桿件橫截面上的應(yīng)力應(yīng)變分析

1、第三章桿件橫截面上的應(yīng)力應(yīng)變分析但內(nèi)力分量只是橫截面上連利用截面法可以確定靜定問題中的桿件橫截面上的內(nèi)力分量,但內(nèi)力分量只是橫截面上連續(xù)分布內(nèi)力系的簡(jiǎn)化結(jié)果，僅根據(jù)內(nèi)力并不能判斷桿件是否有足夠的強(qiáng)度。如用同一種材料制成粗細(xì)不同的兩根桿， 在相同的拉力作用下，兩桿的軸力是相同的，當(dāng)拉力增大時(shí)，細(xì)桿必定先被拉斷。這說明拉桿的強(qiáng)度不僅與軸力大小有關(guān)，還與橫截面面積有關(guān)，因此還必須引入內(nèi)力集度的概，即應(yīng)力的概念。本章在此基礎(chǔ)上分別討論了桿件在拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲三導(dǎo)出了應(yīng)力計(jì)算公式，為后面對(duì)桿件進(jìn)種基本變形和組合變形下橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律, 行強(qiáng)度計(jì)算打下了基礎(chǔ)。導(dǎo)出了應(yīng)力計(jì)算公式，為后面對(duì)桿件進(jìn)第一節(jié)

2、應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系一、正應(yīng)力、剪應(yīng)力觀察圖3-1a所示受力桿件，在截面上圍繞K點(diǎn)取微小面積，其上作用有微內(nèi)力，于是在 上內(nèi)力的平均集度為：(3-1)亦稱為 面積上的平均應(yīng)力。一般來說截面上的內(nèi)力并不均勻分布，因此平均應(yīng)力隨所取AA的不同而變化。當(dāng)A的不同而變化。當(dāng)A A趨向于零時(shí),的大小方向都將逐漸趨于某一極限。p= lunUtOlim式中，p稱為p= lunUtOlim式中，p稱為K點(diǎn)的應(yīng)力，它反映內(nèi)力系在（3-2）K點(diǎn)的強(qiáng)弱程度。p是截面垂直，也不與截面相切。通常將其分解為垂直于截面的應(yīng)力分量個(gè)矢量，一般說既不與和相切于截面的應(yīng)力分量工（圖3-1b）o b稱為正應(yīng)力，T稱為切應(yīng)力。在國(guó)

3、際單位制中，應(yīng)力的單位是牛頓/米2 （N/M2）,稱為帕斯卡，簡(jiǎn)稱帕（Pa）。由于這個(gè)單位太小，通常使用兆帕（MPa） , 1MPa = 106Pa。二、正應(yīng)變、切應(yīng)變桿件在外力作用下，其尺寸或幾何形狀將發(fā)生變化。若圍繞受力彈性體中任意點(diǎn)截取一個(gè)微 小正六面體（當(dāng)六面體的邊長(zhǎng)趨于無限小時(shí)稱為單元體），六面體的棱邊邊長(zhǎng)分別為Ax、Ay、Az （圖3-2 ）。把該六面體投影到 xy平面（圖3-2b）。變形后，六面體的邊長(zhǎng)和 棱邊夾角都將發(fā)生變化（圖3-2c）。變形前長(zhǎng)為A x的線段MN ,變形后長(zhǎng)度為A x+A s。相對(duì) 變形Ad(3-3)表示線段MN單位長(zhǎng)度的平均伸長(zhǎng)或縮短，稱為平均應(yīng)變。當(dāng)Ax

4、趨向于零，即點(diǎn) N趨向于M點(diǎn)時(shí)，其極限為（3-4）e為無量綱量。用完全相似的方法，還可專=lim = lim 皿t口皿-。心#（3-4）e為無量綱量。用完全相似的方法，還可式中，e稱為 M點(diǎn)沿x方向的線應(yīng)變或正應(yīng)變, 討論沿y和z方向的線應(yīng)變。彈性體的變形不但表現(xiàn)為線段長(zhǎng)度的改變，而且正交線段的夾角也將發(fā)生變化，變形前MN和ML正交，變形后變?yōu)? L M N ,變形前后角度的變化是（兀Z2-Z L M N ）。當(dāng)N和L趨于M點(diǎn)時(shí)，上述角度變化的極限值稱為 M點(diǎn)在xy平面內(nèi)的切應(yīng)變。hrn=（兀 Z2-/ L / M N ） （3-5）e為無量綱量；Y的單位為rad （弧度），它們是度量一點(diǎn)處變

