湖南省株洲市醴陵市四中2022年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1如圖，已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則函數(shù)的解析式可能是（ ）ABCD2已知，則的大小關(guān)系是（ ）ABCD3從不同號碼的5雙鞋中任取4只，其中恰好有1雙的取法種數(shù)為（

2、）A120 B240 C280 D604投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是( )A512B12C75已知復(fù)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（ ）ABCD6已知命題是命題“若，則”的否命題；命題：若復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)，則下列命題中為真命題的是（ ）ABCD7以下說法正確的是（ ）A命題“，”的否定是“，”B命題“，互為倒數(shù)，則”的逆命題為真C命題“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題為真D“”是“”的充要條件8已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）A0.4B0.8C0.6D0.39等差數(shù)列an的公

3、差是2，若a2,a4An(n+1)Bn(n-1)Cn(n+1)2D10一個樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：13，14，19，x，23，27，28，31，其中，中位數(shù)為22，則x等于（）A21B22C23D2411從位男生，位女生中選派位代表參加一項活動，其中至少有兩位男生，且至少有位女生的選法共有( )A種B種C種D種12已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（ ）A第項B第項C第項D第項二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)當(dāng)x=時，函數(shù)f（x）=2sinx+cosx取得最小值，則cos（）=_14在空間中，已知一個正方體是12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于，則_15如圖，圓形紙片

4、的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐當(dāng)ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_16設(shè)曲線 在點處的切線方程_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）選修4-5：不等式選講（1）已知，且，證明；（2）已知，且，證明.18（12分）盒子中有大小和形狀完全相同的個紅球、個白球和個黑球，從中不放回地依次抽取個球.（1）求在第次抽

5、到紅球的條件下，第次又抽到紅球的概率；（2）若抽到個紅球記分，抽到個白球記分，抽到個黑球記分，設(shè)得分為隨機變量，求隨機變量的分布列.19（12分）已知數(shù)列，記數(shù)列的前項和1計算，；2猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明20（12分）正項數(shù)列的前項和滿足.（）求，；（）猜想的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.21（12分）在正四棱錐P-BCD中，正方形ABCD的邊長為32，高OP=6，E是側(cè)棱PD上的點且PE=13PD，F(xiàn)是側(cè)棱PA上的點且PF=12(1)求平面EFG的一個法向量n；(2)求直線AG與平面EFG所成角的大??；(3)求點A到平面EFG的距離d22（10分）已知函數(shù)f(x)=2ln（1）當(dāng)a

6、=2時，求f(x)的圖像在x=1處的切線方程；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在1e,e參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性，單調(diào)性，利用排除法求解.【詳解】由圖象知，函數(shù)是奇函數(shù)，排除，；當(dāng)時，顯然大于0，與圖象不符，排除D，故選C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象及函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.2、C【解析】，故答案選3、A【解析】此題考查的是排列組合思路：先從五雙鞋中選出一雙，有種C51。再從剩余的四雙中選兩只但是不能為一雙，先從四雙中選兩雙有C答案 A點評：選的時候一定注意不

7、要重復(fù)和遺漏。4、C【解析】試題分析：由題意可知，事件A與事件B是相互獨立的，而事件A、B中至少有一件發(fā)生的事件包含AB、AB、AB，又P(A)=12，考點：相互獨立事件概率的計算5、A【解析】化簡得到，故，則，驗證得到答案.【詳解】因為，所以z的共扼復(fù)數(shù)為，則，.故滿足.故選：.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.6、D【解析】分析：先判斷命題p，q的真假，再判斷選項的真假.詳解：由題得命題p:若ab,則，是假命題.因為是實數(shù)，所以所以命題q是假命題，故是真命題.故答案為 D.點睛：（1）本題主要考查四個命題和復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)合命題的真假，意在考查學(xué)生對這些

8、知識的掌握水平.(2)復(fù)合命題的真假判斷口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.7、B【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題的知識判斷A選項的正確性.寫出原命題的逆命題并判斷真假性，由此判斷B選項的正確性. .寫出原命題的否命題并判斷真假性，由此判斷C選項的正確性.根據(jù)充要條件的知識判斷D選項的正確性.【詳解】對于A選項，原命題是全稱命題，其否定是特稱命題，注意到要否定結(jié)論，故否定應(yīng)是“，”，所以A選項錯誤.對于B選項，原命題的逆命題是“若，則互為倒數(shù)”，是真命題，故B選項正確.對于C選項，原命題的否命題為“若不都是偶數(shù)，則不是偶數(shù)”，當(dāng)都為奇數(shù)時，是偶數(shù)，故為假命題.所以

9、C選項錯誤.對于D選項，由，所以. “”不是“”的充要條件.故D選項錯誤.綜上所述可知，B選項正確.故選：B【點睛】本小題主要考查全稱命題的否定、逆命題、否命題以及充要條件等知識，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】分析：根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，得到正態(tài)曲線關(guān)于對稱，根據(jù)，得到對稱區(qū)間上的概率，從而可求詳解：由隨機變量服從正態(tài)分布可知正態(tài)密度曲線關(guān)于軸對稱，而，則故 ，故選：C點睛：本題主要考查正態(tài)分布的概率求法，結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理解9、A【解析】試題分析：由已知得，a42=a2a8，又因為an【考點】1、等差數(shù)列通項公式；2、等比中項；3、等差數(shù)列前n項和10、A【解析】這組數(shù)據(jù)共

