推理證明算法復數(shù)復習資料

1、第3講程序框圖與算法語句【高考會這樣考】1程序框圖作為計算機科學的基礎，是歷年來高考的一個必考點，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，一般中檔偏易，多與分段函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計等綜合考查2重點考查程序框圖的應用，有時也考查基本的算法語句注重程序框圖的輸出功能、程序框圖的補充，以及算法思想和基本的運算能力、邏輯思維能力的考查【復習指導】1本講復習時，準確理解算法的基本概念、理解程序框圖的含義和作用是解題的關鍵，所以復習時要立足雙基，抓好基礎，對算法語句的復習不需過難，僅需理解幾種基本的算法語句2復習算法的重點應放在讀懂程序框圖上，尤其要重視循環(huán)結構的程序框圖，弄清當型與直到型循環(huán)結構的區(qū)別，以及進入、退出循

2、環(huán)的條件、循環(huán)的次數(shù)基礎梳理1算法通常是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成2程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形通常程序框圖由程序框和流程線組成，一個或幾個程序框的組合表示算法中的一個步驟，流程線帶方向箭頭，按照算法進行的順序將程序框連接起來3三種基本邏輯結構(1)順序結構是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，這是任何一個算法都離不開的基本結構其結構形式為(2)條件結構是指算法的流程根據(jù)給定的條件是否成立而選擇執(zhí)行不同的流向的結構形式其結構形式為(3)循環(huán)結構是指從某處開始，按照

3、一定條件反復執(zhí)行處理某一步驟的情況反復執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體循環(huán)結構又分為當型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)其結構形式為4輸入語句、輸出語句、賦值語句的格式與功能語句一般格式功能輸入語句INPUT“提示內(nèi)容”；變量輸入信息輸出語句PRINT“提示內(nèi)容”；表達式輸出常量、變量的值和系統(tǒng)信息賦值語句變量表達式將表達式代表的值賦給變量5.條件語句(1)程序框圖中的條件結構與條件語句相對應(2)條件語句的格式及框圖IFTHEN格式IFTHENELSE格式6循環(huán)語句(1)程序框圖中的循環(huán)結構與循環(huán)語句相對應(2)循環(huán)語句的格式及框圖UNTIL語句WHILE語句一條規(guī)律順序結構、循環(huán)結構和條件

4、結構的關系順序結構是每個算法結構都含有的，而對于循環(huán)結構有重復性，條件結構具有選擇性沒有重復性，并且循環(huán)結構中必定包含一個條件結構，用于確定何時終止循環(huán)體循環(huán)結構和條件結構都含有順序結構兩個注意(1)利用循環(huán)結構表示算法，第一要先確定是利用當型循環(huán)結構，還是直到型循環(huán)結構；第二要選擇準確的表示累計的變量；第三要注意在哪一步開始循環(huán)，滿足什么條件不再執(zhí)行循環(huán)體(2)關于賦值語句，有以下幾點需要注意：賦值號左邊只能是變量名字，而不是表達式，例如3m是錯誤的賦值號左右不能對換，賦值語句是將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量，例如Yx，表示用x的值替代變量Y的原先的取值，不能改寫為xY.因為后

5、者表示用Y的值替代變量x的值在一個賦值語句中只能給一個變量賦值，不能出現(xiàn)一個或多個“”雙基自測1(人教A版教材習題改編)關于程序框圖的圖形符號的理解，正確的有()任何一個程序框圖都必須有起止框；輸入框只能在開始框之后，輸出框只能放在結束框之前；判斷框是唯一具有超過一個退出點的圖形符號；對于一個程序框圖來說，判斷框內(nèi)的條件是唯一的A1個 B2個 C3個 D4個解析任何一個程序都有開始和結束，因而必須有起止框；輸入和輸出可以放在算法中任何需要輸入、輸出的位置；判斷框內(nèi)的條件不是唯一的，如ab，亦可寫為ab.故只有對答案B2.程序框圖如圖所示：如果輸入x5，則輸出結果為()A109 B325C973

6、 D2 917解析第1次運行后，x53213200，第2次運行后，x133237200，第3次運行后，x3732109200，第4次運行后，x10932325200，故輸出結果為325.答案B3.當a1，b3時，執(zhí)行完如圖的一段程序后x的值是()A1 B3C4 D2解析13，x134.答案C4(2011天津)閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出i的值為()A3 B4 C5 D6解析因為該程序框圖執(zhí)行4次后結束，所以輸出的i的值等于4，故選擇B.答案B5(2011湖南)若執(zhí)行如圖所示的框圖，輸入x11，x22，x33，eq xto(x)2，則輸出的數(shù)等于_解析算法的功能是求解三個數(shù)x1，x