5、形程度的兩個(gè)基本量。構(gòu)件是由無數(shù)的點(diǎn)組成的，各點(diǎn)處應(yīng)變的累積將形成構(gòu)件的變形。三、虎克定律由正應(yīng)力、切應(yīng)力、正應(yīng)變與切應(yīng)變的定義可以看出，與線應(yīng)變e相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力是正應(yīng)力叫與切應(yīng)變 相對(duì)應(yīng)的是切應(yīng)力。試驗(yàn)表明，對(duì)于工程中常用材料制成的桿件，在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)（應(yīng)力小于某一極限值），若所取微元只承受單方向正應(yīng)力或只承受切應(yīng)力，則正應(yīng)力與線應(yīng)變以及切應(yīng)力與切應(yīng)變之間存在著線性關(guān)系：(T =E (3-6) t =G (3-7) 其中，E和G為與材料有關(guān)的常數(shù)，分別稱為彈性模量或楊氏模量和切變模量，其常用單 位為吉帕（Gpa） ,1Gpa= 109pa。上兩式均稱為虎克定律。第二節(jié) 直桿軸向拉壓變形時(shí)橫

6、截面上的正應(yīng)力一、橫截面上的正應(yīng)力公式推導(dǎo)由于應(yīng)力是不可見的， 而應(yīng)變卻是可見的，而且兩者之間存在著關(guān)系， 如式（3-6） , （3-7）。 因此為了推導(dǎo)桿件橫截面上的應(yīng)力，必須分析桿件的變形。變形前，在等直桿的側(cè)面上畫一些垂直于桿軸的直線（圖 3-3a）。拉伸變形后，發(fā)現(xiàn)這些直線仍然垂直于軸線，只是分別平 移了一段距離（圖3-3b）。根據(jù)這一現(xiàn)象，可以提出平截面假設(shè)：變形前為平面的橫截面， 變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。根據(jù)平截面假設(shè)，拉桿所有縱向纖維的伸長(zhǎng)是相同的。 由均勻性假設(shè)可知，材料是均勻的， 所以縱向纖維的受力是相等的。從而推得，橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力也是相等的， 即正應(yīng)力均 勻

7、分布于橫截面上，所以人（3-8）式中b為軸向拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力，一般規(guī)定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；FN為橫截面上的內(nèi)力；A為橫截面的面積。另外根據(jù)平截面假設(shè)可知橫截面上不存在切應(yīng)力。雖然上述公式也可應(yīng)用于 FN為壓力時(shí)的壓應(yīng)力計(jì)算，但要注意對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿受壓時(shí)容易 被壓彎，屬于穩(wěn)定性問題，這一內(nèi)容將在后面專門研究，因此這里所指的是受壓桿未被壓彎的情況。公式同樣適用于桿件橫截面尺寸沿軸線緩慢變化的變截面直桿，這時(shí)式（3-8）為(3-9)式中er （x）、Fn（x）、A（x）都是橫截面位置 x的函數(shù)。在用公式（3-8）計(jì)算桿件橫截面上的應(yīng)力時(shí)，其軸力的大小往往僅取決于物體所受外力 合力的大小，而很

8、少考慮外力的分布方式。事實(shí)上，不同的外力作用方式對(duì)外力作用點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力分布有著很大的影響，至于該影響到底有多大，可由圣維南原理加以說明。圣維南原理：將原力系用靜力等效的新力系來替代，除了對(duì)原力系作用附近的應(yīng)力分布有明顯影響外，在離力系作用區(qū)域略遠(yuǎn)處（距離約等于截面尺寸），該影響就非常微小。根據(jù)這一原理，桿件上復(fù)雜的外力系就可以用簡(jiǎn)單的力系取代。在離外力作用截面略遠(yuǎn)處，仍然可用公式（3-8）計(jì)算應(yīng)力。二、應(yīng)力集中的概念由圣維南原理可知，等直桿受軸向拉伸或壓縮時(shí)，在離開外力作用處足夠遠(yuǎn)的橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的。但是，如果桿截面尺寸有突然變化，如桿上有孔洞、溝槽或制成階梯形時(shí)，截面突變處