10、有8個，得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是最中間兩個數(shù)字的平均數(shù)，列出中位數(shù)的表示式，得到關(guān)于x的方程，解方程即可【詳解】由條件可知數(shù)字的個數(shù)為偶數(shù)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是最中間兩個數(shù)字的平均數(shù)，中位數(shù)22，x21故選A【點睛】本題考查了中位數(shù)的概念及求解方法，屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】由題意知本題要求至少有兩位男生，且至少有1位女生，它包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生兩種情況，寫出當(dāng)選到的是兩個男生，兩個女生時和當(dāng)選到的是三個男生，一個女生時的結(jié)果數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果解：至少有兩位男生，且至少有1位女生包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生當(dāng)選到的是兩個男生，兩個女生時共有C52C

11、42=60種結(jié)果，當(dāng)選到的是三個男生，一個女生時共有C53C41=40種結(jié)果，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有60+40=100種結(jié)果，故選B12、B【解析】解：數(shù)列即： ，據(jù)此可得數(shù)列的通項公式為： ，由 解得： ，即 是這個數(shù)列的第 項.本題選擇B選項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出輔助角，再利用兩角和的余弦公式求出的值【詳解】對于函數(shù)f（x）=2sinx+cosx=sin（x+），其中，cos=，sin=，為銳角當(dāng)x=時，函數(shù)取得最小值，sin（+）=-，即sin（+）=-1，cos（+）=1故可令+=-，即=

12、-，故 故答案為【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值，兩角和的余弦公式，屬于中檔題14、【解析】畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于,在可求得.【詳解】畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于 正方體 面, 與面所成的角為 不妨設(shè)正方體棱長為,故 在中由勾股定理可得: 故答案為:.【點睛】本題考查了線面角求法,根據(jù)體積畫出幾何圖形,掌握正方體結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】如下圖，連接DO交BC于點G，設(shè)D，E，F(xiàn)重合于S點，正三角形的邊長為x(x0)，則.， ，三棱錐的體積.設(shè)，x0，則，令，即，得，易知在處取得

13、最大值.點睛:對于三棱錐最值問題，需要用到函數(shù)思想進行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行解決，當(dāng)變量是高次時需要用到求導(dǎo)的方式進行解決.16、【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即為切線的斜率，由直線方程的點斜式得答案【詳解】由題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點處的切線斜率為，即切線的斜率為，則曲線在點處的切線方程為，即為，即故答案為：【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，其中解答中明確曲線上某點處的切線的斜率等于函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）由展開利用基本不等式證明即可；（2）由 ，結(jié)合條件即可得解.【詳解】證明：（1）因為 ，當(dāng)時等號成立.（2）因為 ，又因為，所以，.當(dāng)時等號成立，即原不等式成立.【點睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，需要進行配湊，具有一定的技巧性，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)“第1次抽到紅球”為事件A，“第2次抽到紅球”事件B，則“第1次和2次都抽到紅球”就是事件AB，利用條件概率計算公式能求出在第1次抽到紅球的條件下，第2次又抽到紅球的概率（2）隨機變量X可能取的值為0，1，2，3，

15、4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列【詳解】（1）設(shè)“第次抽到紅球”為事件，“第次抽到紅球”事件，則“第次和次都抽到紅球”就是事件 （2）隨機變量可能取的值為，. 隨機變量的分布列為【點睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列，考查條件概率計算公式、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題19、1 ，；2 ，證明見解析.【解析】（1）S1a1，由S2a1+a2求得S2，同理求得 S3，S1（2）由（1）猜想猜想，nN+，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗n1時，猜想成立；假設(shè)，則當(dāng)nk+1時，由條件可得當(dāng)nk+1時，也成立，從而猜想仍然成立【詳解】；猜想

16、證明：當(dāng)時，結(jié)論顯然成立；假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即，則當(dāng)時，當(dāng)時，結(jié)論也成立，綜上可知，對任意，由，知，等式對任意正整數(shù)都成立【點睛】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式的方法，證明nk+1時，是解題的難點20、（）（）猜想證明見解析【解析】分析：（1）直接給n取值求出，.(2)猜想的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.詳解：（）令，則，又，解得；令，則，解得；令，則，解得.（）由（）猜想；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.由（）可知當(dāng)時，成立；假設(shè)當(dāng)時，則.那么當(dāng)時，由 ，所以，又，所以，所以當(dāng)時，.綜上，.點睛：（1）本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本計算能力.(2) 數(shù)學(xué)歸納法

17、的步驟：證明當(dāng)n=1時，命題成立。證明假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，則當(dāng)n=k+1時，命題也成立.由得原命題成立.21、（1）n=(0,1，2)（2）直線AG與平面EFG所成角=arcsin（3）6【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，-2)，設(shè)平面EFG的一個法向量n=(x,y，z)，由nEF(2)求出AG=(-8,2，2)，由sin=|cosAG,n(3)求出EA=(6,2，-4)，由點A到平面EFG的距離d=【詳解】(1)在正四棱錐P-BCD中，正方形ABCD的邊長為32，高OP=6E是側(cè)棱PD上的點且PE=13PD，F(xiàn)是側(cè)棱PAG是PBC的重心.如圖建立空間直角坐標(biāo)系D(0,-6,0)，P(0,0，6)，E(0,-2,4)，A(6,0，0)，B(0,6，0)，C(-6,0，0)，G(-2,2，2)，EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，設(shè)平面EFG的一個法向量n=(x,y，z)則nEF=3x+2y-z=0平面EFG的一個法向量n=(0,1，2)(2)AG=(-8,2，則sin=|直線AG與平面EFG所成角=arcsin(3