《無(wú)窮集合論的創(chuàng)立》課件-優(yōu)質(zhì)公開課-人教A版選修3-1精品

1、無(wú)窮集合論的創(chuàng)立課件-優(yōu)質(zhì)公開課-人教A版選修3-1精品無(wú)窮集合論的創(chuàng)立課件-優(yōu)質(zhì)公開課-人教A版選修3-1精品1.問(wèn)題的引入有限和無(wú)窮香迪悖論小說(shuō)香迪傳的講述者香迪曾說(shuō)自己用了兩年時(shí)間來(lái)記錄其生活中頭兩天的歷史，然后香迪抱怨說(shuō)，按照這種速度他永遠(yuǎn)也寫不完自己的傳記。在這一情節(jié)啟發(fā)下，數(shù)學(xué)家羅素巧妙利用“無(wú)限未來(lái)”的概念提出了香迪悖論：如果香迪可以永遠(yuǎn)活下去，而且堅(jiān)持不懈的寫下去，那么，即是他的一生始終像開端那樣充滿需要記錄的內(nèi)容，他的傳記也不會(huì)遺留任何部分。羅素的論證大致如下：假定香迪生于1700年1月1日，而寫作開始于1720年1月1日。其寫作進(jìn)程如下：1.問(wèn)題的引入有限和無(wú)窮香迪悖論寫作

2、的年份 涵蓋的事件 1720 1700年1月1日 1721 1700年1月2日 1722 1700年1月3日 但是，每一天對(duì)應(yīng)于一年，每一年對(duì)應(yīng)于一天。對(duì)于任何一天，在未來(lái)都由指定的一年去記錄它，絕無(wú)例外?！跋愕系膫饔洸粫?huì)遺漏任何部分?！?羅素的香迪悖論在常識(shí)看來(lái)不可思議。事實(shí)上，當(dāng)我們逐漸了解集合論中的無(wú)窮觀點(diǎn)后，就可以明白這一論證是正確的，并無(wú)荒謬之處。寫作的年份 無(wú)窮集合的概念集合論的基礎(chǔ)集合論的意義無(wú)窮集合的概念無(wú)窮集合（元素個(gè)數(shù)無(wú)窮）一個(gè)“矛盾”的集合Aristotle（亞里士多德）考慮過(guò)無(wú)窮集合，他認(rèn)為潛在的無(wú)窮（大）需要和真實(shí)的無(wú)窮（大）加以區(qū)別。微積分重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 微積分理論遇

3、到嚴(yán)重的邏輯困難 對(duì)微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)密論證成為集合論產(chǎn)生的一個(gè)重要原因 2.無(wú)窮集合的概念無(wú)窮集合（元素個(gè)數(shù)無(wú)窮）一個(gè)“矛盾”的集合2.無(wú)窮集合的在重建微積分理論的過(guò)程中，Bolzano（波爾查諾）是第一個(gè)朝著建立集合的明 確理論方向采取了積極步驟的人，他維 護(hù)了集合的存在，并強(qiáng)調(diào)了兩個(gè)集合等價(jià)的概念，即兩個(gè)集合元素間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。他注意到無(wú)限集合的部分或子集可以等價(jià)于整體，例如0到5之間的實(shí)數(shù)可以通過(guò)公式 與0到12間的實(shí)數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，雖然和第二個(gè)數(shù)集包含了第一個(gè)數(shù)集。但是他同樣也遇到了一些問(wèn)題在他看來(lái)屬于悖論的，因此他認(rèn)為這些不必深入研究。 3.集合論的基礎(chǔ)在重建微積分理論的過(guò)程中，Bo

4、lzano 3.集合論的基礎(chǔ) x y 00 1 2.4 2.5 6 0.5 1.2 5 12 x 隨著實(shí)數(shù)不可列性質(zhì)的確立，康托又提出一個(gè)新的，更大膽的問(wèn)題。1874年，他考慮了能否建立平面上的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)。從直觀上說(shuō)，平面上的點(diǎn)顯然要比線上的點(diǎn)要多得多?？低凶约浩鸪跻彩沁@樣認(rèn)識(shí)的。但三年后，康托宣布：平面和直線之間可以建立一一對(duì)應(yīng)，證明簡(jiǎn)述為只需證明區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點(diǎn)一樣多即可。 在區(qū)間(0,1)內(nèi)的點(diǎn)都可以表示成一個(gè)無(wú)窮小數(shù)，比如0.2574892 如果是1/4，可以表示成0.25000000。 以0.257489257621為例 我們把它的奇數(shù)位和偶數(shù)位分別

