第50頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2逆變導(dǎo)數(shù) 由于協(xié)變導(dǎo)數(shù)的指標(biāo)是張量指標(biāo)，故可應(yīng)用逆變度量張量把它的指標(biāo)升高而得到逆變導(dǎo)數(shù)如下：第51頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2.8 不變性微分算子1梯度 2散度 若T為矢量a，則： 第52頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三即考慮到：3旋 度第53頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 若T為矢量a，則有拉普拉斯算子4若f為標(biāo)量，則有第54頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2.9 內(nèi)稟導(dǎo)數(shù) 設(shè)區(qū)域內(nèi)的曲線C定義為：

14、 其中t為一參數(shù)。若 是一個(gè)可微的矢量并且 是屬于 類的，則稱為 對t的內(nèi)稟導(dǎo)數(shù) 這里第55頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 對于任意張量，例如，對于二階混合張量 而言，則有對于度量張量，由于故度量張量可以移進(jìn)或移出內(nèi)稟導(dǎo)數(shù)記號之內(nèi)或外。第56頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 若矢量a還和t顯示相關(guān)，亦即其中：稱為a 的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 第57頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 對于任意張量，例如，對于二階混合張量 而言，則其物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為 對于度量張量，由于g 和g 和t沒有顯示關(guān)系，所以 第58頁，共92頁，2022年，5月2

15、0日，19點(diǎn)14分，星期三2.10 非完整系物理標(biāo)架下的微分算子1非完整系物理標(biāo)架 對于正交曲線坐標(biāo)系，它滿足下列條件： 我們將基矢量 的大小記作 ，稱為拉梅(Lame)系數(shù)，即第59頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 如果我們?nèi)∨c同向的單位矢量 作為基矢量則構(gòu)成所謂非完整系物理標(biāo)架(或稱單位正交活動(dòng)標(biāo)架)。 非完整系物理標(biāo)架基矢量，具有如下性質(zhì)：第60頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2偏導(dǎo)數(shù)算子，克里斯托弗爾符號非完整系物理標(biāo)架下的偏導(dǎo)數(shù)算子 定義為它對標(biāo)架每個(gè)矢量作用，仍是一個(gè)矢量。 我們不妨記為 這里 稱為非完整物理標(biāo)架下的克里斯托弗爾符

16、號 第61頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三幾何意義：非完整物理標(biāo)架下的克里斯托弗爾符號表示 在 軸上的投影，即由對其兩端作用偏導(dǎo)數(shù)算子 由此可見 的后兩指標(biāo)具有反稱性。第62頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三下面我們研究 的具體表達(dá)式。第63頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三注意到 將指標(biāo)輪換 ， ， 得再輪換可以得到：第64頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三顯然，在 、 、 互不相等時(shí)總之，不為零的克里斯托弗爾符號只有第65頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三3梯度 哈密頓

17、算子 1標(biāo)量函數(shù)的梯度 2定義非完整物理標(biāo)架下的哈密頓算子 設(shè)標(biāo)量函數(shù) ，則它在非完整系物理標(biāo)架下的梯度 定義為一個(gè)矢量第66頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其并矢形式為: 這就是標(biāo)量函數(shù)f的梯度在非完整系物理標(biāo)架下的表達(dá)式 第67頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三矢量場的梯度 3 設(shè)矢量場 ，則它在非完整系物理標(biāo)架下的左梯度 定義一個(gè)二階張量它的并矢形式為：第68頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其中 類似地，我們還可以定義 的右梯度， ，可以證明張量場的梯度 4 設(shè)二張量場 ，則它在非完整系物理標(biāo)架下的左梯度 定義為

18、一個(gè)三階張量 第69頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其中這是 的分量形式 的右梯度 定義為 一般情況下第70頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三4散度 1矢量場的散度 設(shè)矢量場 ，則它的散度 定義為一個(gè)標(biāo)量其展開形式為：第71頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2張量場的散度 設(shè)任意二階張量 ，則它的左散度 定義為一個(gè)矢量其并矢形式為:第72頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三這是 的分量形式。定義： 的右散度 第73頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三5旋度1矢量場的旋度 設(shè)任意

19、矢量場 ，則它的左旋度定義為一個(gè)矢量 其并矢形式為第74頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三第75頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2張量場的旋度 設(shè)任意二階張量場 ，則它的左旋度定義為一個(gè)二階張量其并矢形式為第76頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三這就是 的分量形式 定義：二階張量 的右旋度 第77頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三6拉普拉斯算子1作用于標(biāo)量場拉普拉斯算子 拉普拉斯(Laplace)算子定義為 當(dāng)拉普拉斯算子作用于標(biāo)量函數(shù) 時(shí)，即第78頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2作用于矢量場的拉普拉斯算子 當(dāng)拉普拉斯算子作用于矢量場 時(shí)，則第79頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三7雙重哈密頓算子 作用于標(biāo)量場的雙重哈密頓算子 稱為雙重哈密頓算子 設(shè)f為任一標(biāo)量函數(shù)，雙重哈密頓算子對f作用，則有：第80頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三作用于矢量場的雙重哈密頓算子 設(shè) 為一個(gè)矢量場，雙重哈密頓算子對a的點(diǎn)積作用為 第81頁，共92頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三8物質(zhì)導(dǎo)數(shù)標(biāo)量函數(shù)的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 設(shè) 是關(guān)于標(biāo)性變量(例如時(shí)間)位置