9、局部區(qū)域的應(yīng)力將急劇的增大（圖 3-4）。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。E巾E巾nF1 FFct )b )c )應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力 系數(shù)，用席表示，即圖W-4應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力 系數(shù)，用席表示，即%皿，與削弱以后橫截面上的平均應(yīng)力 萬(wàn)的比值，稱為理論應(yīng)力集中理論應(yīng)力集中系數(shù)與桿件的材料無關(guān)，它反映了應(yīng)力集中的程度。實(shí)驗(yàn)及理論分析表明，截面尺寸改變愈急劇、孔愈小、圓角愈小，應(yīng)力集中的程度就愈嚴(yán)重，因此在工程實(shí)際中要盡可能的避免這些情況。例 3-1 等截面直桿，已知 Fi=i0kN , F2=40kN , F3=50kN , F4=20kN ,截面直徑 d=16mm （圖 3-5 。試求桿內(nèi)的最大應(yīng)力

10、解(1)求各段的軸力。用截面法，可以求出桿三段的軸力，其大小及方向見圖3-5。(2)求最大應(yīng)力。由軸力圖可知，最大軸力發(fā)生在BC段，其數(shù)值為 忸工=30kN,是壓力。從而桿內(nèi)的最大應(yīng)力即發(fā)生在A力。從而桿內(nèi)的最大應(yīng)力即發(fā)生在ABC段，其大小為：314-k16- xlO4例3-2試求圖3-6a所示等截面的直鉆井桿，在自重作用下桿橫截面上的應(yīng)力。已知桿件的密度為Q ,橫截面面積A ,桿長(zhǎng)為1。圖3-6圖3-6解 分析可知，桿的內(nèi)力是由其自重引起的，故桿的不同截面上的內(nèi)力不同，是截面位置的函數(shù)Fn=Fn(x)。在距離桿下端為任意位置 x處，運(yùn)用截面法將桿件沿 x截開，取下面一部分為研究對(duì)象，脫離體的

11、受力圖見3-6bo由平衡條件用二口得：外（幻-0父咫=。工0 心用心了截面處的正應(yīng)力為山）二歲=竽=的了截面處的正應(yīng)力為山）二歲=竽=的A A當(dāng)月二/時(shí)j u6 =喂=由第三節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力一、實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和平面假設(shè)為了確定圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力， 同樣必須要研究圓軸的變形， 也就是說要對(duì)圓軸進(jìn)行 扭轉(zhuǎn)變形試驗(yàn)，把觀察到的變形現(xiàn)象進(jìn)行分析， 提出一些假設(shè)，從而進(jìn)一步尋找變形的幾何 關(guān)系，再綜合考慮物理和靜力學(xué)方面，最后才能導(dǎo)出應(yīng)力公式。為了觀察圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，在圓軸表面上畫上幾條縱向線和圓周線（圖3-7a）。然后施加外力偶矩，使圓軸發(fā)生微小的彈性變形（圖3-7b）。這時(shí)可以看到以下變

12、形現(xiàn)象：.所有縱向線仍近似為直線，但都傾斜了同一角度，變形前圓周表面上的小矩形，變形后錯(cuò)動(dòng)成菱形。.所有圓周線都相對(duì)地繞軸線轉(zhuǎn)過了不同角度，且圓周線的大小、形狀及其相互之間的距離均保持不變。根據(jù)觀察到的現(xiàn)象，作如下假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)變形前為平面的橫截面， 變形后仍為大小相同的 平面，其半徑仍保持為直線；且相鄰兩橫截面之間的距離不變。 這就是圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)。按照這一假設(shè)，可設(shè)想圓軸的橫截面就像剛性平面一樣繞軸線轉(zhuǎn)過了一定的角度。以平面假設(shè)為基礎(chǔ)導(dǎo)出的圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力和變形計(jì)算公式，符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，且與彈性力學(xué)公式一致， 從而說明該平面假設(shè)是正確的。根據(jù)平面假設(shè)，既然圓軸橫截面的形狀、大小及其相互之間

