2022年吉林省長春實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（ ）個A1B2C3D42設(shè)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為ABCD3已知函數(shù).若不等式的解集中整數(shù)的個數(shù)為3，則的取值范圍是( )ABCD4為了解某社區(qū)居民的家庭年收入和年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)

2、查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入萬8.38.69.911.112.1支出萬5.97.88.18.49.8根據(jù)上表可得回歸直線方程，其中，元，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為16萬元家庭年支出為（ ）A12.68萬元B13.88萬元C12.78萬元D14.28萬元5曲線y=ex在A處的切線與直線xy+1=0平行，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A（1，e1）B（0，1）C（1，e）D（0，2）6某班有50人，從中選10人均分2組（即每組5人），一組打掃教室，一組打掃操場，那么不同的選派法有（ ）ABCD7袋中共有10個除了顏色外完全相同的球，其中有6個白球，4個紅球，從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰

3、有1個白球，1個紅球的概率為（）ABCD8已知橢圓，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為（ ）ABCD9若函數(shù)在時取得極值，則（ ）ABCD10某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)為；生產(chǎn)成本（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)為，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( )A9千臺B8千臺C7千臺D6千臺11已知，則，這上這2個數(shù)中（ ）A都大于2B都小于2C至少有一個不小于2D至少有一個不大于212已知函數(shù), ，若對,，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若正方體的表面積為，則它的外接球的表面積為_.14將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至

4、少一名，則不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）15把10個相同的小球全部放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的小球數(shù)不小于盒子的編號數(shù)，則不同的方法共有_種16曲線在x=1處的切線方程是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）我國2019年新年賀歲大片流浪地球自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注，受到了觀眾的普遍好評.假設(shè)男性觀眾認(rèn)為流浪地球好看的概率為，女性觀眾認(rèn)為流浪地球好看的概率為.某機(jī)構(gòu)就流浪地球是否好看的問題隨機(jī)采訪了4名觀眾（其中2男2女）.（1）求這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多的概率；（2）設(shè)表示這4名觀眾中認(rèn)為流

5、浪地球好看的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.18（12分）已知正四棱柱中，底面邊長為2，點(diǎn)在線段上.（1）求異面直線與所成角的大??；（用反三角函數(shù)值表示）（2）若直線平面所成角大小為，求多面體的體積.19（12分）某校從參加高二年級期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生，已知這名學(xué)生的歷史成績均不低于60分（滿分為100分）現(xiàn)將這名學(xué)生的歷史成績分為四組：，得到的頻率分布直方圖如圖所示，其中歷史成績在內(nèi)的有28名學(xué)生，將歷史成績在內(nèi)定義為“優(yōu)秀”，在內(nèi)定義為“良好”（）求實(shí)數(shù)的值及樣本容量；（）根據(jù)歷史成績是否優(yōu)秀，利用分層抽樣的方法從這名學(xué)生中抽取5名，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生的歷史

6、成績均優(yōu)秀的概率；（）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為歷史成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？男生女生合計(jì)優(yōu)秀良好20合計(jì)60參考公式及數(shù)據(jù)：（其中）.20（12分）袋中裝有10個除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是.（1）求白球的個數(shù)；（2）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.21（12分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形, ，,，為等邊三角形.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.22（10分）已知曲線 y = x3 + x2 在點(diǎn) P0 處的切線平行于直線4xy1=0，且點(diǎn) P0 在第三象限,求P0的坐標(biāo);若直線,

7、 且 l 也過切點(diǎn)P0 ,求直線l的方程.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】畫出函數(shù)的圖像如圖，由可得，則問題化為函數(shù)與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的個數(shù)問題。結(jié)合圖像可以看出兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)只有兩個，應(yīng)選答案B。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是依據(jù)題設(shè)條件，在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，借助圖像的直觀將方程的解的個數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的個數(shù)問題，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用。2、D【解析】分析：橢圓的右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，求解，再得出準(zhǔn)線方程詳解：橢圓的右焦點(diǎn)為，拋

