平面幾何證明常用方法

1、4.利用平移、旋轉(zhuǎn),翻折,幾何證明中的三種基本變換證題摘要靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇解題方法是求解平面幾何問題的良好途徑。解決任何一道平面幾何證明題,都要應(yīng)用這樣或那樣的方法,而選擇哪一種方法,就取決于我們用什么樣的解題思路。本文試對平面幾何證明題中常用的幾種解題思路及方法進(jìn)行分析?！娟P(guān)鍵詞】平面幾何證明題思路技巧Abstract:Keywords：2利用平行四邊形性質(zhì)添加平行線證題在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫平行線.平行線是初中平面幾何最基本的,也是非常重要的圖形.在證明某些平面幾何問題時(shí),若能依據(jù)證題的需要,添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€,則能使證明順暢、簡潔.添加平行線證題,一般有如下四種情況.為了改變角的

2、位置,同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)角互補(bǔ).利用這些性質(zhì),?？赏ㄟ^添加平行線,將某些角的位置改變,以滿足求例1BCeqoac(,時(shí),)ABCeqoac(,時(shí),)這里,通過作平行線,將點(diǎn)共圓,使證明很順暢.例2證明：如圖eqoac(,CD)均為平行四邊形.有這里,通過添加平行線,使已知與未知中的四個(gè)角通過相等的媒介,證法很巧妙.為了改變線段的位置添加平行線,將某些線段“送”到恰當(dāng)位置,以證題.例3證明：如圖EPEFFD這里,通過添加平行線,將為了線段比的轉(zhuǎn)化由于“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊,所得對應(yīng)線段成比例”,在一些問題中,可以通過添加平行線,實(shí)現(xiàn)某些線段比的良性轉(zhuǎn)化.這在平面幾何證題中是例4

3、邊上的點(diǎn),且AMANAMANeqoac(,1)eqoac(,1)AMANAMANBECEDEDEAMANMEAMDEANMEDEDEBECEMEMEDEDEANAMANAMANAMAN90.,于是問題迎刃而解.例5證明：如圖KDECAFECFBAN對比(1)、(2)、(3)有這里,原題并未涉及線段比,添加的平行線,就有大量的比例式產(chǎn)生,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些比例式,就使的相等關(guān)系顯現(xiàn)出來.為了線段相等的傳遞,應(yīng)注意到平行線等分線段定理行線將線段相等的關(guān)系傳遞開去.例6邊上,并且證明：如圖eqoac(,2)為直角三角形,的平行線,將例7上一點(diǎn),.過證明：如圖.易知經(jīng)過一點(diǎn)的若干直線稱為一組直線束.一組直

4、線束在一條直線上截得的線段相等,在該直線的平行直線上截得的線構(gòu)成一組直線束,平行的直線.于是,利用平行線的這一性質(zhì),解決某些線段相等的問題會很漂亮.例8證明：如圖eqoac(,S)eqoac(,S)eqoac(,S)eqoac(,S)例9證明：如圖四點(diǎn)共圓,有四點(diǎn)共圓.有所以,綜上,我們介紹了平行線在平面幾何問題中的應(yīng)用.同學(xué)們在實(shí)踐中應(yīng)注意適時(shí)添加平行線,讓平行線在平面幾何證題中發(fā)揮應(yīng)有的作用.3利用圓中的等量關(guān)系巧作輔助圓,巧妙添置輔助圓常可以溝通直線形和圓的內(nèi)在聯(lián)系,通過圓的有關(guān)性質(zhì)找到解題途徑.下面舉例說明添置輔助圓的若干思路.挖掘隱含的輔助圓解題有些問題的題設(shè)或圖形本身隱含著“點(diǎn)共圓

5、”,此時(shí)若能把握問題提供的信息,恰當(dāng)補(bǔ)出輔助圓,并合理挖掘圖形隱含的性質(zhì),就會使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系例1與結(jié)論的聯(lián)系.的平分線,但因.若延長.故例2sin,聯(lián)想到托勒密定理,只須求出即可.解：因.由割線定理得(222,eqoac(,S)例3eqoac(,BD)證明：記四點(diǎn)共圓.構(gòu)造相關(guān)的輔助圓解題有些問題貌似與圓無關(guān),但問題的題設(shè)或結(jié)論或圖形提供了某些與圓的性質(zhì)相似的信息,此時(shí)可大膽聯(lián)想構(gòu)造出與題目相關(guān)的輔助圓,將原問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題加以解決.例4pq上.利用圓的性質(zhì)即可找到解：延長90.且有90.且有CEpq聯(lián)想直徑的性質(zhì)構(gòu)造輔助圓例5點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),且為銳角,證解：如圖聯(lián)想圓冪定

6、理構(gòu)造輔助圓例6RtABCBC例74平移、旋轉(zhuǎn),翻折,幾何證明中的三種基本變換正三角形類型內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，AB=AC，PA=QA，CAP+PAB=60=PAB+BAQ，即eqoac(,在)正方形類型重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC線段集中于圖（2-1-b）中的例2使DAE=BAP，AE=APADEABP（SAS）eqoac(,=)EPFeqoac(,+=)PFC等腰直角三角形類型，BC=AC，Peqoac(,因?yàn)?BDPA1，CDPC2，PCD90，APCCDBPD2BD2PB2所以CDB9045135所以APCCDB135反證法,運(yùn)用反證法是

7、一種重要的方法.反證法就是先假設(shè)待證的結(jié)論不成立,經(jīng)過嚴(yán)密的推理,推出和已知條件或已知的定義、定理、公理相矛盾,從而肯定待證結(jié)論成立.證明：三角形的三個(gè)內(nèi)角中，至少有一個(gè)角不大于60.求證：A、B、C、中至少有一個(gè)角不大于60。180，即三個(gè)內(nèi)角的和大于180，這與三角形的內(nèi)角和等于180相矛盾，所以三角形的三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)角不大于60。二、常規(guī)性證明習(xí)題的外角，ADBC，且1=2，求證：AB=AC，圖5ADBC，所以1=B，2=C，這與已知1=2相矛盾，AB=AC。三、用于“結(jié)論否定形式”的命題的證明：如圖2，在ABC求證：CD、BE利用面積法求線段的長ABCMDEbAEBDM，由勾股定理得：MbDEbbDEAM.利用面積法證線段等式3，ADDEDEEDFDFEFBa、b，斜邊h，求證：bbbbbhbb.利用面積法證線段不等式EAEB