7、2，x3的方差，輸出的是Seq f(122222322,3)eq f(2,3).答案eq f(2,3)考向一算法的設計【例1】已知點P(x0，y0)和直線l：AxByC0，求點P(x0，y0)到直線l的距離d，寫出其算法并畫出程序框圖審題視點 利用點到直線的距離公式可寫出算法，而程序框圖利用順序結構比較簡單解算法如下： 程序框圖：第一步，輸入x0，y0及直線方程的系數(shù)A，B，C.第二步，計算Z1Ax0By0C.第三步，計算Z2A2B2.第四步，計算deq f(|Z1|,r(Z2).第五步，輸出d. 給出一個問題，設計算法應注意：(1)認真分析問題，聯(lián)系解決此問題的一般數(shù)學方法；(2)綜合考慮此

8、類問題中可能涉及的各種情況；(3)將解決問題的過程劃分為若干個步驟；(4)用簡練的語言將各個步驟表示出來【訓練1】 已知函數(shù)yeq blcrc (avs4alco1(2，x0，,0，x0，,2，x0，)寫出求該函數(shù)函數(shù)值的算法及程序框圖解算法如下：第一步，輸入x.第二步，如果x0，則y2；如果x0，則y0；如果x0，則y2.第三步，輸出函數(shù)值y.相應的程序框圖如圖所示考向二基本邏輯結構【例2】(1)(2011福建)閱讀下圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果是()A3 B11 C38 D123(2)(2010北京)已知函數(shù)yeq blcrc (avs4alco1(log2x，x2，,2x

9、，x2.)如圖表示的是給定x的值，求其對應的函數(shù)值y的程序框圖處應填寫_；處應填寫_審題視點 (1)注意循環(huán)結構的三個方面：循環(huán)變量和初始條件、循環(huán)體、終止條件；(2)為分段函數(shù)的條件結構解析(1)a110，a122310，a3221110.故輸出結果為11.(2)由框圖可知只要滿足中的條件則對應的函數(shù)解析式為y2x，故此處應填寫x2，則處應填寫ylog2x.答案(1)B(2)x2？ylog2x 算法與程序框圖是算法初步的核心，其中條件結構與循環(huán)結構是高考命題的重點，尤其是循環(huán)結構的程序框圖是歷年命題的熱點要注意初始值的變化，分清計數(shù)變量與累加(乘)變量，掌握循環(huán)體等關鍵環(huán)節(jié)【訓練2】 (20

10、11遼寧)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的p是()A8 B5C3 D2解析第一次運行：p1，s1，t1，k2；第二次運行：p2，s1，t2，k3；第三次運行：p3，s2，t3，k4，不滿足k0)觀察：f1(x)f(x)eq f(x,x2)，f2(x)f(f1(x)eq f(x,3x4)，f3(x)f(f2(x)eq f(x,7x8)，f4(x)f(f3(x)eq f(x,15x16)，根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當nN*且n2時，fn(x)f(fn1(x)_.解析根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項依次是2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常數(shù)項為2n，分母中x的系數(shù)為2

11、n1，故fn(x)eq f(x,2n1x2n).答案eq f(x,2n1x2n).考向一歸納推理【例1】觀察下列等式：可以推測：132333n3_(nN*，用含有n的代數(shù)式表示)審題視點 第二列的右端分別是12,32,62,102,152，與第一列比較可得解析第二列等式的右端分別是11,33,66,1010,1515，1,3,6,10,15，第n項an與第n1項an1(n2)的差為：anan1n，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，各式相加得，ana123n，其中a11，an123n，即aneq f(nn1,2)，aeq oal(2,n)eq f(1,4)n2(n1)2.答案eq

12、 f(1,4)n2(n1)2 所謂歸納，就是由特殊到一般，因此在歸納時就要分析所給條件之間的變化規(guī)律，從而得到一般結論【訓練1】 已知經(jīng)過計算和驗證有下列正確的不等式：eq r(3)eq r(17)2eq r(10)，eq r(7.5)eq r(12.5)2eq r(10)，eq r(8r(2)eq r(12r(2)2eq r(10)，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請寫出一個對正實數(shù)m，n都成立的條件不等式_解析觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn)：不等式左邊兩個根式的被開方數(shù)的和等于20，不等式的右邊都是2eq r(10)，因此對正實數(shù)m，n都成立的條件不等式是：若m，nR，則當mn20時，有eq r(m)eq

