微專題12-與圓有關(guān)的定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題

1、微專題12-與圓有關(guān)的定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題微專題12-與圓有關(guān)的定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題真 題 感 悟(2019全國卷)已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，AB4，M過點(diǎn)A，B且與直線x20相切.(1)若A在直線xy0上，求M的半徑；(2)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動時(shí)，MAMP為定值？并說明理由.解(1)因?yàn)镸過點(diǎn)A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線xy0上，且A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，所以M在直線yx上，故可設(shè)M(a，a).真 題 感 悟(2019全國卷)已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)因?yàn)镸與直線x20相切，所以M的半徑為r|a2|.連接MA，由已知得AO2.又MOAO，故

2、可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半徑r2或r6.(2)存在定點(diǎn)P(1，0)，使得MAMP為定值.理由如下：設(shè)M(x，y)，由已知得M的半徑為r|x2|，AO2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2, 化簡得M的軌跡方程為y24x.因?yàn)镸與直線x20相切，所以M的半徑為r|a2|因?yàn)榍€C：y24x是以點(diǎn)P(1，0)為焦點(diǎn)，以直線x1為準(zhǔn)線的拋物線，所以MPx1.因?yàn)镸AMPrMPx2(x1)1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.因?yàn)榍€C：y24x是以點(diǎn)P(1，0)為焦點(diǎn)，以直線x考 點(diǎn) 整 合1.最值與范圍問題考 點(diǎn) 整 合1.最值與范圍問題(3)對于圓的方程也可以利用三角代換，轉(zhuǎn)

3、化為三角函數(shù)問題：對于圓(xa)2(yb)2r2，可設(shè)xarcos ，ybrsin .(3)對于圓的方程也可以利用三角代換，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題：對2.定點(diǎn)問題的求解步驟(1)選參變量：需要證明過定點(diǎn)的動直線(曲線)往往隨著某一個(gè)量的變化而變化，可以選擇這個(gè)量為參變量.(2)求動直線(曲線)方程：求出含上述參變量的動直線(曲線)方程，通過消元或整體思想，使得方程只含有一個(gè)參量(當(dāng)根據(jù)幾何條件建立的等式中含有多個(gè)參量時(shí)，要注意區(qū)別對待，與動點(diǎn)、動直線、動圓有關(guān)的參量是主要參量，其他參量可看作系數(shù)).(3)定點(diǎn)：求出定點(diǎn)坐標(biāo).利用方程axb0恒成立來處理定點(diǎn)問題.在處理時(shí)也可以用從特殊到一般的思想，

4、先求出一個(gè)特殊點(diǎn)，再代入進(jìn)行驗(yàn)證.2.定點(diǎn)問題的求解步驟(1)選參變量：需要證明過定點(diǎn)的動直線3.定值問題的處理(1)可以直接求出相關(guān)等式，再論證該等式與參數(shù)無關(guān)，類似于三角化簡求值.(2)也可以用從特殊到一般的思想，先讓參數(shù)取特殊值來論證性質(zhì)，再將性質(zhì)推廣至一般情形.3.定值問題的處理(1)可以直接求出相關(guān)等式，再論證該等式與熱點(diǎn)一最值與范圍問題熱點(diǎn)一最值與范圍問題又M(a，0)在l的下方，8a30，8a35，a1.故圓M的方程為(x1)2y21.又M(a，0)在l的下方，8a30，8a35，(2)由已知可設(shè)AC的斜率為k1，BC的斜率為k2(k1k2)，則直線AC的方程為yk1xt，直線B

5、C的方程為yk2xt6.ABt6t6，(2)由已知可設(shè)AC的斜率為k1，BC的斜率為k2(k1k5t2，2t31，8t26t14，5t2，2t31，8t26t1探究提高直線與圓中的最值問題主要包含兩個(gè)方面(1)參量的取值范圍：由直線和圓的位置關(guān)系或幾何特征，引起的參量如k，b，r的值變化.此類問題主要是根據(jù)幾何特征建立關(guān)于參量的不等式或函數(shù).(2)長度和面積的最值：由于直線或圓的運(yùn)動，引起的長度或面積的值變化.此類問題主要是建立關(guān)于與參數(shù)如k或(x，y)的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)或基本不等式求最值.探究提高直線與圓中的最值問題主要包含兩個(gè)方面【訓(xùn)練1】 已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.(1)求y

6、x的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值.解由x2y24x10得(x2)2y23，【訓(xùn)練1】 已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.(2)x2y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，過原點(diǎn)和圓心的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，在這兩個(gè)交點(diǎn)處x2y2取得最值.(2)x2y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識熱點(diǎn)二與圓有關(guān)的定點(diǎn)問題【例2】 (2019北京卷)已知拋物線C：x22py(p0)經(jīng)過點(diǎn)(2，1).(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以A

