16.圓錐曲線解答題（解析版）

1、 圓錐曲線1(2021年高考全國甲卷理科)拋物線C的頂點為坐標原點O焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且已知點，且與l相切(1)求C，的方程；(2)設(shè)是C上的三個點，直線，均與相切判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由解析：（1）依題意設(shè)拋物線，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，此時直線關(guān)于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，

2、直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切2(2021年高考全國乙卷理科)已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為(1)求；(2)若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值解析：（1）拋物線的焦點為，所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；（2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導得，設(shè)點、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以，點、的坐標滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，所以，點到直線的距離為，所以，由已知可得，所以，當時，的面

3、積取最大值3(2020年高考數(shù)學課標卷理科)已知A、B分別為橢圓E：(a1)左、右頂點，G為E的上頂點，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D(1)求E方程；(2)證明：直線CD過定點【答案】（1）；（2）證明詳見解析【解析】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：， ，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點的坐標為同理可得：點的坐標為直線的方程為：，整理可得：整理得：故直線過定點【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難

4、題4(2020年高考數(shù)學課標卷理科)已知橢圓C1：(ab0)右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|(1)求C1的離心率；(2)設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程【答案】（1）；（2），解析：（1），軸且與橢圓相交于、兩點，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，即，即，即，解得，因此，橢圓的離心率為；（2）由（1）知，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），由拋物線的定義可得，解得因此，曲線的標準方程為，曲線的標準方程為【點睛】本題考

5、查橢圓離心率求解，同時也考查了利用拋物線的定義求拋物線和橢圓的標準方程，考查計算能力，屬于中等題5(2020年高考數(shù)學課標卷理科)已知橢圓的離心率為，分別為的左、右頂點(1)求的方程；(2)若點在上，點在直線上，且，求的面積【答案】（1）；（2）解析：（1），根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）不妨設(shè),在x軸上方點在上，點在直線上，且，過點作軸垂線，交點為，設(shè)與軸交點為根據(jù)題意畫出圖形，如圖，又，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，設(shè)點為，可得點縱坐標為，將其代入，可得：，解得：或，點為或，當點為時，故，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到

6、直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：；當點為時，故，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：【點睛】本題主要考查了求橢圓標準方程和求三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的離心率定義和數(shù)形結(jié)合求三角形面積，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題6(2019年高考數(shù)學課標卷理科)已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B(1)證明：直線AB過定點：(2)若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積【答案

7、】 (1)見詳解；(2)3或【官方解析】(1)設(shè)則由于，所以切線的斜率為，故整理得設(shè)同理可得故直線的方程為所以直線過定點(2)由(1)得直線的方程為由可得于是，設(shè)分別為到直線的距離，則因此，四邊形的面積設(shè)線段的中點，則由于，而，與向量平行，所以解得或當時，；當時，因此，四邊形的面積為3或【點評】此題第一問是圓錐曲線中的定點問題，第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班的求解就可以思路較為清晰，但計算量比較大7(2019年高考數(shù)學課標全國卷理科)已知點，動點滿足直線與的斜率之積為記的軌跡為曲線求的方程，并說明是什么曲線；過坐標原點的直線交于兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長交于點證明：

8、是直角三角形；求面積的最大值【答案】詳見解析詳見解析【官方解析】由題設(shè)得，化簡得，所以為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點設(shè)直線的斜率為，則其方程為由得記，則于是直線的斜率為，方程為由，得設(shè)，則和是方程的解，故，由此得從而直線的斜率為所以，即是直角三角形由得，所以的面積設(shè)，則由得，當且僅當時取等號因為在單調(diào)遞減，所以當，即時，取得最大值，最大值為因此，面積的最大值為【分析】分別求出直線與的斜率，由已知直線與的斜率之積為，可以得到等式，化簡可以求出曲線的方程，注意直線與有斜率的條件；設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出兩點的坐標，進而求出點的坐標，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用

9、根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標，再求出直線的斜率，計算的值，就可以證明出是直角三角形；由可知三點坐標，是直角三角形，求出的長，利用面積公式求出的面積，利用導數(shù)求出面積的最大值.【解析】直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線是以坐標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，其方程為；設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,即或,點在第一象限，所以，因此點的坐標為直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立，消去得，（*），設(shè)點，顯然點的橫坐標和是方程（*）的解所以有，代入直線方程中，得，所以點的坐標為，直線的斜率為；，因為，所以，因此是直角三角形；由可知：，的坐標為，,，

