2021年高考.山東卷.理科數(shù)學試題及解答

1、 7/72021年高考.山東卷.理科數(shù)學試題及解答 2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷） 理科數(shù)學 一 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項。 1 若cos sin z i =+（i 為虛數(shù)單位），則21z =-的值可能是 （A ）6 （B ） 4 （C ）3 （D ） 2 2 已知集合1,1M =-，1124,2x N x x Z +? = （D ）對任意的x R ，32 10 x x -+ 8 某班50名學生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且

2、小于14秒；第二組， 成績大于等于14秒且小于15秒；第六組，成績大于等 于18秒且小于19秒。右圖是按上述分組方法得到的頻率分 布直方圖。設(shè)成績小于17秒的學生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分 比為x ，成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數(shù)為y ， 則從頻率分布直方圖中可分析出x 和y 分別為 （A ）0.9,35 （B ） 0.9,45 （C ）0.1,35 （D ） 0.1,45 秒 9 下列各小題中，p 是q 的充要條件的是 （1）:2p m ；2 :3q y x mx m =+有兩個不同的零點。 （2）() : 1;() f x p f x -= :()q y f x =是函數(shù)。 （3）:

3、cos cos ;p = :tan tan q =。 （4）:;p A B A ?= :U U q C B C A ?。 （A ）(1),(2) （B ） (2),(3) （C ）(3),(4) （D ） (1),(4) 10 閱讀右邊的程序框圖，若輸入的n 是100，則輸出的 變量S 和T 的值依次是 （A ）2500,2500 （B ） 2550,2550 （C ）2500,2550 （D ） 2550,2500 11.在直角ABC ?中，CD 是斜邊AB 上的高，則下列等式 不成立的是 （A ）2AC AC AB =?u u u r u u u r u u u r （B ） 2BC BA

4、 BC =?u u u r u u u r u u u r （C ）2AB AC CD =?u u u r u u u r u u u r （D ） 22 ()()AC AB BA BC CD AB ?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12 位于坐標原點的一個質(zhì)點P 按下述規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是 1 2 .質(zhì)點P 移動5次后位于點(2,3)的概率為 （A ）51()2 （B ） 2551()2C （C ）33 51()2 C （ D ） 235551()2C C 第卷（

5、共90分） 注意事項： 1.用黑色或藍色鋼筆、圓珠筆直接答在試題卷上. . 得 分 評卷人 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，答案須填在題中橫線上. (13)設(shè)O 是坐標原點，F(xiàn) 是拋物線y 2 =2px (p 0)的焦點，A 是拋物線上的一點，F(xiàn)A 與x 軸正向的夾角為60,則OA 為 . (14)設(shè)D 是不等式組? ?+1 ,40,32102y x y x y x ，表示的平面區(qū)域，則D 中的點P （x ,y ）到直線x +y =10距離的最 大值是 . (15)與直線x +y -2=0和曲線x 2+y 2 -12x -12y +54=0都相切的半徑最小的圓的標準方程是 .

6、 (16)函數(shù)y =log a (x +3)-1(a 0,a 1)的圖象恒過定點A ，若點A 在直線mx +ny +1=0上，其中mn 0,則 n m 2 1+的最小值為 . 6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. (17)(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列n a 滿足a 1+3a 2+32 a 3+3n -1 a n = N*,3 n n . ()求數(shù)列n a 的通項； （）設(shè)b n = n a n ，求數(shù)列n b 的前 n 項和S n . （18）（本小題滿分12分） 設(shè)b 和c 分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量表示方程2 0 x bx c +=實根的個數(shù)（重根按一

7、個計） （）求方程2 0 x bx c +=有實根的概率； （）求的分布列和數(shù)學期望； （）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程2 0 x bx c +=有實根的概率 （19）（本小題滿分12分） 如圖，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB =，AD DC ，AB DC （）設(shè)E 是DC 的中點，求證：1D E 平面11A BD ； （）求二面角11A BD C -的余弦值 B C D A 1A 1D 1C 1B E 得 分 評卷人 (20)(本小題滿分12分)如圖，甲船以每小時302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當甲

8、船位于A 1處時，乙船位于甲船的北偏西105方向的B 1處，此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達A 1處時，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B 1處，此時兩船相距102海里，問乙船每小時航行多少海里？ 得 分 評卷人 分）已知橢圓C 的中心在坐標原點，焦點在x 軸上，橢圓C 上的點到焦點距離的最大值為3；最小值為1； （）求橢圓C 的標準方程； （）若直線l 1y =kx +m 與橢圓C 相交于A ,B 兩點（A ，B 不是左右頂點），且以AB 為直徑的圓過橢圓C 的右頂點.求證：直線l 過定點，并求出該定點的坐標. 得 分 評卷人 分)設(shè)函數(shù)f (x )=x 2 +b ln(x +