13、的距離在變形后保持不變，說明圓軸無軸向線應(yīng)變和橫向線應(yīng)變，因而可認(rèn)為扭轉(zhuǎn)圓軸橫截面上無正應(yīng)力，只可能存在切應(yīng)力。同時(shí)由于圓軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)引起縱向線的傾斜，傾斜的角度 就是圓軸表面處的切應(yīng)變。二、橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式推導(dǎo).幾何方面從圖3-7b所示受扭圓軸中取 dx微段并放大于圖3-8a中,再?gòu)乃∥⒍沃腥稳“霃綖?尹的圓 柱（圖3-8b）。橫截面nn相對(duì)于mm轉(zhuǎn)過的角度d中 柱表面處的切應(yīng)變用 汽表示。因?yàn)樽冃魏苄?，故由圖,稱為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。以 白為半徑的圓3-8b可知：(a)7t加戛一后,稱為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。以 白為半徑的圓3-8b可知：(a)式中d/dx表示扭轉(zhuǎn)角沿軸線長(zhǎng)度方向的變化率，在同一截

14、面上它為一常數(shù)。所以切應(yīng)變 成正比。.物理關(guān)系設(shè)圓軸服從虎克定律。則由剪切虎克定律（3-7）可知，半徑 處的切應(yīng)力為：一 ；（b）上式表明，橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離7成正比。由于 八與半徑垂直，所以切應(yīng)力MpMi與半徑垂直。.靜力學(xué)關(guān)系由于式（b）中小伊/dx未知，故必須利用靜力學(xué)關(guān)系式求取?？疾煳⒚娣eXP）d（A）上的微切力，如圖3-9所示。它對(duì)圓心 O的微內(nèi)力矩為3乂乂 =4口）dA .叫 其合力矩即為該截面上的內(nèi)力 Mx （由平衡條件可知：M （x） =T）。所以= I = I ifppdA(c)將式（b）代入上式，則有(d)式中4dA ,稱為圓截面對(duì)圓心的極慣性矩，是與

15、圓截面的大小及形狀有關(guān)的幾何量,式中它描述截面的一種幾何性質(zhì)，其常用單位為mm它描述截面的一種幾何性質(zhì)，其常用單位為mm4 或 m4。由（b）、（ d）兩式可得圓軸橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力為一1叫二，（3-10）式中Mx為所求橫截面上的扭矩，Ip為截面極慣性矩，尹為所求點(diǎn)到圓心的距離。公式表明,Mx是常數(shù)，Ip也是確定的，7 =0 ,在圓軸表面處，Mx是常數(shù)，Ip也是確定的，7 =0 ,在圓軸表面處，E =故該橫截面上的切應(yīng)力僅僅是 9的線性函數(shù)。顯然，在圓心處, max ,且彳誕彳誕(e)其中，和均為幾何量，令稱為圓截面的抗扭截面模量，單位為mm3稱為圓截面的抗扭截面模量，單位為mm3或 m3

16、。于是式（e）可以寫成(3-11)由上述分析可知，受扭圓軸橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律如圖3-10a(3-11)由上述分析可知，受扭圓軸橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律如圖3-10a所示。MtMt M:a)b)03-10要運(yùn)用以上公式計(jì)算橫截面上的切應(yīng)力大小，必須先計(jì)算截面的極慣性矩Ip和抗扭截面模量Wp。對(duì)于直徑為D的實(shí)心圓截面（圖3-11）,取dA = pde耶代入g.LM11A可得圖Allw _ p 圖Allw _ p _ 從而11,若圓軸為空心圓截面（圖3-12）,該截面的內(nèi)徑為(3-12)(3-13)d,外徑為D,則收=廣野W象, . d”堂七）（3-14）Wp=i（r*-d4）= 皿方（3-15）