10、因為，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當時，函數(shù)有最大值，最大值為.【點評】本題考查了求橢圓的標準方程，以及利用直線與橢圓的位置關(guān)系，判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題，考查了數(shù)學運算能力，考查了利用導數(shù)求函數(shù)最大值問題.8(2019年高考數(shù)學課標全國卷理科)已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與的交點為，與軸的交點為(1)若，求的方程；(2)若，求【答案】解：設(shè)直線（1）由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得由，可得，則從而，得所以的方程為（2）由可得由，可得所以從而，故代入的方程得故9(2018年高考數(shù)學課標卷（理）)已知斜率為的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為()(1)證明：；(2)設(shè)

11、為的右焦點，為上一點，且，證明：，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差【答案】【官方解析】（1）設(shè)，則有，兩式相減，并由，得由題設(shè)知，于是由題設(shè)，故（2）由題意得，設(shè)，則由（1）及題設(shè)得，又點在上，所以，從而，于是同理所以故，即成等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的公差為，則將代入得所以的方程為，代入的方程，并整理得故，代入解得所以該數(shù)列的公差為或【民間解析】（1）法一：設(shè)直線，交點，則有，聯(lián)立方程，消去并整理可得所以所以，代入可得所以，所以，所以或又即由可知法二：設(shè)，則有，兩式相減可得所以依題意，所以又點在橢圓內(nèi)，所以，而，所以所以（2）由橢圓的方程可知，設(shè)因為，所以，所以所以，故又因為點在橢圓上，所以，解得，所以此

12、時直線的方程為：即聯(lián)立方程，消去并整理可得所以，又，所以所以同理所以而所以，故，成等差數(shù)列設(shè)公差為，則有所以10(2018年高考數(shù)學課標卷（理）)(12分)設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，(1)求的方程；(2)求過點，且與的準線相切的圓的方程【答案】解析：（1）由題意得，的方程為設(shè)，由得，故，所以，由題設(shè)知，解得（舍去），因此直線的方程為（2）由（1）得的中點坐標為，所以的垂直平分線方程為，即設(shè)所求圓的圓心坐標為，則，解得或，因此所求圓的方程為或11(2018年高考數(shù)學課標卷（理）)(12分)設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為(1)當與軸垂直時，求直線的方程；(2

13、)設(shè)為坐標原點，證明：【答案】解析：（1）由已知得，的方程為由已知可得，點的坐標為或所以的方程為或（2）當與軸重合時，當與軸垂直時，為的垂直平分線，所以當與軸不重合也不垂直時，設(shè)的方程為，則，直線MA，MB的斜率之和為由得將代入得所以則從而，故的傾斜角互補，所以綜上，12(2017年高考數(shù)學新課標卷理科)已知橢圓,四點,中恰有三點在橢圓上(1)求的方程;(2)設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于兩點,若直線與直線的斜率的和為,證明:過定點【答案】(1);(2) 【分析】(1)根據(jù)兩點關(guān)于軸對稱,由橢圓的對稱性可知經(jīng)過,另外知,不經(jīng)過點,所以在上,因此在橢圓上,代入其標準方程,即可求出的方程;(2)先設(shè)直線

14、與直線的斜率分別為,再設(shè)直線的方程,當與軸垂直時,通過計算,不滿足題意,再設(shè)(),將代入,寫出判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,表示出,根據(jù)列出等式,表示出和的關(guān)系,判斷出直線恒過定點 【解析】(1)由于,兩點關(guān)于軸對稱,故由題設(shè)知經(jīng)過,兩點 又由知,不經(jīng)過點,所以點在上 因此,解得 故的方程為 (2)設(shè)直線與直線的斜率分別為, 如果與軸垂直,設(shè),由題設(shè)知,且,可得的坐標分別為, 則,得,不符合題設(shè) 從而可設(shè):()將代入得 由題設(shè)可知 設(shè),則, 而 由題設(shè),故 即 解得 當且僅當時,欲使:,即 所以過定點 法二:求點代點法 設(shè),直線的方程為:,直線的方程為 聯(lián)立,消去可得,得, 即,同理 由題意可知 所

15、以 于是的直線方程為 令,得,所以直線過定點 (為什么令?用特殊法!直線方程中令,得兩直線,求這兩直線交點即可)法三:齊次方程 設(shè),的直線方程為 設(shè) 則 化齊次得: 即 顯然以上方程代表以,為根的方程 又,所以 于是的直線方程為,所以直線過定點 解法四:曲線系 設(shè)直線的方程為:,直線的方程為 則曲線系代表過三點的曲線 令 則曲線系可分解為 顯然直線經(jīng)過點 所以方程為直線的方程 又,代入整理得: 由,解得 所以直線過定點 解法五:利用橢圓內(nèi)接三角形公式 若三角形是橢圓的內(nèi)接三角形,設(shè),則頂點的對邊的方程為: 由,則直線的方程為 由,代入整理得 由,解得 所以直線過定點 【考點】橢圓的標準方程,直