8、物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，解得，得出準(zhǔn)線方程點(diǎn)睛：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程3、D【解析】將問題變?yōu)?，即有個整數(shù)解的問題；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，從而可得圖象；利用恒過點(diǎn)畫出圖象，找到有個整數(shù)解的情況，得到不等式組，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】由得：，即：令，當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，且，由此可得圖象如下圖所示：由可知恒過定點(diǎn)不等式的解集中整數(shù)個數(shù)為個，則由圖象可知：，即，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)求解參數(shù)取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為曲線和直線的位置關(guān)系問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式確定不等關(guān)系.4、A【解析】由已知求得，進(jìn)一步求得，得到線性回歸方程，取求

9、得值即可【詳解】，又，取，得萬元，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的求法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題5、B【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可確定點(diǎn)A的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則函數(shù)在處切線的斜率為：，切線與直線xy+1=0平行，則，解得：，切點(diǎn)坐標(biāo)為，即.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線，直線平行的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6、A【解析】根據(jù)先分組，后分配的原則得到結(jié)果.【詳解】由題意，先分組，可得，再一組打掃教室，一組打掃操場，可得不同的選派法有.故選A【點(diǎn)睛】不同元素的分配問題，往往是先分組再分配在分組時，通

10、常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組注意各種分組類型中，不同分組方法的求解7、C【解析】從袋中任取2個球，基本事件總數(shù)n所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球包含的基本事件個數(shù)m，利用古典概型公式可得所求【詳解】袋中共有10個除了顏色外完全相同的球，其中有6個白球，4個紅球，從袋中任取2個球，基本事件總數(shù)n1所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球包含的基本事件個數(shù)m24，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為p故選C【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題8、A【解析】利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求出直線方程【詳解】解

11、：設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦與橢圓 交于點(diǎn)，則，分別把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，兩式相減得：，直線的斜率，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為：，即，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題，屬于中檔題9、D【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在時取得極值，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在時取得極值，所以，解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型.10、B【解析】根據(jù)題意得到利潤關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)式，再由導(dǎo)數(shù)求得使利潤最大時的產(chǎn)量，即可求解出答案?！驹斀狻吭O(shè)利潤為萬元，則，令，得，令，得，當(dāng)時，取最大值，故為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)8千臺選B.【點(diǎn)睛】本題主要

12、考查了利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值來解決實(shí)際問題。11、C【解析】根據(jù)取特殊值以及利用反證法，可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，故A，B錯誤； 當(dāng)時，故D錯誤；假設(shè)，則，又，矛盾，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查反證法，正所謂“正難則反”，熟練掌握反證法的證明方法，屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】由題意得“對,，使成立”等價于“”，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立在中，由，解得令，則，（其中）由，解得，又，故，實(shí)數(shù)的取值范圍是選A點(diǎn)睛：（1）對于求或型的最值問題利用絕對值三角不等式更方便形如的函數(shù)只有最小值，形如的函數(shù)既有最大值又有最小值（2）求函數(shù)的最值時要根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)選擇相應(yīng)的方法，對于含有絕對值符號的函數(shù)求最值時，

13、一般采用換元的方法進(jìn)行，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的問題求解二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由正方體的外接球的直徑與正方體的棱長之間的關(guān)系求解.【詳解】由已知得正方體的棱長為，又因?yàn)檎襟w的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長，所以正方體的外接球的半徑，所以外接球的表面積，故得解.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球，屬于基礎(chǔ)題.14、36【解析】試題分析：將4人分成3組，再將3組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，考點(diǎn)：排列組合15、15【解析】將編號為的三個盒子中分別放入個小球，從而將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉细舭宸ǖ男问?，利用隔板法求解得到結(jié)果.【詳解】編號為的三個盒子中分別放入個小球，則還

14、剩個小球則問題可變?yōu)榍髠€相同的小球放入三個盒子中，每個盒子至少放一個球的不同方法的種數(shù)由隔板法可知共有：種方法本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查隔板法求解組合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠首先將問題轉(zhuǎn)化為符合隔板法的形式，隔板法主要用來處理相同元素的組合問題.16、【解析】分析：根據(jù)求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù)，再求出切線的斜率和切點(diǎn)的坐標(biāo)，代入點(diǎn)斜式方程化為一般式即可.詳解：由題意得，在處的切線的斜率是，且切點(diǎn)坐標(biāo)是，則在處的切線方程是：，即.故答案為：.點(diǎn)睛：1.對于曲線切線方程問題的求解，對曲線的求導(dǎo)是一個關(guān)鍵點(diǎn)，因此求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算原則要熟練掌握.2.對于已知的點(diǎn)，應(yīng)首先確定其是否為曲線的切點(diǎn)，進(jìn)

