新教材人教A版選擇性必修第三冊(cè)-課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)六-二項(xiàng)式定理-課件(40張)

1、六二項(xiàng)式定理【基礎(chǔ)練】(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1. 2n+ 2n-1+ 2n-k+ 等于()A.2nB.2n-1C.3nD.1【解析】選C.原式=(2+1)n=3n.2.(2017全國(guó)卷) (1+x)6展開式中x2的系數(shù)為()A.15B.20C.30D.35【解析】選C. (1+x)6展開式中含x2的項(xiàng)為1 =30 x2,故x2的系數(shù)為30.【類題通】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問(wèn)題,用第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng),分析含x2的項(xiàng)共有幾項(xiàng),進(jìn)行相加即可.這類問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況,尤其是兩個(gè)二項(xiàng)展開式中的r不同.3.在( )12的展

2、開式中,含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有()A.4項(xiàng)B.3項(xiàng)C.2項(xiàng)D.1項(xiàng)【解析】選B.( )12的展開式的通項(xiàng)為Tr+1= 為正整數(shù),有3項(xiàng),即r=0,r=6,r=12.4.(2020廣州高二檢測(cè))若 的展開式中常數(shù)項(xiàng)等于-20,則a=()A. B.- C.1D.-1【解析】選C. 的展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1= (ax)6-k =(-1)ka6-k x6-2k.當(dāng)k=3時(shí),常數(shù)項(xiàng)為(-1)3a3 =-20,解得a=1.二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2020全國(guó)卷) 的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_(用數(shù)字作答).【解析】因?yàn)門r+1= x2(6-r)2rx-r=2r x12-3r,由12-3r=0

3、,得r=4,所以 的展開式中常數(shù)項(xiàng)是: 24= 16=1516=240,故常數(shù)項(xiàng)為240.答案:2406.(2020天津高二檢測(cè)) 的展開式中, 項(xiàng)的系數(shù)為_.【解析】因?yàn)槎?xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1= (2 )6-k = (-1)k26-kx3-k;令3-k=-1,所以k=4;故展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)為 22=60.答案:60三、解答題(每小題10分,共20分)7.已知在 的展開式中,第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比是143.(1)求n;(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).【解析】(1)依題意有 =143,化簡(jiǎn),得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(不合題意,舍去),所

4、以n的值為10.(2)通項(xiàng)公式為Tk+1= (-1)k =(-1)k ,由題意得 解得k=2,5,8,所以第3項(xiàng)、第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng),它們分別為 x2, , x-2.8.設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是19(m,nN*).(1)求f(x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值.(2)當(dāng)f(x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值時(shí),求f(x)的展開式中含x7項(xiàng)的系數(shù).【解析】(1)由題設(shè)知m+n=19,所以m=19-n,含x2項(xiàng)的系數(shù)為 = =n2-19n+171=(n- )2+ .因?yàn)閚N*,所以當(dāng)n=9或n=10時(shí),x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值為 + =81.(2)當(dāng)n=9

5、,m=10或n=10,m=9時(shí),x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值,此時(shí)x7項(xiàng)的系數(shù)為 =156.【能力練】 (15分鐘30分)1.(5分)(2020昆明高二檢測(cè)) 的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為()A.1B.3C.4D.13【解析】選D.由于 表示4個(gè)因式 的乘積,故展開式中的常數(shù)項(xiàng)可能有以下幾種情況:所有的因式都取1;有2個(gè)因式取 ,一個(gè)因式取1,一個(gè)因式取 ;故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為1+ =13.2.(5分)(多選題)若 的展開式中存在常數(shù)項(xiàng),則n的取值可以是()A.3B.4C.5D.6【解析】選BD. 的展開式中通項(xiàng)公式:Tk+1= xn-k = (-1)kxn-2k.因?yàn)榇嬖诔?shù),所以n-2k=0,即n=2k,