13、r(n)2eq r(10).答案若m，nR，則當mn20時，有eq r(m)eq r(n)2eq r(10)考向二類比推理【例2】在平面幾何里，有“若ABC的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為SABCeq f(1,2)(abc)r”，拓展到空間，類比上述結論，“若四面體ABCD的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為_”審題視點 注意發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律總結出共性加以推廣，或將結論類比到其他方面，得出結論解析三角形的面積類比為四面體的體積，三角形的邊長類比為四面體四個面的面積，內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑二維圖形中eq f(1,2)類比為三維

14、圖形中的eq f(1,3)，得V四面體ABCDeq f(1,3)(S1S2S3S4)r.答案V四面體ABCDeq f(1,3)(S1S2S3S4)r. (1)類比是從已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，是以舊有的認識為基礎，類比出新的結果；(2)類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性；(3)類比的結果是猜測性的，不一定可靠，但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能【訓練2】 已知命題：“若數(shù)列an為等差數(shù)列，且ama，anb(mn，m，nN*)，則amneq f(bnam,nm)”現(xiàn)已知數(shù)列bn(bn0，nN*)為等比數(shù)列，且bma，bnb(mn，m，nN*)，若類比上述結論，則可得到bm

15、n_.答案aeq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)eq f(n,nm)考向三演繹推理【例3】數(shù)列an的前n項和記為Sn，已知a11，an1eq f(n2,n)Sn(nN)證明：(1)數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)是等比數(shù)列；(2)Sn14an.審題視點 在推理論證過程中，一些稍復雜一點的證明題常常要由幾個三段論才能完成大前提通常省略不寫，或者寫在結論后面的括號內(nèi)，小前提有時也可以省略，而采取某種簡明的推理模式證明(1)an1Sn1Sn，an1eq f(n2,n)Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.eq f(Sn1,n1)2eq

16、 f(Sn,n)，(小前提)故eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列(結論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)(2)由(1)可知eq f(Sn1,n1)4eq f(Sn1,n1)(n2)，Sn14(n1)eq f(Sn1,n1)4eq f(n12,n1)Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)對于任意正整數(shù)n，都有Sn14an.(結論)(第(2)問的大前提是第(1)問的結論以及題中的已知條件) 演繹推理是從一般到特殊的推理；其一般形式是三段論，應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，如

17、果前提是顯然的，則可以省略【訓練3】 已知函數(shù)f(x)eq f( 2x1,2x1)(xR)(1)判定函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)判定函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性，并證明解(1)對xR有xR，并且f(x)eq f(2x1,2x1)eq f(12x,12x)eq f(2x1,2x1)f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)(2)法一f(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：任取x1，x2R，并且x1x2，f(x1)f(x2)eq f(2x11,2x11)eq f(2x21,2x21)eq f(2x112x212x212x11,2x112x21)eq f(22x12x2,2x112x21).x1x2，2x12x20，即

18、2x12x20，又2x110,2x210.eq f(22x12x2,2x112x21)0.f(x1)f(x2)f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)法二f(x)eq f(2x1ln x,2x12)0f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)難點突破25高考中歸納推理與類比推理問題的求解策略從近兩年新課標高考試題可以看出高考對歸納推理與類比推理的考查主要以填空題的形式出現(xiàn)，難度為中等，常常以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)、數(shù)列等為載體來考查歸納推理與類比推理一、歸納推理【示例】 (2011陜西)觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第五個等式應為_二、類比推理【示例】 設等差數(shù)列an的前

19、n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結論有：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，則T4，_，_，eq f(T16,T12)成等比數(shù)列第2講直接證明與間接證明【高考會這樣考】1在歷年的高考中，證明方法是?？純?nèi)容，考查的主要方式是對它們原理的理解和用法難度多為中檔題，也有高檔題2從考查形式上看，主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列等知識為載體，考查綜合法、分析法、反證法等方法【復習指導】在備考中，對本部分的內(nèi)容，要抓住關鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點，把握三種方法在解決問題中的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決的問題的類型，同時也要

20、加強訓練，達到熟能生巧，有效運用它們的目的基礎梳理1直接證明(1)綜合法定義：利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法框圖表示：eq x(PQ1)eq x(Q1Q2)eq x(Q2Q3)eq x(QnQ)(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結論)(2)分析法定義：從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止這種證明方法叫做分析法框圖表示：eq x(QP1)eq x(P1P2)eq x(P2P3)eq x(

