信號(hào)與系統(tǒng)分析

1、第2章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析 重點(diǎn)：線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解沖激響應(yīng)h(t)的求解卷積的圖解說(shuō)明卷積的性質(zhì)零狀態(tài)響應(yīng)=f(t)* h(t)2.1 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(LTI)的數(shù)學(xué)模型1.由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建立數(shù)學(xué)模型根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。 元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻，電容，電感各自的電壓與電流的關(guān)系，以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL,KVL.()tisRRiLLiCciab+-()tv電感電阻電容根據(jù)KCL代入上面元件伏

2、安關(guān)系，并化簡(jiǎn)有 這是一個(gè)代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。 求并聯(lián)電路的端電壓 與激勵(lì) 間的關(guān)系。 這是一個(gè)代表機(jī)械位移系統(tǒng)的二階微分方程。 兩個(gè)不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型，都是線性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，則可以用高階微分方程表示。 msF機(jī)械位移系統(tǒng)，其質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力為 ，外加牽引力為 ，其外加牽引力 與剛體運(yùn)動(dòng)速度 間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為sF2.由系統(tǒng)模擬框圖建立數(shù)學(xué)模型y(t)f(t)-如圖所示系統(tǒng)中含有兩個(gè)積分器,兩個(gè)倍乘器,一個(gè)加法器.在P端和Q端分別滿足以下關(guān)系式:加法器的輸出端滿足:由此,該

3、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型: 一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào) 與響應(yīng)信號(hào) 之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來(lái)描述若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則a，b均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階次：方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述2.2 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)： 沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。 不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。 零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)響應(yīng)求解方法1. 經(jīng)典時(shí)域分析方法:求解微分方程2.卷積法:系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)求解齊次微分方程得到零輸入響應(yīng)利用卷

4、積積分可求出零狀態(tài)響應(yīng) 齊次解：由特征方程求出特征根寫(xiě)出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式代入原方程，比較系數(shù)定出特解。經(jīng)典法 全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解 特征根為齊次解解 ：1)求齊次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齊次解yh(t)特征方程為已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程初始條件y(0)=1, y(0)=2, 輸入信號(hào)為號(hào) ,求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)。2) 求非齊次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)解得 A=5/2，B= -11/6由輸入f (t)的形式，設(shè)方程的特

5、解為yp(t)=Ce-t將特解代入原微分方程即可求得常數(shù)C=1/3。3) 求方程的全解幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解激勵(lì)函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解討論1) 若初始條件不變，輸入信號(hào) f(t) = sin t (t)，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t) =？2) 若輸入信號(hào)不變，初始條件y(0)=0, y(0)=1, 則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)=？卷積法系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng) 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。數(shù)學(xué)模型:求解方法： 根據(jù)微分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式再由初始條件確定待定系數(shù)。 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

6、y(0-)=1，y(0-)= 3，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)。解： 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為（兩相等實(shí)根） y(0-)=yzi(0-)=K1=1; y(0-)= yzi(0-)= -2K1+K2 =3 解得 K1 =1, K2=5卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)的思路1) 將任意信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)的線性組合。 2) 求出單位沖激信號(hào)作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng) 單位沖激響應(yīng)h(t) 。 3) 利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，求出單位沖激信號(hào)線性組合作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)，即系統(tǒng)在任意信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t) 。2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)1.沖激響應(yīng)系統(tǒng)在單位沖激信號(hào) 作用

7、下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。 定義 列系統(tǒng)微分方程：求下圖RC電路的沖激響應(yīng).（條件： ）沖激 在 時(shí)轉(zhuǎn)為系統(tǒng)的儲(chǔ)能（由 體現(xiàn)），t0時(shí)，在非零初始條件下齊次方程的解，即為原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。 齊次方程(1)直接計(jì)算單位沖激信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)特征方程特征根即:據(jù)方程可設(shè)求下圖RC電路的沖激響應(yīng).（條件： ）a.直接法由于t0+后, 方程右端為零, 故nm時(shí)nm時(shí), 為使方程兩邊平衡, h(t)應(yīng)含有沖激及其高階導(dǎo)數(shù),即將h(t)代入微分方程，使方程兩邊平衡,確定系數(shù)Ki ， Ai(2)從系統(tǒng)的微分方程求解沖激響應(yīng) 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

