概率第七章樣本分布

1、概率第七章樣本分布第1頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四本章轉(zhuǎn)入課程的第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)第2頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說明人們很早就開始了統(tǒng)計(jì)的工作 . 但是當(dāng)時的統(tǒng)計(jì)，只是對有關(guān)事實(shí)的簡單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷.第3頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)第4頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分

2、，星期四 學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)無須把過多時間化在計(jì)算上，可以更有效地把時間用在基本概念、方法原理的正確理解上. 國內(nèi)外著名的統(tǒng)計(jì)軟件包： SAS，SPSS，STAT等，都可以讓你快速、簡便地進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析,常用的表格處理文件excel文件也有很多數(shù)據(jù)處理的功能. 計(jì)算機(jī)的誕生與發(fā)展，為數(shù)據(jù)處理提供了強(qiáng)有力的技術(shù)支持，數(shù)理統(tǒng)計(jì)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合是必然的發(fā)展趨勢.第5頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科. 它是研究怎樣以有效的方式收集、 整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推斷和預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議.第6頁，共

3、51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般的資料統(tǒng)計(jì)，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析. 由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性，因而從理論上講，只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，被研究的隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來.只允許我們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗(yàn)，也就是說, 我們獲得的只是局部觀察資料.但客觀上第7頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題, 盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論.第8頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)

4、26分，星期四 由于推斷是基于抽樣數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)又不能包括研究對象的全部信息. 因而由此獲得的結(jié)論必然包含不肯定性. 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對所研究的對象全體(稱為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過這些數(shù)據(jù)對總體進(jìn)行推斷.第9頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四(1)怎樣設(shè)計(jì)試驗(yàn)，決定觀察的數(shù)目；(2)怎樣利用試驗(yàn)觀察的結(jié)果作出推斷等.數(shù)理統(tǒng)計(jì)所要研究的問題：第10頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 第一個問題是怎樣進(jìn)行抽樣，使抽得的樣本更合理,并有更好的代表性？這是抽樣方法和試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題：最簡單易行的是進(jìn)行

5、隨機(jī)抽樣. 第二個問題是怎樣從取得的樣本去推斷總體？這種推斷具有多大的可靠性？統(tǒng)計(jì)推斷(核心)問題.第11頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)估計(jì)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)非參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)第12頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的重要應(yīng)用. 但它們是并列的兩個學(xué)科，并無從屬關(guān)系 . 可見，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中必然要用到概率論的理論和方法. 因?yàn)殡S機(jī)抽樣的結(jié)果帶有隨機(jī)性，不能不把它當(dāng)作隨機(jī)現(xiàn)象來處理 .由此也可以說，第13頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四

6、統(tǒng)計(jì)方法具有“部分推斷整體”的特征 .因?yàn)槲覀兪菑囊恍〔糠謽颖居^察值去推斷該全體對象（總體）情況，即由部分推斷全體. 這里使用的推理方法是“歸納推理”：它在作出結(jié)論時，是根據(jù)所觀察到的大量個別情況，“歸納”起來所得。第14頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)對已取得的觀測值進(jìn)行整理、分析，作出推斷、決策，從而找出所研究的對象的規(guī)律性數(shù)參估計(jì) (第六章) 假設(shè)檢驗(yàn) (第七章) 回歸分析 (第八章) 方差分析 (第八章) 推斷 統(tǒng)計(jì)學(xué)第15頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 組成總體的每一個元素即總體的每個數(shù)量指標(biāo)，可以看作隨機(jī)變量 X 的某

7、個取值。 研究對象全體元素組成的集合所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體，X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征一.總體和樣本總體個體例如：一批燈泡，全體燈泡的使用壽命就是總體，每個燈泡的使用壽命是個體.它是一個隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量)記為X 第16頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四樣本 從總體中抽取的部分個體稱 為總體 X 的一個容量為n 的樣本觀測值，或稱樣本的一個實(shí)現(xiàn)用 表示樣本， n 稱為樣本容量樣本空間 樣本所有可能取值的集合 第17頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 在進(jìn)行抽樣時，樣本的選取是隨機(jī)的，即總體中每個

