初中數(shù)學滬科版九年級上冊第22章　相似形-階段強化專訓

1、階段強化專訓一：平行線分線段成比例常見應用技巧 證比例式技巧1.中間比代換法證比例式1如圖，已知在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DEBC，EFAB，且ADDB35，求CFCB的值(第1題)技巧2.等積代換法證比例式2如圖，在ABC中，D是AB上一點，E是ABC內(nèi)一點，DEBC，過D作AC的平行線交CE的延長線于F，CF與AB交于P，連接BF，求證：eq f(PE,PF)eq f(PA,PB).(第2題)技巧3.等比代換法證比例中項3如圖，在ABC中，DEBC，EFCD.求證：AD是AB和AF的比例中項(第3題) 證線段相等技巧4.等比例法證線段相等(等比過渡法)4如圖，

2、在ABC中，ACB90，BA，點D為邊AB的中點，DEBC交AC于點E，CFAB交DE的延長線于點F.求證：DEEF.(第4題) 證比例和為1技巧5.同分母的中間比代換法5如圖，已知ACEFBD，求證：eq f(AE,AD)eq f(BE,BC)1.(第5題)階段強化專訓二：證明相似三角形的方法名師點金：要找三角形相似的條件，關(guān)鍵抓住以下幾點：(1)已知角相等時，找兩對對應角相等，若只能找到一對對應角相等，判斷夾相等的角的兩邊是否對應成比例；(2)無法找到角相等時，判斷三邊是否對應成比例；(3)除此之外，也可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性” 利用角判定兩三角形相似1如圖，AB

3、C是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長與CE交于點E.(1)求證：ABDCED；(2)若AB6，AD2CD，求BE的長(第1題) 利用邊角判定兩三角形相似2已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP3PC，Q是CD的中點求證：ADQQCP.(第2題) 利用三邊判定兩三角形相似3如圖，AD是ABC的高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點求證：DEFABC.(第3題) 兩直角三角形的特殊判定方法(斜邊直角邊)4下面關(guān)于直角三角形相似敘述錯誤的是()A有一銳角對應相等的兩直角三角形相似B兩直角邊對應成比例的兩直角三角形相似C有一條直角邊相等的兩個直角三角形相似D兩個等腰

4、直角三角形相似5如圖，BCAD，垂足為C，AD，CD，BC，CE，求證：ABCDEC.(第5題)階段強化專訓三：巧用“基本圖形”探索相似條件名師點金：幾何圖形大多數(shù)由基本圖形復合而成，因此熟悉三角形相似的基本圖形，有助于快速、準確識別相似三角形，從而順利找到解題思路和方法；相似三角形的四類結(jié)構(gòu)圖：(1)平行線型(2)相交線型(3)子母型(4)旋轉(zhuǎn)型 平行線型1如圖，在ABC中，BE平分ABC交AC于點E，過點E作EDBC交AB于點D.(1)求證：AEBCBDAC.(2)如果SADE3，SBDE2，DE6，求BC的長(第1題) 相交線型2如圖，點D，E分別為ABC的邊AC，AB上的點，BD，CE

5、交于點O，且eq f(EO,BO)eq f(DO,CO)，試問ADE與ABC相似嗎？請說明理由(第2題) 子母型3如圖，在ABC中，BAC90，ADBC于點D，E為AC的中點，ED的延長線交AB的延長線于點F.求證：eq f(AB,AC)eq f(DF,AF).(第3題) 旋轉(zhuǎn)型4如圖，已知DABEAC，ADEABC.求證：(1)ADEABC；(2)eq f(AD,AE)eq f(BD,CE).(第4題)階段強化專訓四：巧添輔助線構(gòu)造相似三角形名師點金解題時，往往會遇到要證的問題與相似三角形聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形的情況，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是這類幾何證明題的一種重要方法常作

6、的輔助線有以下幾種：(1)由比例式作平行線；(2)有中點時，作中位線；(3)根據(jù)比例式，構(gòu)造相似三角形 平行線型如圖，在ABC中，點M為AC邊的中點，點E為AB上一點，且AEeq f(1,4)AB，連接EM并延長交BC的延長線于點D.求證：BC2CD.作輔助線的方法一：作輔助線的方法二：作輔助線的方法三：作輔助線的方法四：階段強化專訓五：巧用位似作三角形中的內(nèi)接多邊形名師點金：位似圖形是特殊位置的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)；位似圖形具備以下特點：(1)兩個圖形相似；(2)對應點的連線相交于一點；(3)對應邊互相平行或在同一直線上 作三角形的內(nèi)接正三角形1如圖，用下面的方法可以畫AOB的