6、n,kN*.則n的值可以是4,6.3.(5分)(2020天津高二檢測(cè))將(3+x)n的展開式按照x的升冪排列,若倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)是90,則n的值是_.【解析】將(3+x)n的展開式按照x的升冪排列,則倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)是 32=90,求得n=5(負(fù)值舍去).答案:54.(5分)(2019浙江高考)在二項(xiàng)式( +x)9的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是_,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_.【解析】展開式通項(xiàng)是:Tr+1= ( )9-rxr,所以常數(shù)項(xiàng)是T1= ( )9=16 ,若系數(shù)為有理數(shù),則9-r為偶數(shù),所以r為奇數(shù),所以r可取1,3,5,7,9.答案:16 55.(10分)已知f(x)=(1+x)m,g(x)=

7、(1+2x)n(m,nN*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展開式含x2的項(xiàng).(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展開式中x的項(xiàng)的系數(shù)為12,那么當(dāng)m,n為何值時(shí),含x2的項(xiàng)的系數(shù)取得最小值?【解析】(1)當(dāng)m=3,n=4時(shí),f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3展開式的通項(xiàng)為 xr,(1+2x)4展開式的通項(xiàng)為 (2x)r,f(x)g(x)的展開式含x2的項(xiàng)為1 (2x)2+ x (2x)+ x21=51x2.(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因?yàn)閔(x)的展開式中x的項(xiàng)的系數(shù)為12,所以 +2 =12,即m+2n

8、=12,所以m=12-2n.x2的系數(shù)為 = (12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4 ,nN*,所以n=3,m=6時(shí),x2的項(xiàng)的系數(shù)取得最小值.【培優(yōu)練】1.若(x+a)2 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為-1,則a的值為_.【解析】由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而 的展開式通項(xiàng)為Tk+1=(-1)k xk-5,其中k=0,1,2,5.于是 的展開式中x-2的系數(shù)為(-1)3 =-10,x-1項(xiàng)的系數(shù)為(-1)4 =5,常數(shù)項(xiàng)為-1,因此(x+a)2 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1(-10)+2a5+a2(-1)=-a2+10a-10,依題意-a2+10a-10=-1,解得a2

9、-10a+9=0,即a=1或a=9.答案:1或92.設(shè) =a0+a1x+a2x2+arxr+anxn,其中qR,nN*.(1)當(dāng)q=1時(shí),化簡(jiǎn): (2)當(dāng)q=n時(shí),記An= ,Bn= ,試比較An與Bn的大小.【解題指南】(1)當(dāng)q=1時(shí),ar= ,從而得到結(jié)果.(2)當(dāng)q=n時(shí),由二項(xiàng)式定理可得An=nn+1,Bn= ,猜想、歸納,用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可.【解析】(1)當(dāng)q=1時(shí),ar= ,由于 其中r=0,1,2,n.所以原式= (2)當(dāng)q=n時(shí),ar= nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn= 當(dāng)n=1,2時(shí),nn+1 ,即n 下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明

10、:當(dāng)n3時(shí),n ,()當(dāng)n=3時(shí),3 ,()式成立;設(shè)n=k3時(shí),()式成立,即k ,則n=k+1時(shí),()式右邊= 也就是說(shuō),當(dāng)n=k+1,()式也成立.綜合知,當(dāng)n3時(shí),n 所以,當(dāng)n=1,2時(shí),AnBn.【一題多解】當(dāng)q=n時(shí),ar= nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn= ,要比較An與Bn的大小,即可比較 的大小,設(shè)f（x） = ,則f（x） = ,由f（x） 0,得0 xe,所以f（x）在（0，e）上遞增,由f（x） e,所以f（x）在（e,+ ）上遞減,所以當(dāng)n=1,2時(shí), ,Annln ,即lnnn+1ln（n+1） ,即AnBn,綜上所述,當(dāng)n=1,2時(shí),AnBn.【一題多解】當(dāng)q=n時(shí),ar= nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn= ,當(dāng)n=1,2時(shí),nn+1 .下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:nn+