7、B為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).(1)解由拋物線C：x22py經(jīng)過點(diǎn)(2，1)得p2.所以拋物線C的方程為x24y，其準(zhǔn)線方程為y1.熱點(diǎn)二與圓有關(guān)的定點(diǎn)問題(2)證明拋物線C的焦點(diǎn)為F(0，1).設(shè)直線l的方程為ykx1(k0).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則解方程得從而x1x24.(2)證明拋物線C的焦點(diǎn)為F(0，1).設(shè)M(x1，y1微專題12-與圓有關(guān)的定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題故以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0，1)和(0，3).故以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0，1)和(0，3).探究提高圓錐曲線中的定值與定點(diǎn)問題是高考的?？碱}型，運(yùn)算量較大，題目邏輯性較強(qiáng).解

8、決這類問題一般有兩種方法：一是根據(jù)題意求出相關(guān)的表達(dá)式，再根據(jù)已知條件列出方程組，消去參數(shù)，求出定值或定點(diǎn)坐標(biāo)；二是先利用特殊情況確定定值或定點(diǎn)坐標(biāo)，再從一般情況進(jìn)行驗(yàn)證.探究提高圓錐曲線中的定值與定點(diǎn)問題是高考的?？碱}型，運(yùn)算量【訓(xùn)練2】 已知圓x2y29的圓心為P，點(diǎn)Q(a，b)在圓P外，以PQ為直徑作圓M與圓P相交于A，B兩點(diǎn).(1)試判斷直線QA與圓P的位置關(guān)系；(2)若QAQB4，試問點(diǎn)Q在什么曲線上運(yùn)動？(3)若點(diǎn)Q在直線xy90上運(yùn)動，問：直線AB是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.解(1)因?yàn)橐訮Q為直徑的圓M與圓P相交于A，B，所以PAQA，又AP為

9、圓P的半徑，所以AQ為圓P的切線，從而直線QA與圓P相切.【訓(xùn)練2】 已知圓x2y29的圓心為P，點(diǎn)Q(a，b)在故點(diǎn)Q在以P為圓心，5為半徑的圓上運(yùn)動.(3)因?yàn)辄c(diǎn)Q(a，b)在直線xy90上，所以點(diǎn)Q(a，9a)，所以，以PQ為直徑的圓M的方程為x2y2ax(9a)y0，又AB為圓P與圓M的公共弦，所以直線AB的方程為ax(9a)y90，即a(xy)9y90，從而此直線過xy0與9y90的交點(diǎn)，即過定點(diǎn)(1，1).故點(diǎn)Q在以P為圓心，5為半徑的圓上運(yùn)動.熱點(diǎn)三與圓有關(guān)的定值問題熱點(diǎn)三與圓有關(guān)的定值問題解(1)連接OP，OA，OB，因?yàn)镻A，PB為過點(diǎn)P的圓O的切線，切點(diǎn)為A，B，所以O(shè)AP

10、A，OBPB.因?yàn)锳PB60，APO30，在RtAPO中，OA1，所以O(shè)P2.解(1)連接OP，OA，OB，因?yàn)镻A，PB為過點(diǎn)P的圓O(2)假設(shè)存在符合條件的定點(diǎn)R.上式對任意x，yR，且x2y21恒成立，(2)假設(shè)存在符合條件的定點(diǎn)R.上式對任意x，yR，且x2微專題12-與圓有關(guān)的定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題微專題12-與圓有關(guān)的定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題探究提高本題考查直線與圓相切問題以及定值問題.相切問題的基本處理方法是將切點(diǎn)與圓心連接，從而它與切線相互垂直，利用這一直角來進(jìn)行轉(zhuǎn)化研究問題；第(2)問是探索性問題，在研究探索性問題時(shí)，先假設(shè)存在是一般性的處理方法，其次將所要研究的問題轉(zhuǎn)

11、化為關(guān)于點(diǎn)M的坐標(biāo)為元的方程問題，利用該方程的解與點(diǎn)M的坐標(biāo)無關(guān)來研究問題.探究提高本題考查直線與圓相切問題以及定值問題.相切問題的基【訓(xùn)練3】 (2019泰州中學(xué)檢測)已知圓O：x2y24與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A1，A2，B1，B2(如圖).(1)點(diǎn)Q是圓O上除A1，A2外的任意點(diǎn)(如圖1)，A2Q，A1Q與直線y30交于不同的兩點(diǎn)M，N，求MN的最小值；(2)點(diǎn)P是圓O上除A1，A2，B1，B2外的任意點(diǎn)(如圖2)，直線B2P交x軸于點(diǎn)F，直線A1B2交A2P于點(diǎn)E.設(shè)A2P的斜率為k，EF的斜率為m，求證：2mk為定值.【訓(xùn)練3】 (2019泰州中學(xué)檢測)已知圓O：x2y2微專題12-與圓有關(guān)的定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題故線段MN長度的最小值是2.直線A1Q與直線y30的交點(diǎn)為N(3k2，3)，故線段MN長度的最小值是2.直線A1Q與直線y30的交點(diǎn)(2)證明由題意可知點(diǎn)A1(2，0)，A2(2，0)，B1(0，2)，B2(0，2)，A2P的斜率為k，所以直線A2P的方程為yk(x2)，(2)證明由題意可知點(diǎn)A1(2，0)，A2(2，0)，B因?yàn)橹本€A1B2的方程為xy20，因?yàn)橹本€A1B2的方程為x