21、得到一個明顯成立的條件).2間接證明一般地，由證明pq轉向證明：綈qrt.t與假設矛盾，或與某個真命題矛盾從而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法一個關系綜合法與分析法的關系分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件、基礎知識之間的關系，找到解決問題的思路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用兩個防范(1)利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的(2)用分析法證明數(shù)學問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個明顯成立的結論P

22、，再說明所要證明的數(shù)學問題成立雙基自測1(人教A版教材習題改編)peq r(ab)eq r(cd)，qeq r(manc)eq r(f(b,m)f(d,n)(m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大小為()Apq Bpq Cpq D不確定解析q eq r(abf(mad,n)f(nbc,m)cd)eq r(ab2r(abcd)cd)eq r(ab)eq r(cd)p，當且僅當eq f(mad,n)eq f(abc,m)時取等號答案B2設alg 2lg 5，bex(x0)，則a與b大小關系為()Aab BabCab Dab解析alg 2lg 51，bex，當x0時，0b1.ab.答案A3否

23、定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設為()Aa，b，c都是奇數(shù)Ba，b，c都是偶數(shù)Ca，b，c中至少有兩個偶數(shù)Da，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)解析a，b，c恰有一個偶數(shù)，即a，b，c中只有一個偶數(shù)，其反面是有兩個或兩個以上偶數(shù)或沒有一個偶數(shù)即全都是奇數(shù)，故只有D正確答案D4(2012廣州調(diào)研)設a、bR，若a|b|0，則下列不等式中正確的是()Aba0 Ba3b30 Ca2b20 Dba0解析a|b|0，|b|a，a0，aba，ba0.答案D5在用反證法證明數(shù)學命題時，如果原命題的否定事項不止一個時，必須將結論的否定情況逐一駁倒，才能肯定原命題的正確例如：在ABC中，若AB

24、AC，P是ABC內(nèi)一點，APBAPC，求證：BAPCAP，用反證法證明時應分：假設_和_兩類答案BAPCAPBAPCAP考向一綜合法的應用【例1】設a，b，c0，證明：eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)abc.審題視點 用綜合法證明，可考慮運用基本不等式證明a，b，c0，根據(jù)均值不等式，有eq f(a2,b)b2a，eq f(b2,c)c2b，eq f(c2,a)a2c.三式相加：eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)abc2(abc)當且僅當abc時取等號即eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)abc. 綜合法是一種由因導

25、果的證明方法，即由已知條件出發(fā)，推導出所要證明的等式或不等式成立因此，綜合法又叫做順推證法或由因導果法其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結論的正確性【訓練1】 設a，b為互不相等的正數(shù)，且ab1，證明：eq f(1,a)eq f(1,b)4.證明eq f(1,a)eq f(1,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)(ab)2eq f(b,a)eq f(a,b)224.又a與b不相等故eq f(1,a)eq f(1,b)4.考向二分析法的應用【例2】已知m0，a，bR，求證：eq blc(rc)(avs4alco1(f(

26、amb,1m)2eq f(a2mb2,1m).審題視點 先去分母，合并同類項，化成積式證明m0，1m0.所以要證原不等式成立，只需證明(amb)2(1m)(a2mb2)，即證m(a22abb2)0，即證(ab)20，而(ab)20顯然成立，故原不等式得證 逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件，正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵【訓練2】 已知a，b，m都是正數(shù)，且ab.求證：eq f(am,bm)eq f(a,b).證明要證明eq f(am,bm)eq f(a,b)，由于a，b，m都是正數(shù)，只需證a(bm)b(am)，只需證ambm，由于m0，所以，只需

27、證ab.已知ab，所以原不等式成立(說明：本題還可用作差比較法、綜合法、反證法)考向三反證法的應用【例3】已知函數(shù)f(x)axeq f(x2,x1)(a1)(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)用反證法證明f(x)0沒有負根審題視點 第(1)問用單調(diào)增函數(shù)的定義證明；第(2)問假設存在x00后，應推導出x0的范圍與x00矛盾即可證明(1)法一任取x1，x2(1，)，不妨設x1x2，則x2x10，ax2x11，且ax10.所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因為x110，x210，所以eq f(x22,x21)eq f(x12,x11)eq f(x22x11x12x21,x2