5、取出來(lái) 得到兩個(gè)新的數(shù)0.278272和0.549561 無(wú)窮集合論的創(chuàng)立課件-優(yōu)質(zhì)公開課-人教A版選修3-1精品 1845.3.31918.1.6Georg Cantor 集合論的創(chuàng)立者是Georg Cantor， Cantor對(duì)集合所下的定義是一些確定 的，不同東西的總體，這些東西使人 能意識(shí)到并判斷一個(gè)給定的東西是否 屬于這個(gè)總體。對(duì)Cantor來(lái)說(shuō)，如果 一個(gè)集合能夠和它的一部分構(gòu)成一一 對(duì)應(yīng)，它就是無(wú)窮的。當(dāng)他把全體自 然數(shù)看作一個(gè)集合時(shí),他是把無(wú)限的整體作為了一個(gè)構(gòu)造完成了的東西,這樣他就肯定了實(shí)無(wú)窮。他定義了基數(shù),可數(shù)集合（凡是能和自然數(shù)集一一對(duì)應(yīng)的集合都稱作可數(shù)集，也叫可列集）

6、等概念。 1845.3.31918.1.6Georg 過(guò)去數(shù)學(xué)家認(rèn)為靠得住的只有有限，而無(wú)窮最多只是模模糊糊的一個(gè)記號(hào)。而康托爾把無(wú)窮分成許多“層次”。在最初階段，康托爾主要證明了無(wú)窮之間也有差別，既存在可數(shù)的無(wú)窮，比如自然數(shù)集，也存在那種像實(shí)數(shù)集合那樣不可數(shù)的無(wú)窮。我們不妨看一些有關(guān)這些無(wú)窮集合分類的最基本的證明，了解一些最基本的數(shù)學(xué)思想 。首先康托爾證明了有理數(shù)是可數(shù)集隨后他又證明了實(shí)數(shù)是不可數(shù)集過(guò)去數(shù)學(xué)家認(rèn)為靠得住的只有有限，而無(wú)窮最多只是模模糊糊的一個(gè) 實(shí)數(shù)不可數(shù)集（局部化思想） 在（0，1）上考慮 實(shí)數(shù)可表示為 0. 為非負(fù)整數(shù) 1 0. 2 0. 3 0. 令 b=0. 當(dāng) =5，

7、 =4； 當(dāng) 5 =5。 b=0. = 矛盾！ 反證法 反證法隨著實(shí)數(shù)不可列性質(zhì)的確立，康托又提出一個(gè)新的，更大膽的問(wèn)題。1874年，他考慮了能否建立平面上的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)。從直觀上說(shuō)，平面上的點(diǎn)顯然要比線上的點(diǎn)要多得多?？低凶约浩鸪跻彩沁@樣認(rèn)識(shí)的。但三年后，康托宣布：平面和直線之間可以建立一一對(duì)應(yīng)，證明簡(jiǎn)述為只需證明區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點(diǎn)一樣多即可。 在區(qū)間(0,1)內(nèi)的點(diǎn)都可以表示成一個(gè)無(wú)窮小數(shù)，比如0.2574892 如果是1/4，可以表示成0.25000000。 以0.257489257621為例 我們把它的奇數(shù)位和偶數(shù)位分別取出來(lái) 得到兩個(gè)新的數(shù)0.27827

8、2和0.549561 無(wú)窮集合論的創(chuàng)立課件-優(yōu)質(zhì)公開課-人教A版選修3-1精品以它們作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的點(diǎn)是單位正方形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn) 。所以區(qū)間(0,1)內(nèi)的任意點(diǎn)都可以在單位正方形內(nèi)找到唯一的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。 反過(guò)來(lái)，單位正方形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)， (0.278272,0.549561) 可以對(duì)應(yīng)為一個(gè)數(shù)0.257489257621， 即單位正方形內(nèi)的任意一個(gè)點(diǎn)都可以在區(qū)間(0,1)上找到唯一的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 。所以區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點(diǎn)一樣多 同理可證直線和平面上的點(diǎn)一樣多這一結(jié)果是出人意外的。就連康托本人也覺(jué)得“簡(jiǎn)直不能相信”。然而這又是明擺著的事實(shí)，它說(shuō)明直觀是靠不住的，只有靠理性才能發(fā)現(xiàn)真理，避免謬誤。以它們作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的點(diǎn)是單位正方形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn) 。所以區(qū)集合論基礎(chǔ)我們知道，在有限集合中，兩個(gè)元素是可以比較大小的，自然數(shù)集中的元素是同樣可以比較大小的。在一般的無(wú)限集合中是怎樣的情況呢？康托爾系統(tǒng)地研究了序數(shù)理論，提出了良序原理，即可以給任何集合內(nèi)的所有元素定義一個(gè)大小關(guān)系，使得任意兩個(gè)元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素。集合論本身出現(xiàn)矛盾 20世紀(jì)集合論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的出發(fā)點(diǎn) 集合論基礎(chǔ)從無(wú)窮集合發(fā)展起來(lái)的集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論。它的概念和方法已經(jīng)滲透到代數(shù)、拓?fù)浜头治龅仍S多數(shù)學(xué)分支以及物理學(xué)和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)等一些自然學(xué)科中，為這些學(xué)科提供了