8、 實(shí)際中，如總體樣數(shù)很大，而抽取的樣本容量相對小，簡單隨機(jī)樣本：進(jìn)行重復(fù)抽樣所得的隨機(jī)樣本.個體都有同等機(jī)會被選入樣本。抽樣通常有兩種方式：一種是不重復(fù)抽樣，另一種是重復(fù)抽樣。如果總體單位數(shù)是無限的，抽取有限個不影響總體的分布（此時重復(fù)抽取與不重復(fù)抽取沒有多大區(qū)別）。 即可認(rèn)為總體為無限的.(現(xiàn)在我們只研究簡單隨機(jī)樣本)第18頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四 簡單隨機(jī)樣本具有以下兩個性質(zhì)：（2）代表性：即 中的每一個都與（1）獨(dú)立性：即 中，各個隨機(jī)變量的取值互不影響，這時，我們稱 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 總體 有相同的概率分布 相同分布的隨機(jī)變量離散型的具有相同的概率

9、分布律連續(xù)型的具有相同的概率密度，所以期望與方差全相同第19頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四樣本容量為n的樣本是n個相互獨(dú)立且與總體有相同分布記為 的隨機(jī)變量（n為樣本容量）, 是n元隨機(jī)變量 的一個樣本觀測值， 記為 構(gòu)成的一個n元隨機(jī)變量,一個容量為n的樣本-（1）指一個n元隨機(jī)變量。從這個角度來說，（2）指某一次抽樣的具體數(shù)值。從這個角度來說，第20頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四統(tǒng)計(jì)量定義：為統(tǒng)計(jì)量，其中 不含未知參數(shù)都是統(tǒng)計(jì)量 3統(tǒng)計(jì)量的函數(shù) 樣本 統(tǒng)計(jì)量一般是樣本 的連續(xù)函數(shù)，由于樣本 是隨機(jī)變量，因而它的函數(shù)也是隨機(jī)變量。如：第

10、21頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四二樣本分布函數(shù)在實(shí)際統(tǒng)計(jì)工作中，數(shù)據(jù)的處理形式為表和圖。統(tǒng)計(jì)表有簡單表和分組表；統(tǒng)計(jì)圖有頻數(shù)（率）圖，頻率直方圖和累計(jì)頻率直方圖。1.分組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)表和頻數(shù)直方圖簡單表就是依出現(xiàn)的先后次序或按其數(shù)值大小列成表格，一般用處不大。如果數(shù)據(jù)較多，可分成若干組，按各組數(shù)值大小列成表格或制圖例1. 觀察新生女嬰兒的體重 (它是一個連續(xù)型隨機(jī)變量)取170號按順序測得體重如表7-1.第22頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四此表是體重按出生順序排序.單位為克(g)第23頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星

11、期四分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表分組時一般采取等區(qū)間分組,區(qū)間長度稱為組距.制作分組數(shù)據(jù)表的步驟:(1)從數(shù)據(jù)找出最大值M與最小值L,并求出它們的差.這里：L=1800,M=4280,M-L=2480（2）決定分組的界限。一般采用包含區(qū)域（L,M)的稍寬區(qū)域(a, b)為分組的界限。這里取：a=1700, b=4300, L,M a, b(3)決定組距(用D表示)和組數(shù)(用k表示),它們之間的關(guān)系為D=(b-a)/k，取組數(shù)時常常按照一定的經(jīng)驗(yàn)法則,一般來說,決定組數(shù)應(yīng)使每組至少有個4、5個數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時，只要可以反映分布的趨勢，也可以每組很多數(shù)據(jù)。這里：取k=13, D =(b-a)/k=(43

12、00-1700)/13=200第24頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四其中落到各組的數(shù)據(jù)個數(shù)稱為組頻數(shù)。第25頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四例2 將例1中前20個新生嬰兒體重按大小順序列成一簡單統(tǒng)計(jì)表，如下表所示。25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號若進(jìn)一步把20個數(shù)據(jù)分成5組（每組不包括上限）。試給出分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表。解：這里?。篴=2400, b=3900要分5個組，組距 =(b-a)/5=(390

13、0-2400)/5=300第26頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四畫頻率分布直方圖的步驟:1. 求b-a3. 將數(shù)據(jù)分組5. 畫頻率分布直方圖4. 列頻率分布表圖中小長方體的面積等于對應(yīng)的頻率各小長方體的面積之和等于1頻率直方圖和累計(jì)頻率直方圖組頻率：是指組頻數(shù)與樣本容量的比值。累積頻率：相應(yīng)一些組頻率累加起來的和。2. 決定組距與組數(shù)第27頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號

14、10090652510累積頻率1025401510組頻率第28頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四累積頻率直方圖25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號10090652510累積頻率1025401510組頻率第29頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四其上某區(qū)間上的長方形面積約等于同底的曲頂梯形面積.(只適用于連續(xù)型隨機(jī)變量)故各長方形的頂點(diǎn)連成的曲線可近似模擬概率密度.第30頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)

