兩角和、差及倍角公式

1、兩角和、差及倍角公式兩角和、差及倍角公式兩角和、差及倍角公式【教材基礎(chǔ)回顧】1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(-):cos(-)=_.C(+):cos(+)=_.S(+):sin(+)=_.S(-):sin(-)=_.cos cos +sin sin cos cos -sin sin sin cos +cos sin sin cos -cos sin 【教材基礎(chǔ)回顧】cos cos +sin sin cT(+):tan(+)=_(,+ +k,kZ).T(-):tan(-)=_(,- +k,kZ).T(+):tan(+)=_(2.二倍角的正弦、余弦、正切公式S2:sin 2=_.C2:co

2、s 2=_=_=_.T2:tan 2=_( +k,且k+ ,kZ).2sin cos cos2-sin22cos2-11-2sin22.二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin cos cos【金榜狀元筆記】1.一組重要關(guān)系【金榜狀元筆記】2.四個(gè)必備結(jié)論(1)降冪公式:cos2= ,sin2=(2)升冪公式:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2.(3)公式變形:tan tan =tan()(1tan tan ).2.四個(gè)必備結(jié)論(4)輔助角公式:asin x+bcos x= sin(x+) (其中sin = ,cos = )(4)輔助角公式:asin x+bcos x= 【教材

3、母題變式】1.若cos =- ,是第三象限的角,則sin =()【教材母題變式】【解析】選C.因?yàn)閏os =- ,是第三象限的角,所以sin = 所以【解析】選C.因?yàn)閏os =- ,是第三象限的角,所2.若sin 80=m,則用含m的式子表示cos 5=_.【解析】因?yàn)閟in 80=m,所以cos 10=m,所以cos 5=答案: 2.若sin 80=m,則用含m的式子表示cos 5=_3.函數(shù)y=sin +cos 2x的最小正周期為_,單調(diào)遞增區(qū)間為_,最大值為_.3.函數(shù)y=sin +cos 2x的最小正周期為_【解析】因?yàn)閥=sin( -2x)+cos 2x故函數(shù)y=sin( -2x)

4、+cos 2x的最小正周期為 =,由2k-2x+ 2k,kZ,得k- xk- ,kZ,故單調(diào)遞增區(qū)間為最大值為 .【解析】因?yàn)閥=sin( -2x)+cos 2x答案: 答案: 4.(2017全國卷)已知sin -cos = ,則sin 2=()【解析】選A.sin 2=2sin cos =4.(2017全國卷)已知sin -cos = 【母題變式溯源】題號(hào)知識(shí)點(diǎn)源自教材1兩角和的正弦公式P129例32倍角公式P143B組T23三角函數(shù)的性質(zhì)P142T44倍角公式P135T2【母題變式溯源】題號(hào)知識(shí)點(diǎn)源自教材1兩角和的正弦公式P129考向一 兩角和、差及倍角公式的直接應(yīng)用【典例1】(1)(20

5、17全國卷)函數(shù)f(x)= 的最大值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)12560105()考向一 兩角和、差及倍角公式的直接應(yīng)用(2)(2018撫順模擬)已知函數(shù)f(x)=2cos (其中0)的最小正周期為10.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)12560106求的值.設(shè),求cos(+)的值.(2)(2018撫順模擬)已知函數(shù)f(x)=2cos 【解析】(1)選A.由兩角和差公式得f(x)= 因?yàn)?1sin 1,故函數(shù)f(x)的最大值為【解析】(1)選A.由兩角和差公式得【巧思妙解】選A.由于所以則f(x)= 因?yàn)?1sin 1,故函數(shù)f(x)的最大值為 .【巧思妙解】選A.由于(2)由于函數(shù)f(x)的最小正周期為10,所以10

6、= ,所以= .由知f(x)=2cos又因?yàn)樗运詓in =(2)由于函數(shù)f(x)的最小正周期為10,又因?yàn)樗运詂os =又因?yàn)? ,所以所以cos(+)=cos cos -sin sin 又因?yàn)椤炯挤c(diǎn)撥】應(yīng)用三角公式化簡求值的策略(1)使用兩角和、差及倍角公式,首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律.例如兩角差的余弦公式可簡記為:“同名相乘,符號(hào)反”.【技法點(diǎn)撥】(2)使用公式求值,應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用.(3)使用公式求值,應(yīng)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用.(2)使用公式求值,應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的【同源異考金榜原創(chuàng)】1.若ta

7、n =- ,則cos 2=()【解析】選D.因?yàn)閏os 2=cos2-sin2= 又tan =- ,所以代入上式可得【同源異考金榜原創(chuàng)】2.已知角與角均以x軸的非負(fù)半軸為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,且角的終邊與單位圓交于點(diǎn) 則cos(-)=_.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)125601072.已知角與角均以x軸的非負(fù)半軸為始邊,它們【解析】由題意知,cos = ,sin = ,又因?yàn)?的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,故sin =sin = ,cos =-cos = ,所以cos(-)=cos cos +sin sin =答案:- 【解析】由題意知,cos = ,sin = ,考向二 兩角和、差及倍角公式的逆用和變形用【

