湖南省株洲市醴陵市四中2022年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1如圖，已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的解析式可能是（ ）ABCD2已知，則的大小關(guān)系是（ ）ABCD3從不同號(hào)碼的5雙鞋中任取4只，其中恰好有1雙的取法種數(shù)為（

2、）A120 B240 C280 D604投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是( )A512B12C75已知復(fù)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）ABCD6已知命題是命題“若，則”的否命題；命題：若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)，則下列命題中為真命題的是（ ）ABCD7以下說法正確的是（ ）A命題“，”的否定是“，”B命題“，互為倒數(shù)，則”的逆命題為真C命題“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題為真D“”是“”的充要條件8已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）A0.4B0.8C0.6D0.39等差數(shù)列an的公

3、差是2，若a2,a4An(n+1)Bn(n-1)Cn(n+1)2D10一個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：13，14，19，x，23，27，28，31，其中，中位數(shù)為22，則x等于（）A21B22C23D2411從位男生，位女生中選派位代表參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中至少有兩位男生，且至少有位女生的選法共有( )A種B種C種D種12已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（ ）A第項(xiàng)B第項(xiàng)C第項(xiàng)D第項(xiàng)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）=2sinx+cosx取得最小值，則cos（）=_14在空間中，已知一個(gè)正方體是12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于，則_15如圖，圓形紙片

4、的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_16設(shè)曲線 在點(diǎn)處的切線方程_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）選修4-5：不等式選講（1）已知，且，證明；（2）已知，且，證明.18（12分）盒子中有大小和形狀完全相同的個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球，從中不放回地依次抽取個(gè)球.（1）求在第次抽

5、到紅球的條件下，第次又抽到紅球的概率；（2）若抽到個(gè)紅球記分，抽到個(gè)白球記分，抽到個(gè)黑球記分，設(shè)得分為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列.19（12分）已知數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和1計(jì)算，；2猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明20（12分）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（）求，；（）猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.21（12分）在正四棱錐P-BCD中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32，高OP=6，E是側(cè)棱PD上的點(diǎn)且PE=13PD，F(xiàn)是側(cè)棱PA上的點(diǎn)且PF=12(1)求平面EFG的一個(gè)法向量n；(2)求直線AG與平面EFG所成角的大小；(3)求點(diǎn)A到平面EFG的距離d22（10分）已知函數(shù)f(x)=2ln（1）當(dāng)a

6、=2時(shí)，求f(x)的圖像在x=1處的切線方程；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在1e,e參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性，單調(diào)性，利用排除法求解.【詳解】由圖象知，函數(shù)是奇函數(shù)，排除，；當(dāng)時(shí)，顯然大于0，與圖象不符，排除D，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象及函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.2、C【解析】，故答案選3、A【解析】此題考查的是排列組合思路：先從五雙鞋中選出一雙，有種C51。再從剩余的四雙中選兩只但是不能為一雙，先從四雙中選兩雙有C答案 A點(diǎn)評(píng)：選的時(shí)候一定注意不

7、要重復(fù)和遺漏。4、C【解析】試題分析：由題意可知，事件A與事件B是相互獨(dú)立的，而事件A、B中至少有一件發(fā)生的事件包含AB、AB、AB，又P(A)=12，考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算5、A【解析】化簡(jiǎn)得到，故，則，驗(yàn)證得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以z的共扼復(fù)數(shù)為，則，.故滿足.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、D【解析】分析：先判斷命題p，q的真假，再判斷選項(xiàng)的真假.詳解：由題得命題p:若ab,則，是假命題.因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以所以命題q是假命題，故是真命題.故答案為 D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查四個(gè)命題和復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)合命題的真假，意在考查學(xué)生對(duì)這些

8、知識(shí)的掌握水平.(2)復(fù)合命題的真假判斷口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.7、B【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題的知識(shí)判斷A選項(xiàng)的正確性.寫出原命題的逆命題并判斷真假性，由此判斷B選項(xiàng)的正確性. .寫出原命題的否命題并判斷真假性，由此判斷C選項(xiàng)的正確性.根據(jù)充要條件的知識(shí)判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，原命題是全稱命題，其否定是特稱命題，注意到要否定結(jié)論，故否定應(yīng)是“，”，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，原命題的逆命題是“若，則互為倒數(shù)”，是真命題，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，原命題的否命題為“若不都是偶數(shù)，則不是偶數(shù)”，當(dāng)都為奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，故為假命題.所以

9、C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，由，所以. “”不是“”的充要條件.故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述可知，B選項(xiàng)正確.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查全稱命題的否定、逆命題、否命題以及充要條件等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，得到正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)，得到對(duì)稱區(qū)間上的概率，從而可求詳解：由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布可知正態(tài)密度曲線關(guān)于軸對(duì)稱，而，則故 ，故選：C點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布的概率求法，結(jié)合正態(tài)曲線，加深對(duì)正態(tài)密度函數(shù)的理解9、A【解析】試題分析：由已知得，a42=a2a8，又因?yàn)閍n【考點(diǎn)】1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2、等比中項(xiàng)；3、等差數(shù)列前n項(xiàng)和10、A【解析】這組數(shù)據(jù)共