15、而選擇相應(yīng)的方法求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】設(shè)表示2名女性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù)，表示2名男性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù)，則，.(1) 設(shè)事件表示“這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多”，則,從而可得結(jié)果；(2)的可能取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率值，即可得到分布列與期望.【詳解】設(shè)表示2名女性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù)，表示2名男性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù)，則，.（1）設(shè)事件表示“這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多”，則, .（2）的可能取值為0，1，2，3，4， ，= ，, ，, ， ，的分布

16、列為01234.【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布XB(n

17、，p)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)np)求得.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用異面直線所成角的定義再結(jié)合正四棱柱中的性質(zhì)可得直線與所成的角即為所求然后在三角形利用余弦定理即可得解（2）由于多面體的不規(guī)則性故可利用因此需利用直線與平面所成角為來確定點(diǎn)的位置后問題就解決了【詳解】（1）連接則由于在正四棱柱中故異面直線與所成角即為直線與所成的角正四棱柱中，底面邊長為2，異面直線與所成角即為（2）正四棱柱中面，直線與平面所成角為，即多面體的體積為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角和幾何體體積的求解解題的關(guān)鍵是第一問要利用圖形的性質(zhì)將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線

18、所成的角；第二問對于不規(guī)則圖形體積的求解常采用規(guī)則圖形的體積差來求解（比如本題中的多面體的體積轉(zhuǎn)化為正三棱柱的體積減去三棱錐的體積）.19、（），；（）；（）詳見解析.【解析】（）根據(jù)頻率之和為1即可求出a的值，由歷史成績在內(nèi)的有名學(xué)生即可求出的值；（）根據(jù)分層抽樣具有按比例的性質(zhì)得出良好的有2人，優(yōu)秀有3人，通過列舉法求解概率；（）補(bǔ)充列聯(lián)表，算出，對比表格得出結(jié)論【詳解】（）由題可得，解得，又歷史成績在內(nèi)的有名學(xué)生，所以，解得（）由題可得，這名學(xué)生中歷史成績良好的有名，所以抽取的名學(xué)生中歷史成績良好的有名，歷史成績優(yōu)秀的有名，記歷史成績優(yōu)秀的名學(xué)生為，歷史成績良好的名學(xué)生為，從這名學(xué)生中隨

19、機(jī)抽取名，有，共10種情況，其中這名學(xué)生的歷史成績均優(yōu)秀的有，共種情況，所以這名學(xué)生的歷史成績均優(yōu)秀的概率為（）補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下表所示：男生女生合計(jì)優(yōu)秀204060良好202040合計(jì)4060100則的觀測值，所以沒有的把握認(rèn)為歷史成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)【點(diǎn)睛】本題屬于常規(guī)概率統(tǒng)計(jì)問題，屬于每年必考題型，主要涉及知識點(diǎn)有：頻率分布直方圖：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積為相應(yīng)區(qū)間的頻率，所以小正方形的面積之和為1；分層抽樣：按比例；系統(tǒng)抽樣：等距離；列聯(lián)表：會列列聯(lián)表，即判斷兩者是否有關(guān)聯(lián)20、（1）5個；（2）見解析.【解析】（1）設(shè)白球的個數(shù)為x，則黑球的個數(shù)為10 x，記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，則兩個都是黑球與事件A為對立事件，由此能求出白球的個數(shù)；（2）隨機(jī)變量X的取值可能為：0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列【詳解】（1）設(shè)白球的個數(shù)為x，則黑球的個數(shù)為10 x，記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，則,解得.故白球有5個.（2）X服從以10，5，3為參數(shù)的超幾何分布，.于是可得其分布列為:【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列,超幾何分布，求出離散型隨機(jī)變量取每個值的概率，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題21、 (1)略；(2)【解析】（1）推導(dǎo)出，從而