2021考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

1、 5/52021考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析 2002年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)一試題 一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.) (1) ? +e x x dx 2ln = . (2)已知函數(shù)()y y x =由方程0162 =-+x xy e y 確定,則(0)y = . (3)微分方程02 =+y y y 滿足初始條件 00 1 1, 2 x x y y = 的特解是 . (4)已知實(shí)二次型3231212 32 22 1321444)(),(x x x x x x x x x a x x x f +=經(jīng)正交變換 x Py =可化成標(biāo)準(zhǔn)型216y f =

2、,則a = . (5)設(shè)隨機(jī)變量X 服從正態(tài)分布2 (,)(0)N ,且二次方程042 =+X y y 無(wú)實(shí)根的概率為 1 2 ,則 . 二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).) (1)考慮二元函數(shù)),(y x f 的下面4條性質(zhì): ),(y x f 在點(diǎn)),(00y x 處連續(xù); ),(y x f 在點(diǎn)),(00y x 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù); ),(y x f 在點(diǎn)),(00y x 處可微; ),(y x f 在點(diǎn)),(00y x 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 若用“P Q ?”表示可由性質(zhì)P 推出性質(zhì)Q ,則有

3、 (A ) ?. (B ) ?. (C ) ?. (D ) ?. (2)設(shè)0(1,2,3,)n u n =L ,且lim 1n n n u =,則級(jí)數(shù)11111(1)()n n n n u u +=+-+ (A ) 發(fā)散. (B ) 絕對(duì)收斂. (C ) 條件收斂. (D ) 收斂性根據(jù)所給條件不能判定. (3)設(shè)函數(shù)()y f x =在(0,)+內(nèi)有界且可導(dǎo),則 (A ) 當(dāng)0)(lim =+ x f x 時(shí),必有0)(lim =+ x f x . (B ) 當(dāng))(lim x f x + 存在時(shí),必有0)(lim =+ x f x . (C ) 當(dāng)0 lim ()0 x f x +=時(shí),必有

4、0 lim ()0 x f x + =. (D ) 當(dāng)0 lim ()x f x +存在時(shí),必有0 lim ()0 x f x + =. (4)設(shè)有三張不同平面的方程123i i i i a x a y a z b +=,3,2,1=i ,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為,則這三張平面可能的位置關(guān)系為 (5)設(shè)1X 和2X 是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量,它們的概率密度分別為1()f x 和2()f x , 分布函數(shù)分別為1()F x 和2()F x ,則 (A ) 1()f x 2()f x 必為某一隨機(jī)變量的概率密度. (B ) 1()f x 2()f x 必為某一隨

5、機(jī)變量的概率密度. (C ) 1()F x 2()F x 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù). (D ) 1()F x 2()F x 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù). 三、(本題滿分6分) 設(shè)函數(shù))(x f 在 0 x =的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且(0)0,(0)0f f ,若 ()(2)(0)af h bf h f +-在0h 時(shí)是比h 高階的無(wú)窮小,試確定b a ,的值. 四、(本題滿分7分) 已知兩曲線)(x f y =與? -=x t dt e y arctan 0 2 在點(diǎn)(0,0)處的切線相同,寫(xiě)出此切線方程,并求極限 )2(lim n nf n . 五、(本題滿分7分) 計(jì)算二重積分dx

6、dy e D y x ? ,max22 ,其中10,10|),(=y x y x D . 六、(本題滿分8分) 設(shè)函數(shù))(x f 在(,)-+內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),L 是上半平面(y 0)內(nèi)的有向分段光滑曲線, 其起點(diǎn)為(b a ,),終點(diǎn)為(d c ,).記 22211()()1,L x I y f xy dx y f xy dy y y =+-? (1)證明曲線積分I 與路徑L 無(wú)關(guān); (2)當(dāng)cd ab =時(shí),求I 的值. 七、(本題滿分7分) (1)驗(yàn)證函數(shù)3333 69()1()3!6!9!(3)!n x x y x x n =+ +- 4.依題意,有 1 ()4.2 P A P X

7、= 而 44141( ),P X P X -=-=- 即 414141(),(),0. 4.22 =?= 二、選擇題 (1)【分析】 這是討論函數(shù)(,)f x y 的連續(xù)性,可偏導(dǎo)性,可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系.我們知道,(,)f x y 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件,若(,)f x y 可微則必連續(xù),故選(A ). (2)【分析】 由1 lim 101n n u n n +=?充分大時(shí)即,N n N ?時(shí) 10n u ,且1lim 0,n n u +=不妨認(rèn)為,0,n n u ?因而所考慮級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),但不能保證 1 n u 的單調(diào)性. 按定義考察部分和 1 111 1111 1

8、111(1) ()(1)(1)n n n k k k n k k k k k k k S u u u u +=+=-+=-+- 1111 111(1)11(1)1(1)(),k n n n l k l k l n n u u u u u +=+-=-+-=+ ?原級(jí)數(shù)收斂. 再考察取絕對(duì)值后的級(jí)數(shù)1111 ()n n n u u =+ .注意1111 12,11n n n n u u n n n u u n n +=+?+ 11 n n =發(fā)散?1111()n n n u u =+發(fā)散.因此選(C ). (3)【分析】 證明(B )對(duì):反證法.假設(shè)lim ()0 x f x a + =,則由拉

9、格朗日中值定理, (2)()()()f x f x f x x -=+ (當(dāng)x +時(shí),+,因?yàn)?x x 上Pdx Qdy +?原函數(shù),即0(,)()xy x u x y f t dt y =+?. ?積分I 在0y 與路徑無(wú)關(guān). (2)因找到了原函數(shù),立即可得(,) (,) (,) .c d a b c a I u x y d b = - 七、【證明】 與書(shū)上解答略有不同,參見(jiàn)數(shù)三2002第七題(1)因?yàn)閮缂?jí)數(shù) 3693()13!6!9!(3)! n x x x x y x n =+L L 的收斂域是()x - =?依題意,Y 服從二項(xiàng)分布1 (4,)2 B ,則有 2222111 ()()4(4) 5.222 EY DY EY npq np =+=+=?+?= 十二、【解】 2 2 012(1)23(12)34,EX =?+?-+?+?-=-1 (3).4 EX =- 的矩估計(jì)量為1?(3),4X =-根據(jù)給定的樣本觀察值計(jì)算1(31303123)8 x =+ 2.=因此的矩估計(jì)值11?(3).44 x =-= 對(duì)于給定的樣本值似然函數(shù)為 624()4(1