海涅定理在函數(shù)極限證明中的應(yīng)用

1、第13頁（共13頁）海涅定理在函數(shù)極限證明中的應(yīng)用摘 要：函數(shù)極限理論是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分。關(guān)于證明函數(shù)極限存在的方法探討具有十分重要的意義。本文給出了一些利用海涅定理證明函數(shù)極限存在性的應(yīng)用，將函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理。不僅給出了一類證明函數(shù)極限存在的方法，同時(shí)也加深了對(duì)函數(shù)極限和數(shù)列極限兩者間的關(guān)系的理解。關(guān)鍵詞：海涅定理；函數(shù)極限；數(shù)列極限Abstract: The limit theory of functions plays an important role in HYPERLINK javascript:void(0); mathematical analysis.

2、 Study on the method proving existence of function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existen

3、ce of function limit, but also deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit. Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨(dú)立定義的，但是兩者是有聯(lián)系的。而海涅定理就是溝通函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的橋梁。也是證明函數(shù)極限性質(zhì)和極限存在的判定定理的一個(gè)重要的理論指導(dǎo)，而且在關(guān)于函數(shù)的極限證明中也有應(yīng)用。除此之外還可以運(yùn)用海涅定理

4、優(yōu)化極限的運(yùn)算。其意義在于把函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理。海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關(guān)系。數(shù)列極限與函數(shù)極限其變量不管是離散地變化還是連續(xù)地變化，只要它們的變化趨勢(shì)相同，從極限的意義上來說，效果都是一樣的。因此，數(shù)列極限和函數(shù)極限在一定條件下能相互轉(zhuǎn)化，而能夠建立起這種聯(lián)系的就是海涅定理。近幾年，一些學(xué)者對(duì)海涅定理的應(yīng)用及推廣進(jìn)行了一系列的研究。此外，一些學(xué)者利用海涅定理來證明一些函數(shù)的性質(zhì)、優(yōu)化極限的運(yùn)算等，見參考文獻(xiàn)1-6。還有一些學(xué)者對(duì)海涅定理進(jìn)行進(jìn)一步推廣，見參考文獻(xiàn)7-10。根據(jù)文獻(xiàn) 6，8,10 對(duì)海涅定理進(jìn)行歸類整理的。1 預(yù)備知識(shí)定義1.1

5、函數(shù)在點(diǎn)的極限的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的附近（但可能除掉點(diǎn)本身）有定義，又設(shè)是一個(gè)定數(shù)。如果對(duì)任意給定的，一定存在，使得當(dāng)時(shí)，總有，我們就稱是函數(shù)在點(diǎn)的極限，記為 （或者記為）.這時(shí)也稱函數(shù)在點(diǎn)極限存在，其極限是。2 海涅定理的證明及推廣定理2.1 海涅定理 的充分必要條件為對(duì)任何以為極限的數(shù)列，都有。證明 先證必要性。由于，所以對(duì)任意的，存在，當(dāng)時(shí)，.但是，故對(duì)，又可得正整數(shù)，時(shí)， .因?yàn)?，故上面的不等式可改寫?.而對(duì)于適合這個(gè)不等式的，其函數(shù)值滿足 .亦即當(dāng)時(shí)，這個(gè)不等式成立，這也就證明了數(shù)列以為極限。再證充分性。用反證法，若，則對(duì)某一個(gè)，不能找到函數(shù)極限定義中的，也就是對(duì)任意的，都可以找到一