28、1x11)eq f(3x2x1,x21x11)0，于是f(x2)f(x1)ax2ax1eq f(x22,x21)eq f(x12,x11)0，故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)法二f(x)axln aeq f(3,x12)0，f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)假設存在x00(x01)滿足f(x0)0，則ax0eq f(x02,x01)，又0ax01，所以0eq f(x02,x01)1，即eq f(1,2)x02，與x00(x01)假設矛盾故f(x0)0沒有負根 當一個命題的結論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證，反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：

29、與已知條件矛盾；與假設矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與事實矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學證明中的一件有力武器【訓練3】 已知a，b為非零向量，且a，b不平行，求證：向量ab與ab不平行證明假設向量ab與ab平行，即存在實數(shù)使ab(ab)成立，則(1)a(1)b0，a，b不平行，eq blcrc (avs4alco1(10，,10，)得eq blcrc (avs4alco1(1，,1，)所以方程組無解，故假設不成立，故原命題成立規(guī)范解答24怎樣用反證法證明問題【問題研究】 反證法是主要的間接證明方法，其基本特點是反設結論，導出矛盾，當問題從正面證明無法入手時，就可

30、以考慮使用反證法進行證明.在高考中，對反證法的考查往往是在試題中某個重要的步驟進行.【解決方案】 首先反設，且反設必須恰當，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.【示例】(本題滿分12分)(2011安徽)設直線l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中實數(shù)k1，k2滿足k1k220.(1)證明l1與l2相交；(2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2y21上 第(1)問采用反證法，第(2)問解l1與l2的交點坐標，代入橢圓方程驗證解答示范 證明(1)假設l1與l2不相交，則l1與l2平行或重合，有k1k2，(2分)代入k1k220，得keq oal(2,1)20.(4分)這與k1為實數(shù)的事實相矛盾，從而k

31、1k2，即l1與l2相交(6分)(2)由方程組eq blcrc (avs4alco1(yk1x1，,yk2x1，)解得交點P的坐標(x，y)為eq blcrc (avs4alco1(xf(2,k2k1)，,yf(k2k1,k2k1).)(9分)從而2x2y22eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,k2k1)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(k2k1,k2k1)2eq f(8koal(2,2)koal(2,1)2k1k2,koal(2,2)koal(2,1)2k1k2)eq f(koal(2,1)koal(2,2)4,koal(2,1)koal(2,2)4)1，此即表明

32、交點P(x，y)在橢圓2x2y21上(12分) 用反證法證明不等式要把握三點：(1)必須先否定結論，即肯定結論的反面；(2)必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證；(3)推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實矛盾等，但是推導出的矛盾必須是明顯的【試一試】 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列嘗試解答(1)當n1時，a1S12a12，則a11.又anSn2，所以an1Sn12，兩式相減得an1eq f(1,2)an，所以an是首項為1，

33、公比為eq f(1,2)的等比數(shù)列，所以aneq f(1,2n1).(2)反證法：假設存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，則2eq f(1,2q)eq f(1,2p)eq f(1,2r)，所以22rq2rp1.又因為pqr，所以rq，rpN*.所以式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立，所以假設不成立，原命題得證第4講數(shù)學歸納法【高考會這樣考】1數(shù)學歸納法的原理及其步驟2能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題【復習指導】復習時要抓住數(shù)學歸納法證明命題的原理，明晰其內(nèi)在的聯(lián)系，把握數(shù)學歸納法證明命題的一般步驟，熟知每一步之間的區(qū)別聯(lián)系，熟悉數(shù)學歸納法

34、在證明命題中的應用技巧基礎梳理1歸納法由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法，通常叫做歸納法根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法2數(shù)學歸納法(1)數(shù)學歸納法：設Pn是一個與正整數(shù)相關的命題集合，如果：證明起始命題P1(或P0)成立；在假設Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以斷定Pn對一切正整數(shù)成立(2)用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題時，其步驟為：歸納奠基：證明當取第一個自然數(shù)n0時命題成立；歸納遞推：假設nk，(kN*，kn0)時，命題成立，證明當nk1時，命題成立；由得出結論 兩個防范數(shù)學歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關的命題的證