17、其中，b=d/D為截面內(nèi)、外徑之比。受扭空心圓截面上切應(yīng)力分布規(guī)律如圖3-10b所示。公式（3-10）可適用于任何實(shí)心或空心圓截面的受扭圓軸。若對(duì)于空心圓截面，當(dāng)內(nèi)、外徑非常接近，特別是當(dāng)日fW 時(shí)，空心圓軸可視為薄壁圓筒（圖3-13）。因?yàn)楸”趫A筒的壁很薄，故可認(rèn)為橫截面上的切應(yīng)力均勻分布，此時(shí)Ip - J p2dA k J瑁dA xR j小皿成. 2皿鵑橫截面上的切應(yīng)力為t =R,1 必1：（3-16）式中R0為薄壁圓截面的平均半徑，s為壁厚，該公式可適用于任何受扭的閉合薄壁桿。三、切應(yīng)力互等定理（純剪切）在圖3-14a所示受扭圓軸中，A為圓軸表面處的任意一點(diǎn)。用四個(gè)平面和一個(gè)圓柱面圍繞A

18、點(diǎn)切出一瓦片狀微塊體（圖 3-14b）。因微塊體尺寸很小，故可視為邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的正六面體（圖 3-14c）,即單元體。圖 3-14因?yàn)閱卧w的左右兩側(cè)面是圓軸的部分橫截面， 所以這兩個(gè)側(cè)面上有切應(yīng)力，且左側(cè)面切 應(yīng)力工方向向上，右側(cè)面的方向向下。這一對(duì)在單元體左右兩側(cè)面上的合力 dy也 組成一 力偶，大小為（記心,淑。為使單元體保持平衡，必有另一等值反向的力偶作用在單元體上。因此，單元體的上下側(cè)面上必存在切應(yīng)力r,它們的合力不電的組成力偶，并與力偶（出型 也平衡，即（:二二）dy = m從而7=丁由此可見，在兩個(gè)相互垂直的平面上，垂直于兩平面交線的切應(yīng)力必成對(duì)存在，其數(shù)值相等，其方向

19、或同時(shí)指向交線，或同時(shí)背離交線。這一規(guī)律稱為切應(yīng)力互等定理。該定理具有普遍意義，即任何兩個(gè)相互垂直的平面，只要一個(gè)面上有垂直于兩平面交線的切應(yīng)力，而不管該平面上是否同時(shí)存在正應(yīng)力，另一個(gè)面上也必有切應(yīng)力存在，其大小和方向均符合切應(yīng)力互等定理的規(guī)定；反之，一個(gè)面上沒有垂直于兩平面交線的切應(yīng)力，另一面上也沒有相應(yīng)的切應(yīng)力。圖3-14c所示單元體，四個(gè)側(cè)面上均只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力。單元體的這種應(yīng)力情況稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，簡(jiǎn)稱純剪切。由于單元體的前后面上均沒有應(yīng)力，因此為方便起見，A點(diǎn)的純剪切應(yīng)力狀態(tài)通常畫成圖3-14d所示的平面形式。圓扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力狀態(tài)均為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。例3-3 一直徑為D

20、=50 mm的圓軸，受到扭矩 Mx=2.15kNm 的作用。試求在距離軸心10 mm處的切應(yīng)力，并求軸橫截面上的最大切應(yīng)力。解首先求截面的極慣性矩根據(jù)公式（3-10）有i_=215xlO5ilOi（ig_3pa = 3 工 1M 肉fi.l33）clO-7四5PRWp 5133興10一/25邛10一 =87.7MPa例3-4如將上題中軸的實(shí)心圓截面改為內(nèi)、外徑之比為 1 : 2的空心圓截面，要使兩種情況 產(chǎn)生相同的最大切應(yīng)力，求此時(shí)空心截面的外徑，并比較實(shí)心軸和空心軸的重量。解由上題求得實(shí)心圓截面 Wi-mMPio設(shè)空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為 d和D值 =d/D=1/2 ,此時(shí)橫截面上最大切應(yīng)

