關(guān)于二次型的教學(xué)體會課件

1、關(guān)于“二次型”的教學(xué)體會廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 杜妮2010年4月于三明學(xué)院合同標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用正交相似標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用 二次型的教學(xué)內(nèi)容分析一.二次型的教學(xué)內(nèi)容分析 以下我們列舉幾個在二次型教學(xué)中應(yīng)該注意的一些問題1、二次型與相伴矩陣 定義這里A=AKnn,XKn1.A稱為f 的相伴矩陣.數(shù)域K上n元二次型 數(shù)域K上n階對稱矩陣.注 特別強(qiáng)調(diào)相伴矩陣寫法的唯一性.注： 此處強(qiáng)調(diào)通過非退化的線性替換，聯(lián)系習(xí)題：設(shè)實(shí)二次型其中 證明 f 的正慣性指數(shù)pk.3、正定矩陣的等價說法 定理: A =ARnn, 則下列條件等價: (1) A是正定陣. (2) 對任意0XRn1 , 有XAX 0. (3) 存在可逆

2、陣PRnn, 使得PAP = In. (4) 存在可逆陣PRnn, 使得A = PP. (5) A的正慣性指數(shù)p = n. (6) A的所有主子式 0. (7) A的所有順序主子式 0. (8) A的所有特征值 0. (注明第九章中證明) 注：此處配合舉例說明，使學(xué)生靈活掌握等價條件.二、合同標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用 1、應(yīng)用合同標(biāo)準(zhǔn)型簡化二次型和對稱矩陣的有關(guān)問題2、反對稱陣的合同標(biāo)準(zhǔn)型 設(shè) f (x1,xn) = XAX是K上n元二次型, 作非退化線性替換X=CY, 其中C是K上的n階可逆陣, 則f ( x1,xn ) = YCACY = g( y1,yn ).定義: A , BKnn , B與 A稱

3、為合同的,如果存在n階可逆陣C, 使B = CAC.例: 復(fù)數(shù)域上任一n階對稱方陣A, 必存在n階方陣矩陣T, 使得A=TT且r (T) = r (A).例:設(shè) f 是實(shí)二次型, 其相伴矩陣為A, 若|A|0, 證明: 必存在一組實(shí)數(shù) , 使1、對稱陣的合同標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用例:設(shè)A是反對稱陣, 即A= -ACnn, 則A必合同于2、反對稱陣的合同標(biāo)準(zhǔn)型例: 若A是實(shí)反對稱陣, 則A的行列式總是非負(fù)實(shí)數(shù). 例: 元素全是整數(shù)的反對稱矩陣的行列式一定是某個整數(shù)的平方. 反對稱陣的合同標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用三、實(shí)對稱陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)型 1、應(yīng)用正交相似標(biāo)準(zhǔn)型估計(jì)矩陣的特征值2、“同時對角化”問題定理:設(shè) 是n元實(shí)二次型, 是A的所有特征值, 則必存在正交線性替換 為正交陣, 使 f 的正慣性指數(shù)等于A的正特征值個數(shù), f 的負(fù)慣性指數(shù)等于A的負(fù)特征值個數(shù), f 的秩等于A的非零特征值的個數(shù).例: 設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣， 是其所有特征值, 則對任意 , 都有例:設(shè)A,B是n階實(shí)對稱矩陣，其特征值分別是 則A+B的特征值全落在 中.1、應(yīng)用正交相似標(biāo)準(zhǔn)型估計(jì)矩陣的特征值例: 證明: n維歐氏空間V的自伴隨算子 有公共由它們的特征向量組成的標(biāo)準(zhǔn)正交基的