7、內(nèi)接等邊三角形，閱讀后證明相應問題畫法：在AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE，使點C在OA上，點D在OB上；連接OE并延長，交AB于點E，過點E作ECEC，交OA于點C，作EDED，交OB于點D；連接CD，則CDE是AOB的內(nèi)接等邊三角形求證：CDE是等邊三角形(第1題) 作三角形的內(nèi)接矩形2求作：內(nèi)接于已知ABC的矩形DEFG，使它的邊EF在BC上，頂點D，G分別在AB，AC上，并且有DEEF12.(第2題) 作三角形的內(nèi)接正方形(方程思想)3如圖，ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC120 mm，高AD80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊QM在BC上，其余兩個頂點P，N分別在AB，AC

8、上，則這個正方形零件的邊長是多少？(第3題)4(1)如圖，在ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于點P.求證：eq f(DP,BQ)eq f(PE,QC).(2)在ABC中，BAC90，正方形DEFG的四個頂點在ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點如圖，若ABAC1，直接寫出MN的長；如圖，求證：MN2DMEN.(第4題)答案階段強化專訓一1(1)證明：DEBC，EFAB，四邊形DEFB為平行四邊形DEBF.DEBC，eq f(AD,AB)eq f(AE,AC).EFAB，eq f(AE,AC)eq f(BF,BC).又DEBF，eq f(AE,

9、AC)eq f(DE,BC).eq f(AD,AB)eq f(DE,BC).(2)解：ADDB35，BDAB58.DEBC，CEACBDAB58.EFAB，CFCBCEAC58.2證明：DEBC，eq f(PD,PB)eq f(PE,PC).PDPCPEPB.DFAC，eq f(PF,PC)eq f(PD,PA).PDPCPFPA.PEPBPFPA.eq f(PE,PF)eq f(PA,PB).3證明：EFCD，eq f(AF,AD)eq f(AE,AC).DEBC.eq f(AD,AB)eq f(AE,AC).eq f(AF,AD)eq f(AD,AB)，AD是AB和AF的比例中項4證明：D

10、EBC，eq f(AD,DB)eq f(AE,EC).點D為AB的中點，ADDB，即eq f(AD,DB)1.eq f(AE,EC)1.CFAB，eq f(DE,EF)eq f(AE,EC)1.DEEF.5證明：ACEF，eq f(BE,BC)eq f(BF,BA).又EFBD，eq f(AE,AD)eq f(AF,AB).，得eq f(BE,BC)eq f(AE,AD)eq f(BF,BA)eq f(AF,AB)eq f(AB,AE)1，即eq f(AE,AD)eq f(BE,BC)1.階段強化專訓二1(1)證明：ABC是等邊三角形，AACB60.ACF120.CE是外角平分線，ACEeq

11、f(1,2)ACFeq f(1,2)12060.(第1題)AACE.又ADBCDE，ABDCED.(2)解：如圖，作BMAC于點M，則AMCM3，BM3eq r(3).AD2CD，CD2，AD4.則MD1.在RtBDM中，BDeq r(BM2MD2)2eq r(7).由ABDCED得eq f(BD,ED)eq f(AD,CD)，即eq f(2r(7),ED)2，EDeq r(7).BEBDED3eq r(7).2證明：四邊形ABCD是正方形，ADBCCD.Q是CD的中點，QDQCeq f(1,2)CDeq f(AD,QC)2.BP3，eq f(BC,PC)4.又BCCD2DQ，eq f(DQ,

12、PC)2.在ADQ和QCP中，eq f(AD,QC)eq f(DQ,CP)，CD90，ADQQCP.3證明：AD是ABC的高，ADBD.又E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點在RtABD中，DE為斜邊AB上的中線DEeq f(1,2)AB.即eq f(DE,AB)eq f(1,2).同理eq f(DF,AC)eq f(1,2).EF為ABC的中位線，EFeq f(1,2)BC，即eq f(EF,BC)eq f(1,2).eq f(DE,AB)eq f(EF,BC)eq f(DF,AC).DEFABC.4C5證明：AD，CD，ACADCD.eq f(BC,CD)eq f,3.又eq f(BC,EC)eq