8、 試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：當(dāng)f (t)=d(t)時(shí), y(t)=h(t), 即動(dòng)態(tài)方程式的特征根s=-3, 且nm, 故h(t)的形式為解得A=2 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：當(dāng)f (t)=d(t)時(shí), y(t)=h(t), 即動(dòng)態(tài)方程式的特征根s= -6, 且n=m, 故h(t)的形式為解得A= -16, B =3直接法小結(jié)1)由系統(tǒng)的特征根來(lái)確定u(t)前的指數(shù)形式.2) 由動(dòng)態(tài)方程右邊d(t)的最高階導(dǎo)數(shù)與方程左邊h(t)的最高階導(dǎo)數(shù)確定d (j)(t)項(xiàng).b.間接法人為假設(shè)描述n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程右側(cè)只有一項(xiàng)，為則有當(dāng) 時(shí)，由因果性為保證等式兩邊平

9、衡，只能是第n階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)包含沖激函數(shù) 。而且只有一項(xiàng)。這時(shí)則n-1階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)包含 ，而n-2階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)包含 ,當(dāng) 時(shí)，由于 將是一個(gè)特殊的零輸入響應(yīng)，它取決于 時(shí)的n個(gè)初始條件。 在t=0處，只有 是不連續(xù)的，而其余的如 等都是連續(xù)的，因而 的低于n-1階導(dǎo)數(shù)在t=0處是連續(xù)的。即 是一族很有用的函數(shù)。只有注對(duì)上述微分方程兩邊取積分上式左邊只第一項(xiàng)不為零，其他項(xiàng)為零單位沖激信號(hào)引起的t=0+時(shí)的n個(gè)初始條件為 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：當(dāng)f (t)=d(t)時(shí), 即動(dòng)態(tài)方程式的特征根s= -6, 故h0(t)的形式為解得A= 1求解方法:1)求解微分方程2)利用單位

10、沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系2.階躍響應(yīng) 求例1所述系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g(t)。例1系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為解：利用單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系，可得2.4 信號(hào)的時(shí)域分解和卷積積分1.信號(hào)的時(shí)域分解當(dāng)0時(shí)，k，d，且由時(shí)不變特性由均勻特性由積分特性2.零狀態(tài)響應(yīng)的確定卷積積分 已知某LTI系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為y(t)+3y(t)=2f(t)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng) , .試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。解：卷積的定義：1）將f(t)和h(t)中的自變量由t改為，成為函數(shù)的自變量；卷積的計(jì)算步驟：2）把其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)、平移；3）將f(t) 與h(t- t)相乘；對(duì)乘積后的圖形積分。3.卷積的圖解和卷

11、積積分限的確定計(jì)算y(t) = p1(t) * p1(t)。a) - t -1b) -1 t 0y(t)=0c) 0 t 1d)1 t y(t)=02.5 卷積積分的運(yùn)算規(guī)律及性質(zhì)1.運(yùn)算規(guī)律 y(t)y(t)一個(gè)單位沖激響應(yīng)是 的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào) 所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是 的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào) 所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。(1)交換律 一個(gè)系統(tǒng)有若干LTI系統(tǒng)的并聯(lián)構(gòu)成，則系統(tǒng)總的單位沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和。 + y(t)y(t)(2)分配律 h1(t) h2(t) w(t)y(t)y(t)(3)結(jié)合律從系統(tǒng)的觀點(diǎn)解釋：一個(gè)系統(tǒng)是由若干LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)所構(gòu)成，則系統(tǒng)總的單位

12、沖激響應(yīng)等于各個(gè)LTI子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積. 2.卷積性質(zhì)(1)時(shí)移性 證明 :式子(2-62)說(shuō)明當(dāng)輸入信號(hào)延時(shí) ,再與沖激響應(yīng)卷積時(shí),其結(jié)果是時(shí)移前兩信號(hào)卷積的延時(shí),并也延時(shí)相同的時(shí)間(2)微分性 證明 :同理可證微分特性說(shuō)明信號(hào)微分一次后與另一信號(hào)的卷積積分 ,等于兩信號(hào)卷積積分后再對(duì)t 微分一次.同理,若微分兩次或者多次,也有相同的結(jié)果.(3)積分性 (4)微積分性質(zhì) 如果將微分,積分性質(zhì)同時(shí)應(yīng)用,則有可以推廣得到一般形式注當(dāng)n=m的時(shí)候?(5)與沖激函數(shù)的卷積性質(zhì) 利用沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)和 卷積運(yùn)算的 交換律，可以得到 利用位移特性及 (t) * (t)= r(t) ，計(jì)算y(t) = f(t) * h(t)y(t) = f(t) * h(t) = (t) - (t-1) * (t) - (t-2) = (t)* (t) - (t-1)* (t) - (t)* (t-2) + (t-1)* (t-2)= r(t) - r(t-2) r(t -1) + r(t-3)1：已知 y(t) = f1(t) * f2(t) ，求y(t)。解：y(t)=y(t) * d (t) = f1(t) * f2(t) * d (t)2：已知 y(t) = f1(t) * f2(t)， 求y(-1)(t)。解：y(-1)(t)=y