6、點(diǎn)，使得；特別地，若取為，得到 滿足，；，；，； 從左邊一列可以看出，而右邊一列卻說數(shù)列不以為極限，與假設(shè)矛盾。充分性得證。等價(jià)類型的海涅定理：定理2.2 設(shè)在上有定義則的充要條件是：對(duì)于任何以為極限的數(shù)列，都有。證明 先證必要性。因?yàn)椋瑒t得到對(duì)任意的，存在，當(dāng)時(shí)有.但是，故對(duì)，可得正整數(shù)，當(dāng)時(shí)有。又因?yàn)?。故上面的不等式可以改寫?亦即當(dāng)時(shí)，這個(gè)不等式成立，這也就證明了數(shù)列以為極限。再證充分性。用反證法，假設(shè)，則對(duì)于某一個(gè)，不能找到函數(shù)極限定義中的，也就是對(duì)任意都能找到一個(gè)點(diǎn)時(shí)，使得。特別地，當(dāng)取時(shí)，得到適合， 從左邊一列可以看出，而右邊一列卻說數(shù)列不以 為極限，與假設(shè)矛盾。充分性得證。 定理

7、2.3 設(shè)在的某一鄰域內(nèi)有定義，則函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列，都有。定理2.4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心右鄰域有定義，則的充要條件是：對(duì)任何以為極限的單調(diào)遞減數(shù)列，都有。定理2.5 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心左鄰域有定義，則的充要條件是：對(duì)任何以為極限的單調(diào)遞增數(shù)列，都有。3 海涅定理的應(yīng)用3.1 利用海涅定理對(duì)函數(shù)極限運(yùn)算法則、性質(zhì)及判定定理等的證明對(duì)于一些函數(shù)極限的性質(zhì)和定理等，無法用函數(shù)極限的定義證明或用函數(shù)的定義證明比較復(fù)雜時(shí)，就可以利用海涅定理將函數(shù)轉(zhuǎn)化成數(shù)列來證明。例3.1 若與且皆存在，則有.證明 設(shè)，.又設(shè)是任意一個(gè)含于函數(shù)的定義域且以為極限的數(shù)列。那么 .由海涅定

8、理的必要性可得 .而根據(jù)數(shù)列極限的運(yùn)算法則有.又由于數(shù)列的任意性和定理2.1的充分性得.例3.2 證明：若對(duì)任意的有 ，且.則。證明 任作一數(shù)列，且，則由海涅定理知 .因?yàn)?，所?所以由數(shù)列極限的迫斂性知 .又由海涅定理的充分性知存在且收斂于。例3.3 若極限存在，則此極限是唯一的。證明 設(shè)和都是當(dāng)時(shí)的極限，即.作數(shù)列且，由海涅定理知 且.由數(shù)列極限存在唯一性知。3.2 利用函數(shù)的性質(zhì)及海涅定理求數(shù)列的極限對(duì)于求數(shù)列的極限，有時(shí)直接求不好求，就可先求與之相對(duì)應(yīng)的函數(shù)極限，再利用函數(shù)的性質(zhì)和海涅定理求出數(shù)列的極限。1）求含有三角函數(shù)的數(shù)列極限例3.4 求極限。解 因?yàn)樵谔庍B續(xù)。當(dāng)，。 由海涅定理

9、可知.例3.5 求極限。解 設(shè)，當(dāng)時(shí)，有。由海涅定理可知，如果 存在，則一定有 .下面我們先求 。因?yàn)?又因?yàn)?，.所以.再由海涅定理得 .2）求帶有積分的數(shù)列的極限例3.6 求極限。解 因?yàn)?所以要求，只要能求出即可。由海涅定理可知 .再由洛必達(dá)法則可得 .所以.故.3） 求帶有抽象函數(shù)的數(shù)列極限例3.7 設(shè)，。求。解 由海涅定理可知 .由導(dǎo)數(shù)的定義.令，當(dāng)時(shí)，于是就有 .所以.4.3 利用海涅定理判斷級(jí)數(shù)斂散性級(jí)數(shù)實(shí)質(zhì)是一個(gè)和式的極限，因此運(yùn)用海涅定理及其推論去判斷常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是一種有效的方法。例3.8 判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解 構(gòu)造函數(shù).當(dāng)時(shí)，經(jīng)Taylor展開為 .因?yàn)闀r(shí)，.所以當(dāng)時(shí)