21、力為E)Pa ,根據(jù)題意必須有 電皿=11H血,從而可求得 D=51.1mm。在兩軸長(zhǎng)度相等、材料相同的條件下，兩軸重量之比等于橫截面面積之比:= 0.S可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量只有實(shí)心軸的80%,說明空心截面比實(shí)心節(jié)省材料。如果將空心截面改為薄壁截面，可以發(fā)現(xiàn)節(jié)省材料更為明顯。第四節(jié)矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力一、 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念上一節(jié)討論了圓形截面桿的扭轉(zhuǎn)，但有些受扭桿件的橫截面并非圓形。例如曲軸的曲柄承 受扭轉(zhuǎn)，而其橫截面是矩形的。試驗(yàn)表明，非圓截面桿受扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面將成為曲面，產(chǎn)生所謂翹曲現(xiàn)象，如圖3-15所示矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)。所以對(duì)于非圓截面桿，平面假設(shè)不再成立，

22、非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問題只能用彈性力學(xué)根據(jù)平面假設(shè)所建立的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力公式顯然不再適用。 的方法去研究。非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問題只能用彈性力學(xué)圖3T5非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)分為自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）和約束扭轉(zhuǎn)兩種。等直桿受力偶作用發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)，若各橫截面可以自由翹曲，因而翹曲程度相同，此時(shí)桿的橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力，這種扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)。若橫截面的翹曲受到某些限制，引起橫截面的翹曲程度不同， 這種情況將在橫截面引起正應(yīng)力，即橫截面上既有切應(yīng)力，又有正應(yīng)力，這一種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。對(duì)實(shí)心的矩形等截面直桿，約束扭轉(zhuǎn)引起的正應(yīng)力通常很小，可忽略不計(jì)。但對(duì)于工字鋼、槽鋼等薄壁桿件，約束扭轉(zhuǎn)引起的正應(yīng)力往往很大，需要考慮

23、其影響?？梢宰C明，桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上邊緣各點(diǎn)的切應(yīng)力都與截面邊界相切。因?yàn)檫吘壐鼽c(diǎn)的切應(yīng)力如不與邊界相切， 總可分解為邊界切線方向的分量 寫和法線方向的分量。（圖3-16）。 根據(jù)切應(yīng)力互等定理，應(yīng)與桿件自由表面上的切應(yīng)力 弓相等。但在自由表面上不可能有切 應(yīng)力。因此在邊緣各點(diǎn)就只可能有沿邊界切線方向的切應(yīng)力弓。在橫截面的凸角處，根據(jù)以上類似的分析可知，切應(yīng)力為零 二、矩形截面桿扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算簡(jiǎn)介對(duì)于矩形截面桿扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力，這里不加推導(dǎo)地引用一些彈性力學(xué)的研究結(jié)果。.切應(yīng)力的方向。周邊處的切應(yīng)力與周邊平行；對(duì)稱軸處的切應(yīng)力與對(duì)稱軸垂直（圖3-17）圖3-16圖3-16圖 3-17.切應(yīng)力大小

24、。在矩形截面的四個(gè)角點(diǎn)A、B、C、D和矩形中心O處的切應(yīng)力均為零，切應(yīng)力的最大值在矩形長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，且按下列公式計(jì)算:(3-17)在橫截面短邊中點(diǎn)處，切應(yīng)力為:(3-18)3-1。上兩式中 比、V是一個(gè)與比值h/b3-1。表3矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的系敕比、刀和hfbLO1.21 52,0253.04.0108 010 0 ba0.2030.21PD.231 0.24 6 0.25S0.2C570.2820.2PP0.307 0 313 0 333B0 141口660 196 0.229 0.2490.2e30.2810.2990.307 0.31 3 0 333V1 0000.P300.358 0.

25、7 P fl 0.7570,7530.74 50,74 30.743 0 743 0 743當(dāng)山。11口時(shí)，截面成為狹長(zhǎng)矩形，這時(shí) 況=a=113 。表中的戶值是計(jì)算矩形截面桿的相對(duì)扭 轉(zhuǎn)角時(shí)用的，這將在后面的章節(jié)中討論。例3-5某矩形截面軸，截面高 h=100mm ,寬b=45mm，傳遞的扭轉(zhuǎn)力偶矩 T=2kNm。 試求矩形截面軸的最大切應(yīng)力。解 因?yàn)?h/b=100/45=2.2，從表中查得 h/b=2.0 時(shí)，3=0.246; h/b=2.5 時(shí)，a =0.258,用線性插 入法求得弘=0 246+(0.25 -(W 五 = 0.251- 2.U該截面的扭矩T-2kN施，于是，求得矩性截

