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1、姓名:劉欣班級(jí):14級(jí)數(shù)計(jì)1班專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號(hào):29一、矩陣的逆的觀點(diǎn)關(guān)于n階矩陣A,假如有一個(gè)n階矩陣B,使得,則說(shuō)矩陣是可逆的,并把矩陣稱為的逆矩陣,的逆矩陣記作。二、逆矩陣的性質(zhì)和定理逆矩陣的性質(zhì)1、若矩陣A、B均可逆,則矩陣AB可逆,其逆矩陣為,自然這一性質(zhì)能夠推行到多個(gè)矩陣相乘的逆。若都是階可逆矩陣,則也可逆,且.2、若A可逆,則也可逆,且3、若A可逆,實(shí)數(shù)0,則A可逆,且=A;=;4、若A可逆,則也可逆,且=;5、=;6、矩陣的逆是獨(dú)一的;證明:運(yùn)用反證法,假如A是可逆矩陣,假定B,C都A的逆,則有=E=,()()(與矛盾),所以是獨(dú)一的。逆矩陣的定理、初等變換不改變矩陣的

2、可逆性。、階矩陣可逆的充分必需條件是與階單位陣等價(jià)。、階矩陣可逆的充分必需條件是能夠表成一些初等矩陣的乘積。、階矩陣可逆的充分必需條件是只經(jīng)過(guò)一系列初等行變換即可化成單位矩陣。、階矩陣可逆的充分必需條件是。三、逆矩陣的計(jì)算方法定義法定義:設(shè)是階方陣,假如存在階方陣使得,那么稱為可逆矩陣,稱為的逆矩陣,記為。例、求矩陣的逆矩陣。解:存在設(shè),由定義知,由矩陣乘法得由矩陣相乘可解得;故、陪伴矩陣法階矩陣()可逆的充要條件,并且當(dāng)()階矩陣有逆矩陣,說(shuō)明:關(guān)于階數(shù)較低(一般不超出階)或元素的代數(shù)余子式易于計(jì)算的矩陣可用此法求其逆矩陣,注意元素的地點(diǎn)及符號(hào)。特別關(guān)于階方陣,其陪伴矩陣,即陪伴矩陣擁有“主

3、對(duì)角元素交換,次對(duì)角元素變號(hào)”的規(guī)律。關(guān)于分塊矩陣?yán)?、已知解:可逆,由已知得、行(列)初等變化法設(shè)階矩陣,作矩陣,而后對(duì)此矩陣施以行初等變換,若把子塊變成,則子塊將變成,即初等變換,。說(shuō)明:關(guān)于階數(shù)較高()的矩陣,采納初等行變換求逆矩陣一般比用陪伴矩陣法簡(jiǎn)易,在用上述方法求逆矩陣時(shí),只同意實(shí)行初等行變換。也能夠利用當(dāng)矩陣可逆時(shí),能夠利用求得僅經(jīng)過(guò)初等變換,即求出了例、用初等行變換求矩陣的逆矩陣。解:、用分塊矩陣求逆矩陣設(shè)、分別為、階可逆矩陣,則:例、已知,求。解:將分塊以下:此中可求得解方程組求逆矩陣依據(jù)可逆的上(下)三角矩陣的逆還是上(下)三角矩陣,且上(下)三角矩陣逆矩陣主對(duì)角元分別為上(

4、下)三角矩陣對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元的倒數(shù),可設(shè)出逆矩陣的待求元素;又由兩頭對(duì)應(yīng)元素相等,挨次可得只含有一個(gè)待求元素的方程,因此待求元素極易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩陣的逆矩陣。例、求的逆矩陣。解:設(shè),先求出下的次對(duì)角線上的元素最后求,設(shè)為階單位矩陣,比較的兩頭對(duì)應(yīng)元素,獲得;于是,所求的逆矩陣為:、用克萊姆法例求解若線性方程組的系數(shù)隊(duì)列式,則此方程組有獨(dú)一的一組解,這里是將中的第列換成獲得的隊(duì)列式。、恒等變形法求逆矩陣有些計(jì)算命題表面上與求逆矩陣沒(méi)關(guān),但實(shí)質(zhì)上只有求出矩陣的逆矩陣才能算出來(lái),而求逆矩陣須對(duì)所給的矩陣等式恒等變形,且常變形為兩矩陣的乘積等于單位矩陣的等式。、用Hamilton-

5、Caley定理求逆矩陣Hamilton-Caley定理:設(shè)是數(shù)域上的階矩陣()=|為的特點(diǎn)多項(xiàng)式,則:(A)=|E-A|=+=0于是所以、三角矩陣的一種求逆法假如階矩陣可逆,那么他的逆矩陣是T=其中、拼接新矩陣在可逆矩陣A的右方補(bǔ)上一個(gè)單位矩陣E,在A的下方補(bǔ)加上一個(gè)負(fù)單位矩陣-E,再在A的右下方補(bǔ)加上一個(gè)零矩陣0,進(jìn)而獲得一個(gè)新的方陣,對(duì)該方陣實(shí)行第三種行的初等變換,使其負(fù)單位矩陣-E化為零矩陣,那么本來(lái)的零矩陣0所化得的矩陣就是所要求的那逆矩陣。四、矩陣的逆的應(yīng)用逆矩陣在解線性方程組中的應(yīng)用設(shè)用矩陣表示的方程組為,此中X=B=若A可逆X=注:利用逆矩陣求解要求方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等,且矩

6、A可逆,不然此法無(wú)效。而Gauss消元法對(duì)方程組個(gè)數(shù)與未知元個(gè)數(shù)不等時(shí)仍合用(此時(shí)有可能不相容或有無(wú)量多個(gè)解)。且Gauss消元法特別合適于計(jì)算機(jī)計(jì)算。逆矩陣在求矩陣的秩中的應(yīng)用設(shè)A是mn矩陣,P和Q分別是m階和n階可逆矩陣,則r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)n階矩陣A的秩為n|A|0A可逆。逆矩陣在信息科學(xué)中的應(yīng)算法的加密原理信息發(fā)送端第一依據(jù)密鑰矩陣A的階數(shù)(|A|=n),將明文變換為n維數(shù)向量X,而后將X與A相乘獲得密文Y,Y=AX,再將Y發(fā)送,信息端接遇到Y(jié)后,則利用密鑰矩陣。加密通訊模型鑒于加密技術(shù)的保密通訊模型,發(fā)送方采納某種算法將明文數(shù)據(jù)加密變換成密文數(shù)據(jù)后發(fā)送給接收方,接收方則能夠采納相對(duì)應(yīng)的某種算法將密文數(shù)據(jù)解密變換成明文數(shù)據(jù)。密鑰的生成怎樣迅速而有效地結(jié)構(gòu)一個(gè)可逆矩陣作為加密密鑰和求出其逆矩陣作為解密密鑰是利用可逆矩陣實(shí)現(xiàn)保密通訊的重點(diǎn)。,加密密鑰的生成初等矩陣都是可逆的,并且初等矩陣的乘積仍舊是可逆的。所以通訊中能夠考慮利用若干個(gè)初等矩陣的乘積作為加密編碼矩陣。它的生成方法以下:從單位矩陣出發(fā),頻頻運(yùn)用第一類和第三類初等變換矩陣去乘它,而此中的乘數(shù)一定取整數(shù)。這樣獲得的矩陣將知足,而往常所謂的矩陣的三種基本種類的初等變換以下:交換兩行或兩列;數(shù)乘某一行或某一列;將某一行(或某一列)的倍加到另一行(或另一列

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