16、線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【點評】橢圓的對稱性是橢圓的一個重要性質(zhì),判斷點是否在橢圓上,可以通過這一方法進行判斷;證明直線過定點的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程,通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化,找出兩個參數(shù)之間的關(guān)系式,從而可以判斷過定點情況另外,在設(shè)直線方程之前,若題設(shè)中為告知,則一定要討論直線斜率不存在和存在情況,接著通法是聯(lián)立方程組,求判別式、韋達定理,根據(jù)題設(shè)關(guān)系進行化簡 13(2017年高考數(shù)學課標卷理科)(12分)已知拋物線，過點的直線交與兩點，圓是以線段為直徑的圓(1)證明：坐標原點在圓上；(2)設(shè)圓過點，求直線與圓的方程【答案】()證明略;()直線的方程為 ,圓的方程為 或直線的方程為 ,圓的方程為 【解

17、析】法一:(1)證明:當軸時,代入得 在以為直徑的圓上此時圓半徑為,圓過原點; 當不垂直于軸時,設(shè)的方程為且 由,消去,整理可得 , 從而,在以為直徑的圓上 (2)由(1)知以為直徑的圓的方程為 即,由于在此圓上 代入上述方程得,故所求圓的方程為 法二:顯然,當直線斜率為時,直線與拋物線交于一點,不符合題意 設(shè), 聯(lián)立:得, 恒大于, ,即在圓上 若圓過點,則 化簡得解得或 當時,圓心為, , 半徑 則圓 當時,圓心為, , 半徑 則圓 【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系;圓的方程 【點評】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;在解決直線與拋物線的位置

18、關(guān)系時,要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況中點弦問題,可以利用“點差法”,但不要忘記驗證或說明中點在曲線內(nèi)部 14(2017年高考數(shù)學課標卷理科)(12分)設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M做x軸的垂線，垂足為 ，點 滿足(1)求點 的軌跡方程；(2)設(shè)點 在直線 上，且證明：過點 且垂直于 的直線 過 的左焦點 【答案】(1)；(2)證明略【命題意圖】橢圓，定值問題的探索；運算求解能力【基本解法】（）解法一：相關(guān)點法求軌跡：設(shè)，,，則：,又,所以：，則：又在橢圓C上，所以：。所以：解法二：橢圓C的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）設(shè)，,，則：,又,所以：，則：則：（）解法一：設(shè)，,則，,

19、，又,所以：即：那么所以即過垂直于的直線過橢圓C的左焦點。解法二：設(shè)，,則，,，又,所以又在上，所以：又所以：即過垂直于的直線過橢圓 的左焦點【考點】 軌跡方程的求解；直線過定點問題?！军c評】求軌跡方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)0。(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程。(3)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程。(4)代入(相關(guān)點)法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而運動，常利用代入法求動點P(x，y)的軌跡方程15(2016高考數(shù)學課標卷理科)已知拋物線:的焦點為,

20、平行于軸的兩條直線,分別交于,兩點,交的準線于,兩點.()若在線段上,是的中點,證明;()若的面積是的面積的兩倍,求中點的軌跡方程.【答案】()見解析;().【解析】由題設(shè).設(shè),則,且,.記過兩點的直線為,則的方程為.()由于在線段上,故.記的斜率為,的斜率為,則,所以.()設(shè)與軸的交點為,則,.由題設(shè)可得,所以(舍去),.設(shè)滿足條件的的中點為,當與軸不垂直時,由可得.而,所以.當與軸垂直時,與重合.所以所求軌跡方程為.16(2016高考數(shù)學課標卷理科)(本小題滿分12分)已知橢圓E:的焦點在軸上，A是E的左頂點，斜率為的直線交E于兩點，點N在E上，( = 1 * ROMAN I)當，時，求的

21、面積；( = 2 * ROMAN II)當時，求k的取值范圍【答案】（1）；（2）分析：（）先求直線的方程，再求點的縱坐標，最后求的面積；（）設(shè)，將直線的方程與橢圓方程組成方程組，消去，用表示，從而表示，同理用表示，再由求【解析】（I）設(shè)，則由題意知，當時，的方程為，由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為因此直線的方程為將代入得解得或，所以因此的面積（II）由題意，將直線的方程代入得由得，故由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得，即當時上式不成立，因此等價于，即由此得，或，解得因此的取值范圍是17(2016高考數(shù)學課標卷理科)(本小題滿分12分)設(shè)圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于兩點，