26、面軸的最大切應(yīng)力為該截面的扭矩T-2kN施，于是，求得矩性截面軸的最大切應(yīng)力為% =oh%鼠 IDOxlT=判3,1/=3S.3J4Pa第五節(jié) 梁平面彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力一、純彎曲上一章詳細(xì)討論了梁橫截面上的剪力和彎矩。一般情況下，這兩種內(nèi)力同時(shí)存在。很顯然, 彎矩是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩；剪力是相切于橫截面的內(nèi)力系的合力。所以，彎矢I M只與橫截面上的正應(yīng)力F有關(guān)，而剪力只與橫截面上的切應(yīng)力有關(guān)。本節(jié)研究相應(yīng)于彎矩和剪力的正應(yīng)力和切應(yīng)力匯的分布規(guī)律。首先考察圖3-18a所示的矩形截面簡(jiǎn)支梁。 梁上有兩個(gè)外力F對(duì)稱地作用于梁的縱向?qū)ΨQ面 內(nèi)。其計(jì)算簡(jiǎn)圖、剪力圖和彎矩圖分別表示于圖3-

27、18b、c、和d中。由圖可見，在梁的 AC和DB兩段內(nèi)，梁橫截面上既有彎矩又有剪力，因而同時(shí)存在正應(yīng)力和切應(yīng)力。這種情況稱 為橫力彎曲。在CD段內(nèi)，梁橫截面上剪力為零，彎矩為常數(shù)，從而梁的橫截面上就只有正 應(yīng)力而無切應(yīng)力，這種情況稱為純彎曲。圖 3-18由于梁橫截面上應(yīng)力分布各點(diǎn)不同，所以應(yīng)力計(jì)算公式推導(dǎo)過程與圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力公式的推導(dǎo)一樣，需綜合考慮幾何、物理和靜力學(xué)三個(gè)方面的關(guān)系。為此， 先來觀察一下純彎曲時(shí)梁 的變形情況，并根據(jù)變形情況作出分析和假設(shè)。.實(shí)驗(yàn)觀察考慮具有縱向?qū)ΨQ面的等直梁，在梁側(cè)面畫上幾條縱向線和橫向線（圖 3-19a）,然后在梁的兩端施加力偶矩 M,使梁產(chǎn)生微小彎曲變形（

28、圖 3-19b）,可觀察到下列變形現(xiàn)象：縱向線都彎成弧線， 且梁上部縱向線縮短，下部伸長(zhǎng)。橫向線仍為直線，但相對(duì)轉(zhuǎn)過了一個(gè) 角度，且仍與縱向線正交。.假設(shè)和結(jié)論根據(jù)上述變形現(xiàn)象， 經(jīng)過分析和推理，作如下平面假設(shè)： 變形前為平面的橫截面變形后仍為 平面，且仍與變形后的軸線正交。設(shè)想梁由無數(shù)平行于軸線的“縱向纖維”組成。發(fā)生彎曲變形后，假定軸線發(fā)生如圖 3-20 所示凸向下的彎曲，則必然要引起靠近底面的纖維伸長(zhǎng)， 靠近頂面的纖維縮短。 又因?yàn)闄M截 面保持為平面，所以沿截面高度，纖維應(yīng)由底面的伸長(zhǎng)連續(xù)地變?yōu)轫斆娴目s短， 中間必然有 一層纖維的長(zhǎng)度不變。 這一層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性

29、軸， 顯然橫截面 繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圖 3-20除了平面假設(shè)以外，我們還假定梁的縱向纖維間無擠壓，也即縱向纖維間無正應(yīng)力。在純彎曲情況下，由于橫截面保持為平面，且處處與縱向線正交，說明橫截面各點(diǎn)處無切應(yīng) 變，也就不存在切應(yīng)力， 橫截面上只可能有正應(yīng)力。根據(jù)以上假設(shè)得到的理論結(jié)果，在長(zhǎng)期 工程實(shí)踐中，符合實(shí)際情況，與彈性力學(xué)的結(jié)果也一致。二、 純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式推導(dǎo).幾何關(guān)系設(shè)從純彎曲梁中沿軸線取 dx的微段，放大畫于圖 3-21。設(shè)Q為中性層曲率半徑，對(duì)某一截面而言，Q為常量；dH為左右兩橫截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。又設(shè)橫截面的對(duì)稱軸為y軸，中性軸為z軸(圖3-22)。距離中性軸為 y的任一纖維修七，

