概率第七章樣本分布

1、概率第七章樣本分布第1頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四本章轉入課程的第二部分數(shù)理統(tǒng)計第2頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四 從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關于錢糧、戶口、地震、水災等等的記載，說明人們很早就開始了統(tǒng)計的工作 . 但是當時的統(tǒng)計，只是對有關事實的簡單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷.第3頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四 到了十九世紀末二十世紀初，隨著近代數(shù)學和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計學這門學科.數(shù)理統(tǒng)計學第4頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分

2、，星期四 學習數(shù)理統(tǒng)計無須把過多時間化在計算上，可以更有效地把時間用在基本概念、方法原理的正確理解上. 國內(nèi)外著名的統(tǒng)計軟件包： SAS，SPSS，STAT等，都可以讓你快速、簡便地進行數(shù)據(jù)處理和分析,常用的表格處理文件excel文件也有很多數(shù)據(jù)處理的功能. 計算機的誕生與發(fā)展，為數(shù)據(jù)處理提供了強有力的技術支持，數(shù)理統(tǒng)計與計算機的結合是必然的發(fā)展趨勢.第5頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四 數(shù)理統(tǒng)計學是一門應用性很強的學科. 它是研究怎樣以有效的方式收集、 整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推斷和預測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議.第6頁，共

3、51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四 數(shù)理統(tǒng)計不同于一般的資料統(tǒng)計，它更側重于應用隨機現(xiàn)象本身的規(guī)律性進行資料的收集、整理和分析. 由于大量隨機現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性，因而從理論上講，只要對隨機現(xiàn)象進行足夠多次觀察，被研究的隨機現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來.只允許我們對隨機現(xiàn)象進行次數(shù)不多的觀察試驗，也就是說, 我們獲得的只是局部觀察資料.但客觀上第7頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四 數(shù)理統(tǒng)計的任務就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題, 盡可能地作出精確而可靠的結論.第8頁，共51頁，2022年，5月20日，23點

4、26分，星期四 由于推斷是基于抽樣數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)又不能包括研究對象的全部信息. 因而由此獲得的結論必然包含不肯定性. 在數(shù)理統(tǒng)計中，不是對所研究的對象全體(稱為總體)進行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過這些數(shù)據(jù)對總體進行推斷.第9頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四(1)怎樣設計試驗，決定觀察的數(shù)目；(2)怎樣利用試驗觀察的結果作出推斷等.數(shù)理統(tǒng)計所要研究的問題：第10頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四 第一個問題是怎樣進行抽樣，使抽得的樣本更合理,并有更好的代表性？這是抽樣方法和試驗設計問題：最簡單易行的是進行

5、隨機抽樣. 第二個問題是怎樣從取得的樣本去推斷總體？這種推斷具有多大的可靠性？統(tǒng)計推斷(核心)問題.第11頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四統(tǒng)計推斷統(tǒng)計估計統(tǒng)計檢驗參數(shù)估計非參數(shù)估計點估計區(qū)間估計參數(shù)假設檢驗非參數(shù)假設檢驗第12頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四 概率論是數(shù)理統(tǒng)計的基礎，而數(shù)理統(tǒng)計是概率論的重要應用. 但它們是并列的兩個學科，并無從屬關系 . 可見，在數(shù)理統(tǒng)計中必然要用到概率論的理論和方法. 因為隨機抽樣的結果帶有隨機性，不能不把它當作隨機現(xiàn)象來處理 .由此也可以說，第13頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四

6、統(tǒng)計方法具有“部分推斷整體”的特征 .因為我們是從一小部分樣本觀察值去推斷該全體對象（總體）情況，即由部分推斷全體. 這里使用的推理方法是“歸納推理”：它在作出結論時，是根據(jù)所觀察到的大量個別情況，“歸納”起來所得。第14頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四推斷統(tǒng)計學對已取得的觀測值進行整理、分析，作出推斷、決策，從而找出所研究的對象的規(guī)律性數(shù)參估計 (第六章) 假設檢驗 (第七章) 回歸分析 (第八章) 方差分析 (第八章) 推斷 統(tǒng)計學第15頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四 組成總體的每一個元素即總體的每個數(shù)量指標，可以看作隨機變量 X 的某

7、個取值。 研究對象全體元素組成的集合所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標的全體，X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征一.總體和樣本總體個體例如：一批燈泡，全體燈泡的使用壽命就是總體，每個燈泡的使用壽命是個體.它是一個隨機變量(或多維隨機變量)記為X 第16頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四樣本 從總體中抽取的部分個體稱 為總體 X 的一個容量為n 的樣本觀測值，或稱樣本的一個實現(xiàn)用 表示樣本， n 稱為樣本容量樣本空間 樣本所有可能取值的集合 第17頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四 在進行抽樣時，樣本的選取是隨機的，即總體中每個