13、 f,3，eq f(AC,CD)eq f(BC,EC).又BCAD，ACBDCE90，ABCDEC.階段強化專訓三1(1)證明：EDBC，ADEABC.eq f(AE,AC)eq f(DE,BC).BE平分ABC，DBEEBC.EDBC，DEBEBC.DBEDEB.DEBD.eq f(AE,AC)eq f(BD,BC)，即AEBCBDAC.(2)解：設hADE表示ADE中DE邊上的高，hBDE表示BDE中DE邊上的高，hABC表示ABC中BC邊上的高，SADE3，SBDE2，eq f(SADE,SBDE)eq f(hADE,hBDE)eq f(3,2).eq f(hADE,hABC)eq f(

14、3,5).ADEABC，eq f(DE,BC)eq f(hADE,hABC)eq f(3,5).DE6，BC10.2解：相似理由如下：因為eq f(EO,BO)eq f(DO,CO)，BOECOD，DOECOB，所以BOECOD，DOECOB.所以EBODCO，DEOCBO.因為ADEDCODEO，ABCEBOCBO.所以ADEABC.又因為AA，所以ADEABC.3證明：BAC90，ADBC于點D，BACADB90.又CBAABD(公共角)，ABCDBA.eq f(AB,AC)eq f(DB,DA)，BADC.ADBC于點D，E為AC的中點，DEECEA.BDFCDEC.BDFBAD.又FF

15、，DBFADF.eq f(DB,AD)eq f(DF,AF).eq f(AB,AC)eq f(DF,AF).(第3題)點撥：當所證等積式或比例式運用“三點定型法”不能定型或能定型而不相似，條件又不具備成比例線段時，可考慮用中間比“搭橋”，稱為“等比替換法”，有時還可用“等積替換法”，例如：如圖，在ABC中，ADBC于點D，DEAB于點E，DFAC于點F，求證：AEABAFAC，可由兩組“射影圖”得AEABAD2，AFACAD2，AEABAFAC.4證明：(1)DABEAC，DAEBAC.又ADEABC，ADEABC.(2)ADEABC，eq f(AD,AE)eq f(AB,AC).DABEAC

16、，ADBAEC.eq f(AD,AE)eq f(BD,CE).階段強化專訓四證明：(方法一)過點C作CFAB交DE于點F，CDFBDE，eq f(CF,BE)eq f(CD,BD).點M為AC邊的中點，AMCM.CFAB，BACMCF.又AMECMF，AMECMF.AECF.AEeq f(1,4)AB，BEABAE，BE3AE.eq f(AE,BE)eq f(1,3).eq f(CF,BE)eq f(CD,BD)，eq f(AE,BE)eq f(CD,BD)eq f(1,3)，BD3CD.又BDBCCD，BC2CD.(方法二)過點C作CFDE交AB于點F，eq f(AE,AF)eq f(AM,

17、AC).又點M為AC邊的中點，AC2AM.2AEAF.AEEF.又eq f(AE,AB)eq f(1,4)，eq f(BF,EF)2.又CFDE，eq f(BF,FE)eq f(BC,CD)2.BC2CD.(方法三)過點E作EFBC，交AC于點F，AEFABC.又AEeq f(1,4)AB，eq f(EF,BC)eq f(AF,AC)eq f(AE,AB)eq f(1,4)，EFeq f(1,4)BC，AFeq f(1,4)AC.EFCD，EFMDCM，eq f(EF,CD)eq f(MF,MC).又AMMC，得MFeq f(1,2)MC，EFeq f(1,2)CD.BC2CD.(方法四)過點

18、A作AFBD，交DE的延長線于點F，F(xiàn)D，F(xiàn)AEB.AEFBED.eq f(AE,BE)eq f(AF,BD).AEeq f(1,4)AB，AEeq f(1,3)BE.AFeq f(1,3)BD.由AFCD，易得AFMCDM.eq f(AF,CD)eq f(AM,MC).又AMMC，AFCD.CDeq f(1,3)BD.BC2CD.方法總結(jié)：由已知線段的比，求證另外兩線段的比，通常添加平行線，構(gòu)造相似三角形來求解階段強化專訓五1證明：ECEC，CEOCEO，eq f(CE,CE)eq f(OE,OE).又EDED，DEODEO，eq f(DE,DE)eq f(OE,OE).CEDCED，eq f(CE,CE)eq f(DE,DE).CEDCED.又CDE是等邊三角形，CDE是等邊三角形2解：在AB邊上任取一點D，過點D作DEBC于E，在BC上截取EF，使EF2DE，分別過F作FGBC，過D作DGBC交FG于點G，作射線BG交AC于點G，過點G作GFGF，DGDG，GF交BC于點F，DG交AB于點D，過點D作DEDE交BC于點E，則四邊形DEFG為ABC的內(nèi)接矩形，且DEE