22、過作的平行線交于點(I)證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；( = 2 * ROMAN II)設(shè)點的軌跡為曲線，直線交于兩點，過且與垂直的直線與圓交于兩點，求四邊形面積的取值范圍【答案】 (I)4；，()； ( = 2 * ROMAN II)【官方解答】(I)因為,故所以，故又圓標準方程為，從而，所以由題設(shè)得,由橢圓的定義可得點的軌跡方程為，()；( = 2 * ROMAN II)當與x軸不垂直時，設(shè)，由得則， 所以過點且與垂直的直線，到的距離為，所以故四邊形的面積為當與x軸不垂直時，四邊形的面積的取值范圍為當與x軸垂直時，其方程為，四邊形的面積12綜上，四邊形的面積的取值范圍為【民間解析】圓整

23、理為，坐標，如圖，則，由，則 所以的軌跡為一個橢圓，方程為，()；設(shè)，因為，設(shè)，聯(lián)立得；則；圓心到距離，所以，18(2015高考數(shù)學新課標2理科)(本題滿分12分)已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為 ()證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；()若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由【答案】（）詳見解析；（）能，或解析：（）設(shè)直線，將代入得，故，于是直線的斜率，即所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值（）四邊形能為平行四邊形因為直線過點，所以不過原點且與有兩個交點的充要條件是，由（）得的方程為設(shè)點的橫坐標為由得，即將點

24、的坐標代入直線的方程得，因此四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相平分，即于是解得，因為，所以當?shù)男甭蕿榛驎r，四邊形為平行四邊形考點：1、弦的中點問題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系19(2015高考數(shù)學新課標1理科)(本小題滿分12分)在直角坐標系中，曲線：與直線(0)交與兩點，()當時，分別求在點和處的切線方程；()軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由?！敬鸢浮浚ǎ┗颍ǎ┐嬖诜治觯海ǎ┫惹蟪鯩,N的坐標，再利用導數(shù)求出M,N（）先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標和P點坐標，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，

25、利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關(guān)系，從而找出適合條件的P點坐標解析：（）由題設(shè)可得，或，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為，即故在=-處的到數(shù)值為-，C在處的切線方程為，即故所求切線方程為或（）存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P（0，b）為復合題意得點，直線PM，PN的斜率分別為將代入C得方程整理得=當時，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故OPM=OPN，所以符合題意 考點：拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問題；運算求解能力20(2014高考數(shù)學課標2理科)(本小題滿分12分)設(shè),分別是橢圓C：的左，右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為

26、N()若直線MN的斜率為，求C的離心率；()若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b【答案】解析：（），解得（）依據(jù)題意，原點為的中點，與軸垂直，所以直線與軸的交點是線段的中點，故，即由，得設(shè)，且，易知，則，代入橢圓方程得又代入上式，解得考點：（1）橢圓的離心率（2）橢圓的幾何性質(zhì)（3）直線與橢圓的位置關(guān)系難度：C備注：高頻考點21(2014高考數(shù)學課標1理科)已知點,橢圓:的離心率為,是橢圓的焦點,直線的斜率為,為坐標原點(1)求的方程;(2)設(shè)過點的直線與相交于兩點,當?shù)拿娣e最大時,求的方程【答案】解析:(1)設(shè),由條件知,得 又, 所以, ,故的方程 (2)依題意當軸不合題意,故設(shè)直線l:,設(shè) 將代入,得, 當,即時, 從而 又點到直線的距離,所以的面積 , 設(shè),則, 當且僅當,等號成立,且滿足,所以當?shù)拿娣e最大時,的方程為: 或 考點:(1)直接法求軌跡方程(2)橢圓的幾何性質(zhì)(3)直線與橢圓的位置關(guān)系(4)圓錐曲線的最值問題 難度:D 備注:高頻考點 22(2013高考數(shù)學新課標2理科)平面直角坐標系中，過橢圓右焦點的直線交于兩點，為的中點，且的斜率為(1)求的方程；(2)為上的兩點，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值【答案】（1） ；（2）解析：（1）設(shè)，則； ；兩式相減得到，因為，設(shè)，因為P為AB的中點，且OP的斜率為，所以，即所以可以解得，即所以的方程為（2