35、明方法，第一步是遞推的“基礎”，第二步是遞推的“依據(jù)”，兩個步驟缺一不可，在證明過程中要防范以下兩點：第一步驗證nn0時，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值(2)第二步中，歸納假設起著“已知條件”的作用，在證明nk1時，命題也成立的過程中一定要用到它，否則就不是數(shù)學歸納法第二步關鍵是“一湊假設，二湊結論”三個注意運用數(shù)學歸納法應注意以下三點：(1)nn0時成立，要弄清楚命題的含義(2)由假設nk成立證nk1時，要推導詳實，并且一定要運用nk成立的結論(3)要注意nk到nk1時增加的項數(shù)雙基自測1在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為eq f(1,2)n(n3)條時，第一步檢驗第一個

36、值n0 等于()A1 B2 C3 D0解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形答案C2利用數(shù)學歸納法證明不等式1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,2n1)f(n)(n2，nN*)的過程，由nk到nk1時，左邊增加了()A1項 Bk項 C2k1項 D2k項解析1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,2k11)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,3)f(1,2k1)eq f(1,2k)eq f(1,2k1)eq f(1,2k11)，共增加了2k項，故選D.答案D3用數(shù)學歸納法證明：“1aa2an1eq f(1an2,1a)(a1，nN*)”在驗證n1時

37、，左端計算所得的項為()A1 B1a C1aa2 D1aa2a3答案C4某個命題與自然數(shù)n有關，若nk(kN*)時命題成立，那么可推得當nk1時該命題也成立，現(xiàn)已知n5時，該命題不成立，那么可以推得()An6時該命題不成立 Bn6時該命題成立Cn4時該命題不成立 Dn4時該命題成立解析法一由nk(kN*)成立，可推得當nk1時該命題也成立因而若n4成立，必有n5成立現(xiàn)知n5不成立，所以n4一定不成立法二其逆否命題“若當nk1時該命題不成立，則當nk時也不成立”為真，故“n5時不成立”“n4時不成立”答案C5用數(shù)學歸納法證明不等式eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,nn)eq

38、f(13,24)的過程中，由nk推導nk1時，不等式的左邊增加的式子是_解析不等式的左邊增加的式子是eq f(1,2k1)eq f(1,2k2)eq f(1,k1)eq f(1,2k12k2)，故填eq f(1,2k12k2).答案eq f(1,2k12k2)考向一用數(shù)學歸納法證明等式【例1】用數(shù)學歸納法證明：tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan neq f(tan n,tan )n(nN*，n2)審題視點 注意第一步驗證的值，在第二步推理證明時要注意把假設作為已知證明(1)當n2時，右邊eq f(tan 2,tan )2eq f(2,1tan2)2eq f(2tan2,

39、1tan2)tan tan 2左邊，等式成立(2)假設當nk(kN*且k2)時，等式成立，即tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan keq f(tan k,tan )k，那么當nk1時，tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)eq f(tan k,tan )ktan ktan(k1)eq f(tan k,tan )1tan ktan(k1)(k1)eq f(tan k,tan )eq f(tank1tan k,tank1k)(k1)eq f(tank1,tan )(k1)這就是說，當nk1時等式也成立由(1)(2)知，對任何nN

40、*且n2，原等式成立 用數(shù)學歸納法證明等式時，要注意第(1)步中驗證n0的值，如本題要取n02，在第(2)步的證明中應在歸納假設的基礎上正確地使用正切的差角公式【訓練1】 用數(shù)學歸納法證明：對任意的nN*，eq f(1,13)eq f(1,35)eq f(1,2n12n1)eq f(n,2n1).證明(1)當n1時，左邊eq f(1,13)eq f(1,3)，右邊eq f(1,211)eq f(1,3)，左邊右邊，所以等式成立(2)假設當nk(kN*且k1)時等式成立，即有eq f(1,13)eq f(1,35)eq f(1,2k12k1)eq f(k,2k1)，則當nk1時，eq f(1,1

41、3)eq f(1,35)eq f(1,2k12k1)eq f(1,2k12k3)eq f(k,2k1)eq f(1,2k12k3)eq f(k2k31,2k12k3)eq f(2k23k1,2k12k3)eq f(k1,2k3)eq f(k1,2k11)，所以當nk1時，等式也成立由(1)(2)可知，對一切nN*等式都成立考向二用數(shù)學歸納法證明整除問題【例2】是否存在正整數(shù)m使得f(n)(2n7)3n9對任意自然數(shù)n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并證明你的結論；若不存在，說明理由審題視點 觀察所給函數(shù)式，湊出推理要證明所需的項解由f(n)(2n7)3n9得，f(1)36，f(2)33