10、有8個(gè)，得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是最中間兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)，列出中位數(shù)的表示式，得到關(guān)于x的方程，解方程即可【詳解】由條件可知數(shù)字的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是最中間兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)，中位數(shù)22，x21故選A【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)的概念及求解方法，屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】由題意知本題要求至少有兩位男生，且至少有1位女生，它包括：兩個(gè)男生，兩個(gè)女生；三個(gè)男生，一個(gè)女生兩種情況，寫出當(dāng)選到的是兩個(gè)男生，兩個(gè)女生時(shí)和當(dāng)選到的是三個(gè)男生，一個(gè)女生時(shí)的結(jié)果數(shù)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果解：至少有兩位男生，且至少有1位女生包括：兩個(gè)男生，兩個(gè)女生；三個(gè)男生，一個(gè)女生當(dāng)選到的是兩個(gè)男生，兩個(gè)女生時(shí)共有C52C

11、42=60種結(jié)果，當(dāng)選到的是三個(gè)男生，一個(gè)女生時(shí)共有C53C41=40種結(jié)果，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有60+40=100種結(jié)果，故選B12、B【解析】解：數(shù)列即： ，據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為： ，由 解得： ，即 是這個(gè)數(shù)列的第 項(xiàng).本題選擇B選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出輔助角，再利用兩角和的余弦公式求出的值【詳解】對(duì)于函數(shù)f（x）=2sinx+cosx=sin（x+），其中，cos=，sin=，為銳角當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取得最小值，sin（+）=-，即sin（+）=-1，cos（+）=1故可令+=-，即=

12、-，故 故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值，兩角和的余弦公式，屬于中檔題14、【解析】畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于,在可求得.【詳解】畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于 正方體 面, 與面所成的角為 不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為,故 在中由勾股定理可得: 故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了線面角求法,根據(jù)體積畫出幾何圖形,掌握正方體結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】如下圖，連接DO交BC于點(diǎn)G，設(shè)D，E，F(xiàn)重合于S點(diǎn)，正三角形的邊長(zhǎng)為x(x0)，則.， ，三棱錐的體積.設(shè)，x0，則，令，即，得，易知在處取得

13、最大值.點(diǎn)睛:對(duì)于三棱錐最值問題，需要用到函數(shù)思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)的方式進(jìn)行解決.16、【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即為切線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得答案【詳解】由題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，即切線的斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，其中解答中明確曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）由展開利用基本不等式證明即可；（2）由 ，結(jié)合條件即可得解.【詳解】證明：（1）因?yàn)?，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（2）因?yàn)?，又因?yàn)椋裕?當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，需要進(jìn)行配湊，具有一定的技巧性，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)“第1次抽到紅球”為事件A，“第2次抽到紅球”事件B，則“第1次和2次都抽到紅球”就是事件AB，利用條件概率計(jì)算公式能求出在第1次抽到紅球的條件下，第2次又抽到紅球的概率（2）隨機(jī)變量X可能取的值為0，1，2，3，

15、4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列【詳解】（1）設(shè)“第次抽到紅球”為事件，“第次抽到紅球”事件，則“第次和次都抽到紅球”就是事件 （2）隨機(jī)變量可能取的值為，. 隨機(jī)變量的分布列為【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查條件概率計(jì)算公式、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題19、1 ，；2 ，證明見解析.【解析】（1）S1a1，由S2a1+a2求得S2，同理求得 S3，S1（2）由（1）猜想猜想，nN+，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n1時(shí)，猜想成立；假設(shè)，則當(dāng)nk+1時(shí)，由條件可得當(dāng)nk+1時(shí)，也成立，從而猜想仍然成立【詳解】；猜想

16、證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜上可知，對(duì)任意，由，知，等式對(duì)任意正整數(shù)都成立【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，證明nk+1時(shí)，是解題的難點(diǎn)20、（）（）猜想證明見解析【解析】分析：（1）直接給n取值求出，.(2)猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.詳解：（）令，則，又，解得；令，則，解得；令，則，解得.（）由（）猜想；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.由（）可知當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，則.那么當(dāng)時(shí)，由 ，所以，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和基本計(jì)算能力.(2) 數(shù)學(xué)歸納法

17、的步驟：證明當(dāng)n=1時(shí)，命題成立。證明假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.由得原命題成立.21、（1）n=(0,1，2)（2）直線AG與平面EFG所成角=arcsin（3）6【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，-2)，設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量n=(x,y，z)，由nEF(2)求出AG=(-8,2，2)，由sin=|cosAG,n(3)求出EA=(6,2，-4)，由點(diǎn)A到平面EFG的距離d=【詳解】(1)在正四棱錐P-BCD中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32，高OP=6E是側(cè)棱PD上的點(diǎn)且PE=13PD，F(xiàn)是側(cè)棱PAG是PBC的重心.如圖建立空間直角坐標(biāo)系D(0,-6,0)，P(0,0，6)，E(0,-2,4)，A(6,0，0)，B(0,6，0)，C(-6,0，0)，G(-2,2，2)，EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量n=(x,y，z)則nEF=3x+2y-z=0平面EFG的一個(gè)法向量n=(0,1，2)(2)AG=(-8,2，則sin=|直線AG與平面EFG所成角=arcsin(3