8、典例2】(1)計(jì)算 的值為()考向二 兩角和、差及倍角公式的逆用和變形用(2)計(jì)算:cos(+)cos +sin(+)sin =()A.sin(+2) B.sin C.cos(+2) D.cos (3)計(jì)算:tan 25+tan 35+ tan 25tan 35=_.(2)計(jì)算:cos(+)cos +sin(+)si【解析】(1)選B.原式=(2)選D.原式=cos(+)-=cos .【解析】(1)選B.原式=(3)原式=tan(25+35)(1-tan 25tan 35)+ tan 25tan 35= (1-tan 25tan 35)+ tan 25tan 35= .答案: (3)原式=ta

9、n(25+35)(1-tan 25ta【一題多變】本例(3)中的式子“tan 25+tan 35+ tan 25tan 35”若換為“tan +tan(60-)+ tan tan(60-)”,其結(jié)論又如何呢?【解析】原式=tan+(60-)1-tan tan(60-)+ tan tan(60-)= .【一題多變】本例(3)中的式子“tan 25+tan 35【技法點(diǎn)撥】兩角和、差及倍角公式的逆用和變形用的應(yīng)用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同,創(chuàng)造條件逆用公式.【技法點(diǎn)撥】(2)和差角公式變形:sin sin +cos(+)=cos cos ,cos sin +sin(-)=si

10、n cos ,tan tan =tan()(1tan tan).(3)倍角公式變形:降冪公式.(2)和差角公式變形:【拓展】1sin = 1+cos =2cos2 ,1-cos =2sin2 .提醒:tan tan ,tan +tan (或tan -tan ),tan(+)(或tan(-)三者中可以知二求一,且常與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合命題.【拓展】1sin = 1+cos 【同源異考金榜原創(chuàng)】1.cos2 -sin2 =_.【解題指南】根據(jù)倍角公式求解.【解析】由題可知,cos2 -sin2 =答案: 【同源異考金榜原創(chuàng)】2.計(jì)算: =_.【解析】原式=tan (45-15)=tan

11、 30=答案: 2.計(jì)算: =_.考向三 兩角和、差及倍角公式的靈活應(yīng)用 高頻考點(diǎn)考向三 兩角和、差及倍角公式的靈活應(yīng)用 【典例3】(1)(2018南充模擬)已知 , ,且cos = ,cos(+)=- ,則sin =_.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)12560108(2)(2016全國卷)若 則sin 2=()【典例3】(1)(2018南充模擬)已知 ,【解析】(1)因?yàn)橐阎?, ,且cos = ,cos(+)=所以sin =sin(+)=則sin =sin(+)-【解析】(1)因?yàn)橐阎?, ,且=sin(+)cos -cos(+)sin 答案: =sin(+)cos -cos(+)sin (2)選D.因?yàn)?/p>

12、(2)選D.因?yàn)椤炯挤c(diǎn)撥】三角公式應(yīng)用中變“角”與變“名”問題的解題思路(1)角的變換:明確各個(gè)角之間的關(guān)系(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角),熟悉角的變換技巧,及半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化,如:2=(+)+(-),=(+)-=(-)+,40=60-20,( +)+( -)= ， =2 等.【技法點(diǎn)撥】(2)名的變換:明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系,常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式,把正弦、余弦化為正切,或者把正切化為正弦、余弦.提醒:轉(zhuǎn)化思想是實(shí)施三角變換的主導(dǎo)思想,恒等變形前需清楚已知式中角的差異、函數(shù)名稱的差異、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異,尋求聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.(2)名的變換:明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)

13、系,常常用到同角【同源異考金榜原創(chuàng)】命題點(diǎn)1三角公式應(yīng)用中的變“角”問題1.若tan(+)= , 則tan 的值為_.【同源異考金榜原創(chuàng)】【解析】答案: 【解析】命題點(diǎn)2三角公式應(yīng)用中的變“名”問題2.已知sin 2= ,則cos2 =()世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)12560109【解析】選D. 命題點(diǎn)2三角公式應(yīng)用中的變“名”問題核心素養(yǎng)系列（二十二）邏輯推理三角恒等變換中的核心素養(yǎng)邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程,主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納與類比,另一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹.核心素養(yǎng)系列（二十二）【典例】已知:tan 10tan 20+tan 20tan 60+tan 60tan 10=1,tan 5tan 10+tan 10tan 75+tan 75tan 5=1,tan 20tan 30+tan 30tan 40+tan 40tan 20=1成立.由此得到一個(gè)由特殊到一般的推廣.此推廣是什么?并證明.【典例】已知:tan 10tan 20+tan 20【解析】觀察到:10+20+60=90,5+75+10=90,20+30+40=90,猜想此