42、6，f(3)1036，f(4)3436，由此猜想：m36.下面用數(shù)學歸納法證明：(1)當n1時，顯然成立；(2)假設nk(kN*且k1)時，f(k)能被36整除，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；當nk1時，2(k1)73k19(2k7)3k1272723k193(2k7)3k918(3k11)，由于3k11是2的倍數(shù)，故18(3k11)能被36整除，這就是說，當nk1時，f(n)也能被36整除由(1)(2)可知對一切正整數(shù)n都有f(n)(2n7)3n9能被36整除，m的最大值為36. 證明整除問題的關鍵“湊項”，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段，湊出nk時的情形，從而利用歸納假設

43、使問題獲證【訓練2】 用數(shù)學歸納法證明an1(a1)2n1(nN*)能被a2a1整除證明(1)當n1時，a2(a1)a2a1可被a2a1整除(2)假設nk(kN*且k1)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當nk1時，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假設可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1時命題也成立，對任意nN*原命題成立考向三用數(shù)學歸納法證明不等式【例3】用數(shù)學

44、歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,5)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n1)eq f(r(2n1),2)均成立審題視點 本題用數(shù)學歸納法證明不等式，在推理過程中用放縮法，要注意放縮的“度”證明(1)當n2時，左邊1eq f(1,3)eq f(4,3)；右邊eq f(r(5),2).左邊右邊，不等式成立(2)假設nk(k2，且kN*)時不等式成立，即eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,5)e

45、q blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2k1)eq f(r(2k1),2).則當nk1時，eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,5)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2k1)eq blcrc(avs4alco1(1f(1,2k11)eq f(r(2k1),2)eq f(2k2,2k1)eq f(2k2,2r(2k1)eq f(r(4k28k4),2r(2k1)eq f(r(4k28k3),2 r(2k1)eq f(r(2k3)r(2k1),2 r(2k1)eq f(r(2k11),2).當nk1

46、時，不等式也成立由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立 在由nk到nk1的推證過程中，應用放縮技巧，使問題得以簡化，用數(shù)學歸納法證明不等式問題時，從nk到nk1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等【訓練3】 已知函數(shù)f(x)eq f(1,3)x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，an1f(an1)試比較eq f(1,1a1)eq f(1,1a2)eq f(1,1a3)eq f(1,1an)與1的大小，并說明理由解f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函數(shù)g(x)(x1)21x22x在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，于是由a11，得a2(a

47、11)21221，進而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想：當n1時，a12111，結論成立；假設nk(k1且kN*)時結論成立，即ak2k1，則當nk1時，由g(x)(x1)21在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1時，結論也成立由、知，對任意nN*，都有an2n1.即1an2n，eq f(1,1an)eq f(1,2n)，eq f(1,1a1)eq f(1,1a2)eq f(1,1a3)eq f(1,1an)eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,23)eq f(1,2n)1eq blc(rc)(

48、avs4alco1(f(1,2)n1.考向四歸納、猜想、證明【例4】數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*)(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想審題視點 利用Sn與an的關系式求出an的前幾項，然后歸納出an，并用數(shù)學歸納法證明解(1)當n1時，a1S12a1，a11.當n2時，a1a2S222a2，a2eq f(3,2).當n3時，a1a2a3S323a3，a3eq f(7,4).當n4時，a1a2a3a4S424a4，a4eq f(15,8).由此猜想aneq f(2n1,2n1)(nN*)(2)證明當n1時，左邊a11，右邊eq f(2

49、11,20)1，左邊右邊，結論成立假設nk(k1且kN*)時，結論成立，即akeq f(2k1,2k1)，那么nk1時，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak，ak1eq f(2ak,2)eq f(2f(2k1,2k1),2)eq f(2k11,2k)，這表明nk1時，結論成立，由知猜想aneq f(2n1,2n1)成立 (1)歸納、猜想、證明是高考重點考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例從特例入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律(2)數(shù)列是定義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學歸納法所運用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實質(zhì)上

50、是一致的，數(shù)列中有不少問題常用數(shù)學歸納法解決【訓練4】 由下列各式1eq f(1,2)，1eq f(1,2)eq f(1,3)1，1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,5)eq f(1,6)eq f(1,7)eq f(3,2)，1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,15)2，1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,31)eq f(5,2)，你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明答案猜想：第n個不等式為1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,2n1)eq f(n,2)(nN*)(1)當n1時，1eq f(1,2)，猜想正確(2)