8、 實際中，如總體樣數(shù)很大，而抽取的樣本容量相對小，簡單隨機樣本：進行重復抽樣所得的隨機樣本.個體都有同等機會被選入樣本。抽樣通常有兩種方式：一種是不重復抽樣，另一種是重復抽樣。如果總體單位數(shù)是無限的，抽取有限個不影響總體的分布（此時重復抽取與不重復抽取沒有多大區(qū)別）。 即可認為總體為無限的.(現(xiàn)在我們只研究簡單隨機樣本)第18頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四 簡單隨機樣本具有以下兩個性質(zhì)：（2）代表性：即 中的每一個都與（1）獨立性：即 中，各個隨機變量的取值互不影響，這時，我們稱 是相互獨立的隨機變量 總體 有相同的概率分布 相同分布的隨機變量離散型的具有相同的概率

9、分布律連續(xù)型的具有相同的概率密度，所以期望與方差全相同第19頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四樣本容量為n的樣本是n個相互獨立且與總體有相同分布記為 的隨機變量（n為樣本容量）, 是n元隨機變量 的一個樣本觀測值， 記為 構成的一個n元隨機變量,一個容量為n的樣本-（1）指一個n元隨機變量。從這個角度來說，（2）指某一次抽樣的具體數(shù)值。從這個角度來說，第20頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四統(tǒng)計量定義：為統(tǒng)計量，其中 不含未知參數(shù)都是統(tǒng)計量 3統(tǒng)計量的函數(shù) 樣本 統(tǒng)計量一般是樣本 的連續(xù)函數(shù)，由于樣本 是隨機變量，因而它的函數(shù)也是隨機變量。如：第

10、21頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四二樣本分布函數(shù)在實際統(tǒng)計工作中，數(shù)據(jù)的處理形式為表和圖。統(tǒng)計表有簡單表和分組表；統(tǒng)計圖有頻數(shù)（率）圖，頻率直方圖和累計頻率直方圖。1.分組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計表和頻數(shù)直方圖簡單表就是依出現(xiàn)的先后次序或按其數(shù)值大小列成表格，一般用處不大。如果數(shù)據(jù)較多，可分成若干組，按各組數(shù)值大小列成表格或制圖例1. 觀察新生女嬰兒的體重 (它是一個連續(xù)型隨機變量)取170號按順序測得體重如表7-1.第22頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四此表是體重按出生順序排序.單位為克(g)第23頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星

11、期四分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表分組時一般采取等區(qū)間分組,區(qū)間長度稱為組距.制作分組數(shù)據(jù)表的步驟:(1)從數(shù)據(jù)找出最大值M與最小值L,并求出它們的差.這里：L=1800,M=4280,M-L=2480（2）決定分組的界限。一般采用包含區(qū)域（L,M)的稍寬區(qū)域(a, b)為分組的界限。這里?。篴=1700, b=4300, L,M a, b(3)決定組距(用D表示)和組數(shù)(用k表示),它們之間的關系為D=(b-a)/k，取組數(shù)時常常按照一定的經(jīng)驗法則,一般來說,決定組數(shù)應使每組至少有個4、5個數(shù)據(jù)，當數(shù)據(jù)很多時，只要可以反映分布的趨勢，也可以每組很多數(shù)據(jù)。這里：取k=13, D =(b-a)/k=(43

12、00-1700)/13=200第24頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四其中落到各組的數(shù)據(jù)個數(shù)稱為組頻數(shù)。第25頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四例2 將例1中前20個新生嬰兒體重按大小順序列成一簡單統(tǒng)計表，如下表所示。25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號若進一步把20個數(shù)據(jù)分成5組（每組不包括上限）。試給出分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表。解：這里取：a=2400, b=3900要分5個組，組距 =(b-a)/5=(390

13、0-2400)/5=300第26頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四畫頻率分布直方圖的步驟:1. 求b-a3. 將數(shù)據(jù)分組5. 畫頻率分布直方圖4. 列頻率分布表圖中小長方體的面積等于對應的頻率各小長方體的面積之和等于1頻率直方圖和累計頻率直方圖組頻率：是指組頻數(shù)與樣本容量的比值。累積頻率：相應一些組頻率累加起來的和。2. 決定組距與組數(shù)第27頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號

14、10090652510累積頻率1025401510組頻率第28頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四累積頻率直方圖25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號10090652510累積頻率1025401510組頻率第29頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四其上某區(qū)間上的長方形面積約等于同底的曲頂梯形面積.(只適用于連續(xù)型隨機變量)故各長方形的頂點連成的曲線可近似模擬概率密度.第30頁，共51頁，2022年，5月20日，23點

