用Matlab解非線性規(guī)劃問題

1、用Matlab解無約束優(yōu)化問題一元函數(shù)無約束優(yōu)化問題min f (x),x1 x x2常用格式如下：x= fminbnd (fun,x1,x2)x= fminbnd (fun,x1,x2 , options)x, fval= fminbnd (.)x， fval， exitflag= fminbnd (.)x， fval， exitflag， output= fminbnd (.)其中(3)、(4)、(5)的等式右邊可選用(1)或(2)的等式右邊。函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標函數(shù)必須是 連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。例1求f = 2e-x sin x在0

2、x8中的最小值與最大值主程序為wliti1.m:f=2*exp(-x).*sin(x);fplot(f,0,8);%作圖語句xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8)f1=-2*exp(-x).*sin(x);xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8)運行結(jié)果：xmin = 3.9270ymin = -0.0279xmax = 0.7854ymax = 0.6448例2對邊長為3米的正方形鐵板，在四個角剪去相等的正方形以制成方形無蓋 水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？解設(shè)剪去的正方形的邊長為x，則水槽的容積為：(3-2x2)x建立無約束優(yōu)化模型為：min y=-(3 -

3、2x2)x，0 x 0，且 a a ；1111122111121112同理，p = b - ax- a x ， b， a ， a 0221122222122.成本與產(chǎn)量成負指數(shù)類縈甲的成本隨其產(chǎn)量的增長而降低，且有一個漸進值，可以假設(shè)為負指數(shù)關(guān)系，即：q = re氣氣 + c ,r,人,c 0iii i i同理， q = r e-% + c , r ,人,c 022222模型建立總利潤為：z(x1,x2) = (p1-q1)x1+(p2-q2)x2若根據(jù)大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280, a21=0.2,a22=2,r1=30,入 1=0.015,

4、c1=20, r2=100,入 2=0.02,c2=30,則 問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲，乙兩個牌號的產(chǎn)量x1，x2，使 總利潤z最大.為簡化模型，先忽略成本，并令a12=0,a21=0,問題轉(zhuǎn)化為求：z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2的極值.顯然其解為 x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我們把它作為原問題的初始值.模型求解建立M-文件fun.m:function f = fun(x)y1=(100-x(1)- 0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1); y2=(28

5、0-0.2*x(1)- 2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2); f=-y1-y2;輸入命令：x0=50,70;x=fminunc( fun，x0),z=fun(x)計算結(jié)果：x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003即甲的產(chǎn)量為23.9025,乙的產(chǎn)量為62.4977,最大利潤為6413.5.非線性規(guī)劃1、二次規(guī)劃標準型為：Min Z= i XTHX+cTX 2s.t. AX=b Aeq - X = beqVLBWXWVUB用MATLAB軟件求解，其輸入格式如下：x=quadprog(H,C,A,b);x=quadprog(H,C,A,

6、b,Aeq,beq);x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options);x,fval=quaprog(.);x,fval,exitflag=quaprog(.);x,fval,exitflag,output=quaprog();例 1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x2 W2-x1+2x2 W2x1 NO, x2N01、寫成標準形式：m

7、in z = (xmin z = (x , x )-1)2 I- 1&ix2I- 6 Js.t.I；r 0nr xs.t.I；r 02 Ji r j 頃2 J2、輸入命令：H=1 -1; -1 2;c=-2 ;-6;A=1 1; -1 2;b=2;2;Aeq=;beq=; VLB=O;O;VUB=;x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、運算結(jié)果為：x =0.6667 1.3333 z = -8.2222一般非線性規(guī)劃標準型為：min F(X)s.t AX=b Aeq - X = beq G(X) 0Ceq(X)=OVLX VUB其中X為n維變元向量，G(

8、X)與Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量，其它變量 的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同.用Matlab求解上述問題，基本步驟分三步:首先建立M文件fun.m，定義目標函數(shù)F (X):function f=fun(X);f=F(X);若約束條件中有非線性約束：G(X) 0或Ceq(X)=Q則建立M文件nonlcon.m定義函數(shù)G(X)與Ceq(X):function G,Ceq=nonlcon(X)G=.Ceq=.建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下：x=fmincon (fun，X0,A,b)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq)x=fmin

9、con(fun，X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)x=fmincon(fun，X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon)x=fmincon(fun，X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon，options)x,fval= fmincon(.)x,fval,exitflag=fmincon(.)x,fval,exitflag,outputfmincon(.)注意：若在fun函數(shù) on），并且只有上下界存在若在fun函數(shù) on），并且只有上下界存在中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設(shè)置為或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型

10、算法。當既有等式約束又有梯度約束 時，使用中型算法。fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃法。在每一步迭代中求解二 次規(guī)劃子問題，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。這與初值X0的選取有關(guān)。fmincon函數(shù)可能會給出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關(guān)。11例 2 min f = -x - 2x + x2 + x2x + 3x 6s.t. x + 4x 01、寫成標準形式1、.廣11min f =-氣-2x2 + 2 x先建立M-文件fun3.m:function f=fun3(x);先建立M-文件fun3.m:function f=fun3(x);f=-x(1)-2*x(

11、2) + (1/2)*x(1) 2+(1/2)*x(2) 2s.t.2 X1 + 再建立主程序youh2.m： x0=1;1; A=2 3 ;1 4; b=6;5; X2 - Aeq=;beq=; (x + 4 x 5 / 0 官 x1s.t.再建立主程序youh2.m：x0=1;1;A=2 3 ;1 4; b=6;5;Aeq=;beq=;10 J I x2 JVLB=0;0; VUB=:;x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、運算結(jié)果為：x = 0.76471.0588fval =-2.0294例3min f (x) = e*i(4x2 +

12、 2x2 + 4x x + 2x +1)s.t.x + x = 01.5 + x x - x - x 01 212-x x - 10 01.先建立M文件fun4.m,定義目標函數(shù)： function f=fun4(x);f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);.再建立M文件mycon.m定義非線性約束：function g,ceq=mycon(x) g=x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;.主程序youh3.m為:x0=-1;1;A=;b=;Aeq=1 1;beq=0;vl

13、b=;vub=;x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon)3.運算結(jié)果為：x = -1.22501.2250fval = 1.8951例4.資金使用問題 設(shè)有400萬元資金，要求4年內(nèi)使用完，若在一年內(nèi)使用資金x萬元，則可得效益十1萬元(效益不能再使用)，當年不用的資金可存入銀行，年利率為10%.試制定出資金的使用計劃，以使4年效益之和為最大.設(shè)變量七表示第i年所使用的資金數(shù)，則有max z = yx + xx +x + v s.t.x 4001.1 x + x 4401.21x +1.1 x + x 4841.331 x +1.21 x + 1.1x + x 0, i = 1,2,3,4.先建立M文件fun44.m,定義目標函數(shù)：function f=fun44(x)f=-(sqrt(x(1)+sqrt(x(2)+sqrt(x(3)+sqrt(x(4);.再建立M文件mycon1.m定義非線性約束：function g,ceq=mycon1(x)g(1)=x(1)-400;g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-