51、假設當nk(k1且kN*)時猜想正確，即1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,2k1)eq f(k,2)，那么，當nk1時，1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,2k1)eq f(1,2k)eq f(1,2k1)eq f(1,2k11)eq f(k,2)eq f(1,2k)eq f(1,2k1)eq f(1,2k11)eq f(k,2)eq f(1,2k1)eq f(1,2k1)eq f(1,2k1)eq f(k,2)eq f(2k,2k1)eq f(k,2)eq f(1,2)eq f(k1,2).即當nk1時，不等式成立對于任意nN*，不等式恒成立閱卷報告20由于

52、方法選擇不當導致失誤【問題診斷】 用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的一些等式命題時，關鍵在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，由nk到nk1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項，其難點在于歸納假設后，如何推證對下一個正整數(shù)值命題也成立.【防范措施】 把歸納假設當做已知條件參加推理.明確對下一個正整數(shù)值命題成立的目標，通過適當?shù)淖儞Q達到這個目標，這里可以使用綜合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用數(shù)學歸納法.【示例】 在數(shù)列an、bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測an，

53、bn的通項公式，并證明你的結論；(2)證明：eq f(1,a1b1)eq f(1,a2b2)eq f(1,anbn)eq f(5,12).實錄(1)由條件得2bnanan1，aeq oal(2,n1)bnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測ann(n1)，bn(n1)2.用數(shù)學歸納法證明：當n1時，由上可得結論成立假設當nk(k1且kN*)時，結論成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么當nk1時，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1eq f(aoal(2,k1),bk)(k2)2，所以當nk1時，結論也成立由，可知ann(

54、n1)，bn(n1)2對一切正整數(shù)都成立錯因第二問由于不等式的右端為常數(shù)，結論本身是不能用數(shù)學歸納法證明的，可考慮用放縮法證明，也可考慮加強不等式后，用數(shù)學歸納法證明(2)當n1時eq f(1,a1b1)eq f(1,6)eq f(5,12)假設nk(kN*)時不等式成立即eq f(1,a1b1)eq f(1,a2b2)eq f(1,akbk)eq f(5,12)當nk1時eq f(1,a1b1)eq f(1,a2b2)eq f(1,akbk)eq f(1,ak1bk1)eq f(5,12)eq f(1,ak1bk1)到此無法用數(shù)學歸納法證明正解(1)用實錄(1)(2)證明：eq f(1,a1

55、b1)eq f(1,6)eq f(5,12).n2時，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.故eq f(1,a1b1)eq f(1,a2b2)eq f(1,anbn)eq f(1,6)eq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,23)f(1,34)f(1,nn1)eq f(1,6)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)f(1,3)f(1,4)f(1,n)f(1,n1)eq f(1,6)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,n1)eq f(1,6)eq f(1,4)eq f(5

56、,12).綜上，原不等式成立第5講復 數(shù)【高考會這樣考】復數(shù)的基本概念、復數(shù)相等的充要條件以及復數(shù)的代數(shù)運算是高考的熱點，并且一般在前三題的位置，主要考查對復數(shù)概念的理解以及復數(shù)的加減乘除四則運算，難度較小【復習指導】1復習時要理解復數(shù)的相關概念如實部、虛部、純虛數(shù)、共軛復數(shù)等，以及復數(shù)的幾何意義2要把復數(shù)的基本運算作為復習的重點，尤其是復數(shù)的四則運算與共軛復數(shù)的性質(zhì)等因考題較容易，所以重在練基礎基礎梳理1復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)的概念形如abi(a，bR)的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部若b0，則abi為實數(shù)，若b0，則abi為虛數(shù)，若a0且b0，則abi為純虛數(shù)(2)復數(shù)相等：a

57、bicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共軛復數(shù)：abi與cdi共軛ac；bd(a，b，c，dR)(4)復數(shù)的模向量eq o(OZ,sup6()的模r叫做復數(shù)zabi(a，bR)的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|eq r(a2b2).2復數(shù)的四則運算設z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：eq f(z1,z2)eq f(abi,cdi)eq f(abicdi,cdicdi)eq f(acbdbcadi,c2d2)(cdi0)一條規(guī)律任意兩個復數(shù)全是實數(shù)時能比較大小，其他情況不能比較大小兩條性質(zhì)(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(各式中nN)(2)(1i)22i，eq f(1i,1i)i，eq f(1i,1i)i.雙基自測1(人教A版教材習題改編)復數(shù)eq f(i,12i)(i是虛數(shù)單位)的實部是()A.eq f(1,5) Beq f(1,5) Ceq f(1,5)i Deq f(2,5)解析eq f(i,