9、1),其中b 0. ()當b 2 1 時，判斷函數(shù)f (x )在定義域上的單調(diào)性； （）求函數(shù)f (x )的極值點； （）證明對任意的正整數(shù)n ,不等式ln(3211)11(n n n -+)都成立. 參考答案： DBDAAB ，CADDCB 13【答案】: 21 p 14【答案】:4 2. 15【答案】:. 2 2 (2)(2)2x y -+-= 16【答案】: 8。 17【答案】: (I)2 1 12333 (3) ,3n n n a a a a -+= 2212311 33.3(2),3 n n n a a a a n += 111 3(2).333n n n n a n -=-= 1

10、(2).3 n n a n = 驗證1n =時也滿足上式，* 1().3 n n a n N = (II) 3n n b n =?， 23132333.3n n S n =?+?+?+? 231233333n n n S n +-=+-? 1 1332313 n n n S n +-= -?-， 1113 33244 n n n n S +=?-?+? 18【答案】:（I ）基本事件總數(shù)為6636?=， 若使方程有實根，則2 40b c ?=- ，即b 。 當1c =時，2,3,4,5,6b =； 當2c =時，3,4,5,6b =； 當3c =時，4,5,6b =； 當4c =時，4,5,6

11、b =； 當5c =時，5,6b =； 當6c =時，5,6b =, 目標事件個數(shù)為54332219,+= 因此方程2 0 x bx c += 有實根的概率為19.36 (II)由題意知，0,1,2=，則 17(0)36P =，21(1),3618P =17 (2)36 P =， 故的分布列為 的數(shù)學期望012 1.361836 E =? +?+?= (III)記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M ，“方程2 0ax bx c += 有實根” 為事件N ，則 11()36P M = ，7 ()36 P MN =， 23413132333.3n n S n +=?+?+?+? ()7 ()()

12、11 P MN P N M P M = =. 19【答案】:(I)連結(jié)BE ，則四邊形DABE 為正方形， 11BE AD A D =，且11BE AD A D P P ， 11A D EB 四邊形為平行四邊形， 11D E A B P . 1111D E A BD A B A BD ?Q 平面，平面， 11.D E A BD P 平面 (II) 以D 為原點，1,DA DC DD 所在直線分別為x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標系，不妨設(shè) 1DA =，則11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).D A B C A 1(1,0,2),(1,1,0

13、).DA DB =u u u u r u u u r 設(shè)(,)n x y z =r 為平面1A BD 的一個法向量， 由1,n DA n DB r u u u u r r u u u r 得200 x y x y +=?+=? ， 取1z =，則(2,2,1)n =-r . 設(shè)111(,)m x y z =u r 為平面1C BD 的一個法向量， 由,m DC m DB u r u u u r u r u u u r 得11112200 y z x y +=?+=?， 取11z =,則(1,1,1)m =-u r . cos ,m n m n m n ? 3,1a c a c +=-=，22,

14、1,3a c b = 22 1.43 x y += (II)設(shè)1122(,),(,)A x y B x y ，由2214 3y kx m x y =+? ?+=?得 222(34)84(3)0k x mkx m +-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+-，22340k m +-. 2121222 84(3) ,.3434mk m x x x x k k -+=-?=+ 222 2 121212122 3(4) ()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+=+ Q 以AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點(2,0),D

15、 1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ?=，1212122()40y y x x x x +-+=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k -+=+， 2271640m mk k +=，解得 1222,7 k m k m =-=-，且滿足22340k m +-. 當2m k =-時，:(2)l y k x =-，直線過定點(2,0),與已知矛盾； 當27k m =-時，2:()7l y k x =-，直線過定點2 (,0).7 綜上可知，直線l 過定點，定點坐標為2 (,0).7 22【答案】(I) 函數(shù)2 ()ln(1)f

16、x x b x =+的定義域為()1,-+. 222()211 b x x b f x x x x +=+=+， 令2 ()22g x x x b =+，則()g x 在1,2?-+ ?上遞增，在11,2?- ? ?上遞減， min 11 ()()22 g x g b =-=-+. 當12b 時，min 1 ()02 g x b =-+， 2()220g x x x b =+在()1,-+上恒成立. ()0,f x 即當1 2 b 時,函數(shù)()f x 在定義域()1,-+上單調(diào)遞增。 （II ）分以下幾種情形討論： （1）由（I ）知當1 2 b 時函數(shù)()f x 無極值點. （2）當12b =時，2 12(