15、26分，星期四經(jīng)驗分布函數(shù)根據(jù)觀察結果來確定總體分布函數(shù)是數(shù)理統(tǒng)計的重要問題之一,為此我們引進經(jīng)驗分布函數(shù)的概念.設來自于總體X的樣本的一組觀察值,即對X進行n次獨立重復觀察,測得一組觀察值.對任一實數(shù)x,用vn(x)表示事件X x出現(xiàn)的頻數(shù),即小于等于x的觀測值xi 的個數(shù). 設函數(shù)(i=1,2,.,n)顯然 是隨機變量將對總體X的一次觀察作為一次試驗,記A=X x,則:X的分布函數(shù)F(x)=P(X x )=P(A)=p.第31頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四將對總體X的一次觀察作為一次試驗,記A=X x,則:于是,對總體X的n次觀察相當于n重貝努里試驗,vn(x)

16、表示事件Xx出現(xiàn)的頻數(shù),即n重貝努里試驗中事件X x發(fā)生的次數(shù),故有vn(x)B(n,F(x)根據(jù)貝努里大數(shù)定律(定理5.2 在n重貝努里試驗中，事件A的頻率是 , 是n次試驗中A發(fā)生的次數(shù)），依概率收斂于事件A發(fā)生的概率p ，即對p=P(A)=F(x)vn(x)表示事件X x出現(xiàn)的頻數(shù)X的分布函數(shù)F(x)=P(X x )=P(A)=p.第32頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四這表明,當樣本容量n充分大時,可用總體X的函數(shù)來近似表示X的分布函數(shù),所以稱 為X的經(jīng)驗分布函數(shù).第33頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四設 是總體 的一個樣本觀察值，按大

17、小則的圖形就是累積頻率的曲線，它是跳躍式上升順序排列： 的一條階梯曲線。 對任一實數(shù)x, vn(x)表示事件X x出現(xiàn)的頻數(shù),則：第34頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四若觀察值不重復，則每一躍度為 若有重復，則按的倍數(shù)跳躍上升。 第35頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四例 .隨機地觀察總體,得到10個數(shù)據(jù)如下：3.2，2.5，-4，2.5，0，3，2，2.5，4，2將它們從小到大排列為：-402=22.5=2.5=2.533.24其樣本分布函數(shù)為： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10第36頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分

18、，星期四三樣本分布的數(shù)字特征即樣本分布的某些特征的數(shù)字，經(jīng)常用它估計總體的樣本平均數(shù)定義：對于樣本 稱 為樣本平均數(shù)對某些具體的樣本值 其樣本平均數(shù)是 數(shù)字特征。(1)不考慮分組時:第37頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四若樣本的觀察值已整理成分組數(shù)據(jù)（設分成 組， （加權平均值） (2)考慮分組時第38頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四例：例7.2中20個新生女嬰兒的平均體重是?2樣本方差 定義：對于樣本稱 及分別為樣本方差和樣本標準差由定義有， 解:25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36

19、003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號第39頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四在具體計算樣本方差時常用此式 若數(shù)據(jù)已分成k組， 和分別為第 組的組頻數(shù)和組中值或 證：使用以下公式:第40頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四例2中的 =? =112736.84例:解:25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號第41頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四3.樣本

20、方差和樣本平均數(shù)的簡算公式.設 為樣本的個觀察值 (1)對任意常數(shù) ,記為 ,則 (2)對任意常數(shù) 及非零常數(shù) ,記 ,則 適當?shù)剡x取常數(shù) 使變換后的 盡量簡單 (對分組數(shù)據(jù)也適用,可令第42頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四例.在例2中的分組數(shù)據(jù),計算 及 解:令 a=3150,c=30085038450-3-441014210-1-225832組頻數(shù) 37503450315028502550組中值 54321分組編號 第43頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四由上表得 的計算比直接計算樣本平均數(shù)和方差要簡便的多 則 85038450-3-441014210-1-225832組頻數(shù) 37503450315028502550組中值 54321分組編號 第44頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四4.幾個常用統(tǒng)計量的分布定理7.1.設 相互獨立, 服從正態(tài)分布 ,則它們的線性函數(shù) 也服從正態(tài)分布,且 (1) 推論: 設 是取自正態(tài)總體 的樣本,則 (2) 第45頁，共51頁，2022年，5月20日，23點26分，星期四證明: (1)因 則取 由Th7.1知 的期望 方差 從而 (2) 對 進行標準化,得到:這里只給出推論的證明:第46頁，