10、，.即當(dāng)時(shí)，與為同階無窮小，或。令，由海涅定理有.因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，由第2比較準(zhǔn)則，所以級(jí)數(shù)收斂。而.故收斂。3.4 海涅定理在判斷常量函數(shù)中的應(yīng)用1）判斷當(dāng) 時(shí)，的極限為的周期函數(shù)是否為常量函數(shù)例3.9 證明若為上的周期函數(shù)，且，則。證明 假設(shè)，則存在，使。又因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)，不妨設(shè)為，記，則.由作法知 . （3.1）又因?yàn)?，由海涅定理?這與（3.1）矛盾，故。2）給出函數(shù)之間的關(guān)系，判斷函數(shù)為常量函數(shù)例3.10 設(shè)函數(shù)在上滿足方程，且，證明。證明 假設(shè)函數(shù)在上不恒為，則必存在一點(diǎn)，使得。又因 滿足方程，于是得到數(shù)列，故 . （3.2）又因及，所以由海涅定理有 .這與（3.2）矛盾。因此，。3.

11、5 利用海涅定理證明某些函數(shù)極限不存在即若可找到一個(gè)以為極限的數(shù)列，使不存在；或找到兩個(gè)都以為極限的數(shù)列與數(shù)列，使與都存在而不相等，則不存在。例 3.11 證明不存在。證明 取數(shù)列，。則。易知，.由海涅定理可知不存在.例3.12 證明函數(shù)在點(diǎn)0不存在極限。證明 取 ，.顯然.則有，.從而，.于是，函數(shù)在點(diǎn)0處不存在極限。3.6 利用海涅定理判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性利用海涅定理，可求得函數(shù)差、商的極限，從而可判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性。例3.13 證明函數(shù)（其中為常數(shù)，且，為Dirichlet 函數(shù)）在原點(diǎn)可導(dǎo)而在其他點(diǎn)處不可導(dǎo)。證明 因?yàn)?所以在處可導(dǎo)且，當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列是大于且趨于的有理數(shù)列，數(shù)列是大

12、于且趨于的無理數(shù)列。于是當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，因?yàn)?而.故由海涅定理可知，在無理點(diǎn)處不可導(dǎo)。當(dāng)為非零有理數(shù)時(shí)，因?yàn)?而.故由海涅定理可知，在有理點(diǎn)處也不可導(dǎo)，所以只在原點(diǎn)可導(dǎo)，而在其他點(diǎn)處不可導(dǎo)。4 結(jié)束語海涅定理作為函數(shù)極限和數(shù)列極限的橋梁。將函數(shù)與數(shù)列之間進(jìn)行互換，使其運(yùn)用最簡(jiǎn)便的方法得出極限。即根據(jù)海涅定理的必要性，可以將函數(shù)極限化為函數(shù)值數(shù)列的極限；根據(jù)海涅定理的充分性，又能夠把數(shù)列極限的性質(zhì)轉(zhuǎn)移到函數(shù)極限上來。本文主要就是根據(jù)不同的文獻(xiàn)，將常見的用海涅定理求極限的類型歸納分類整理。參考文獻(xiàn)：1 歐陽光中, 朱學(xué)炎, 金福臨等. 數(shù)學(xué)分析M. 北京：高等教育出版社, 2007.2 程其襄. 數(shù)學(xué)分析M. 北京：高等教育出版社, 1990.3 王曉敏, 李曉奇, 惠興杰等. 數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)方法與解題指導(dǎo)M. 沈陽：東北大學(xué)出版社, 2006.4 斯坎得爾伊布拉音,艾斯卡爾阿布力米提. H.E.Heine 定理的應(yīng)用J. 新疆教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2009, 25(4): 114-115.5 鮮思東. Heine定理在極限判別及運(yùn)算中的應(yīng)用J. 重慶郵電學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）, 2006,18(1): 139-140.6 王淑云. 歸結(jié)原則在證明函數(shù)為常量函數(shù)上的應(yīng)用J. 山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,24(4): 11-12.7 王振芳, 周寶明. 海涅（Heine）定理