量子態(tài)的不同表象幺正變換

1、*第 7 章量子力學(xué)中的矩陣形式與表象變換 一、直角坐標(biāo)系中的類(lèi)比 取平面直角坐標(biāo)系x1x2的基矢為e1和e2,長(zhǎng)度為1，彼此正交 標(biāo)積 我們將其稱(chēng)之為基矢的正交歸一關(guān)系.平面上的任一矢量 可以用它們來(lái)展開(kāi)A1、A2代表A在坐標(biāo)系中的投影.稱(chēng)為矢量A在坐標(biāo)系x1x2中的表示.7.1 量子態(tài)的不同表象，么正變換 二、坐標(biāo)系順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 現(xiàn)在將坐標(biāo)系x1x2順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，得到 x1x2,其基矢為e1和e2,滿(mǎn)足在此坐標(biāo)系中,矢量A表示成其中投影分量是 同一個(gè)矢量A在兩個(gè)坐標(biāo)系中的表示有什么關(guān)系？根據(jù)(2)和(2)式上式分別用e1和 e2點(diǎn)乘,得表成矩陣的形式為或記為把A在兩坐標(biāo)中的表示聯(lián)系起來(lái)的變

2、換矩陣 矩陣R的矩陣元是兩個(gè)坐標(biāo)系的基矢之間的標(biāo)積，它表示基矢之間的關(guān)系.故當(dāng)R 給定，則任何一個(gè)矢量在兩坐標(biāo)系間的關(guān)系也隨之確定. 三、變換矩陣的性質(zhì)變換矩陣R 具有下述性質(zhì)：是R的轉(zhuǎn)置矩陣真正交矩陣（實(shí)矩陣） 四、不同表象中基矢的關(guān)系量子態(tài)和力學(xué)量(算符)的不同表示形式,稱(chēng)為表象。 形式上與此類(lèi)似，在量子力學(xué)中，按態(tài)疊加原理，任何一個(gè)量子態(tài)，可以看成抽象的Hilbert空間中的一個(gè)“矢量”.體系的任何一組對(duì)易力學(xué)量完全集F的共同本征態(tài)，可以用來(lái)構(gòu)成此空間的一組正交歸一完備的基矢（稱(chēng)為F表象）對(duì)于任意態(tài)矢量y ，可以用它們展開(kāi) 其中這一組數(shù) 就是態(tài)(矢)在F表象中的表示，它們分別是態(tài)矢y與各基矢的標(biāo)積.與平常解析幾何不同的是：這里的“矢量”(量子態(tài))一般是復(fù)量；空間維數(shù)可以是無(wú)窮的，甚至不可數(shù)的.現(xiàn)在考慮同一個(gè)態(tài)y在另一組力學(xué)量完全集 F中的表示.F表象的基矢,即F的本征態(tài) ya ,它們滿(mǎn)足正交歸一性對(duì)于任意態(tài)矢量y ，可以用它們展開(kāi) 這一組系數(shù) 就是態(tài)(矢)y在F表象中的表示，顯然(14)左乘(取標(biāo)積),得與有何關(guān)系？其中 F表象基矢與F表象基矢的標(biāo)積 (15)式也可以寫(xiě)成矩陣的形式：簡(jiǎn)記為 式(17)就是同一個(gè)量子態(tài)在F表象中的表示與它在F表象中表示的關(guān)系，它們通過(guò)