15、26分，星期四經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)根據(jù)觀察結(jié)果來確定總體分布函數(shù)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要問題之一,為此我們引進(jìn)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的概念.設(shè)來自于總體X的樣本的一組觀察值,即對X進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)觀察,測得一組觀察值.對任一實(shí)數(shù)x,用vn(x)表示事件X x出現(xiàn)的頻數(shù),即小于等于x的觀測值xi 的個數(shù). 設(shè)函數(shù)(i=1,2,.,n)顯然 是隨機(jī)變量將對總體X的一次觀察作為一次試驗(yàn),記A=X x,則:X的分布函數(shù)F(x)=P(X x )=P(A)=p.第31頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四將對總體X的一次觀察作為一次試驗(yàn),記A=X x,則:于是,對總體X的n次觀察相當(dāng)于n重貝努里試驗(yàn),vn(x)

16、表示事件Xx出現(xiàn)的頻數(shù),即n重貝努里試驗(yàn)中事件X x發(fā)生的次數(shù),故有vn(x)B(n,F(x)根據(jù)貝努里大數(shù)定律(定理5.2 在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A的頻率是 , 是n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)），依概率收斂于事件A發(fā)生的概率p ，即對p=P(A)=F(x)vn(x)表示事件X x出現(xiàn)的頻數(shù)X的分布函數(shù)F(x)=P(X x )=P(A)=p.第32頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四這表明,當(dāng)樣本容量n充分大時,可用總體X的函數(shù)來近似表示X的分布函數(shù),所以稱 為X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).第33頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四設(shè) 是總體 的一個樣本觀察值，按大

17、小則的圖形就是累積頻率的曲線，它是跳躍式上升順序排列： 的一條階梯曲線。 對任一實(shí)數(shù)x, vn(x)表示事件X x出現(xiàn)的頻數(shù),則：第34頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四若觀察值不重復(fù)，則每一躍度為 若有重復(fù)，則按的倍數(shù)跳躍上升。 第35頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四例 .隨機(jī)地觀察總體,得到10個數(shù)據(jù)如下：3.2，2.5，-4，2.5，0，3，2，2.5，4，2將它們從小到大排列為：-402=22.5=2.5=2.533.24其樣本分布函數(shù)為： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10第36頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分

18、，星期四三樣本分布的數(shù)字特征即樣本分布的某些特征的數(shù)字，經(jīng)常用它估計(jì)總體的樣本平均數(shù)定義：對于樣本 稱 為樣本平均數(shù)對某些具體的樣本值 其樣本平均數(shù)是 數(shù)字特征。(1)不考慮分組時:第37頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四若樣本的觀察值已整理成分組數(shù)據(jù)（設(shè)分成 組， （加權(quán)平均值） (2)考慮分組時第38頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四例：例7.2中20個新生女嬰兒的平均體重是?2樣本方差 定義：對于樣本稱 及分別為樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差由定義有， 解:25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36

19、003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號第39頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四在具體計(jì)算樣本方差時常用此式 若數(shù)據(jù)已分成k組， 和分別為第 組的組頻數(shù)和組中值或 證：使用以下公式:第40頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四例2中的 =? =112736.84例:解:25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號第41頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四3.樣本

20、方差和樣本平均數(shù)的簡算公式.設(shè) 為樣本的個觀察值 (1)對任意常數(shù) ,記為 ,則 (2)對任意常數(shù) 及非零常數(shù) ,記 ,則 適當(dāng)?shù)剡x取常數(shù) 使變換后的 盡量簡單 (對分組數(shù)據(jù)也適用,可令第42頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四例.在例2中的分組數(shù)據(jù),計(jì)算 及 解:令 a=3150,c=30085038450-3-441014210-1-225832組頻數(shù) 37503450315028502550組中值 54321分組編號 第43頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四由上表得 的計(jì)算比直接計(jì)算樣本平均數(shù)和方差要簡便的多 則 85038450-3-441014210-1-225832組頻數(shù) 37503450315028502550組中值 54321分組編號 第44頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四4.幾個常用統(tǒng)計(jì)量的分布定理7.1.設(shè) 相互獨(dú)立, 服從正態(tài)分布 ,則它們的線性函數(shù) 也服從正態(tài)分布,且 (1) 推論: 設(shè) 是取自正態(tài)總體 的樣本,則 (2) 第45頁，共51頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)26分，星期四證明: (1)因 則取 由Th7.1知 的期望 方差 從而 (2) 對 進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,得到:這里只給出推論的證明:第46頁，