30、變形前長(zhǎng)為金七=*=0厘8，變形后長(zhǎng)為為=(P+y)d8 ，所以白匕的線應(yīng)變?yōu)?a)圖 3-21上式表明，距中性層為 y的任一縱向纖維的線應(yīng)變，與 y成正比，與尸成反比。.物理關(guān)系因?yàn)榭v向纖維之間無正應(yīng)力，每一纖維都是單向拉伸或壓縮。當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由虎克定律知將式（a）代入上式，得,（b）這表明，任一縱向纖維的正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比。也就是說沿截面高度，正應(yīng)力按直線規(guī)律變化。.靜力學(xué)關(guān)系圖3-22中，微面積dA上的微內(nèi)力G（y）dA組成一與梁軸線平行的空間平行力系。因橫截面上只有彎矩M,故圖3乜2(c)圖3乜2(c)(d)(e)將式（b）代入式（c）,得 dA = ydA =

31、0式中E/為式中E/為常量，不等于零，故必須有劃=%=Q一，j ,即橫截面對(duì)z軸的靜矩等于零,從而可知，z軸（中性軸）通過截面形心（見附錄I）。這樣就完全確定了中性軸的位置。將式（b）代入式（d）得工 aF dA =Ly3 dA= 0式中積分L乃1二是橫截面對(duì)y軸和z軸的慣性積。由于 y軸是橫截面的對(duì)稱軸，必然有Iyz=0。所以（d）式是自然滿足的。將式（b）代入式（e）,得M - ycdA -式中積分,是橫截面對(duì)z軸（中性軸）的慣性矩，關(guān)于各種截面Iz的計(jì)算詳見附 錄I于是上式可以寫成1 _ Mp巴EIz越大，則曲率3越小,其中EIz越大，則曲率3越小,故EIz稱為梁的抗彎剛度。由式（f）和

32、式（b）消去1戶，得L（3-19）這就是梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式。對(duì)某一截面而言，M和Iz都是確定的，當(dāng)橫截面上的彎矢I為正時(shí)，d（y）沿截面高度的線性分布規(guī)律如圖3-23所示。圖 3-23在用公式計(jì)算任一點(diǎn)的正應(yīng)力時(shí)，可以不考慮M以及離中性軸的距離 y的正負(fù)，一律以絕對(duì)值代入。正應(yīng)力的正負(fù)由梁的變形判定：梁的縱向纖維受壓時(shí)，正應(yīng)力為負(fù)（壓應(yīng)力）纖維受拉時(shí)，正應(yīng)力為正（拉應(yīng)力）。也可以由彎矩的正負(fù)來判定正應(yīng)力的正負(fù)：為正,說明梁的下邊纖維受拉， 故中性軸以下部分均為正的正應(yīng)力，而中性軸以上部分均為負(fù)的正應(yīng)力；M為負(fù)時(shí)，應(yīng)力正負(fù)號(hào)則相反。公式是在矩形截面梁的情況下進(jìn)行推導(dǎo)的，但推導(dǎo)過程

33、并未使用任何關(guān)于矩形的幾何性 質(zhì)，所以只要梁有一縱向面，且載荷作用在這個(gè)平面內(nèi)，公式就可適用。由正應(yīng)力計(jì)算公式可知，某一橫截面上的最大應(yīng)力發(fā)生在距離中性軸的最遠(yuǎn)處，即MM8皿-Pi -,二L（3-20）其中，叼工=1=切*稱為截面系數(shù)或抗彎截面模量。對(duì)實(shí)心矩形截面（圖 3-24 ）3-243-24對(duì)于實(shí)心圓截面（圖 3-24有關(guān)型鋼的相關(guān)數(shù)據(jù)可查附錄n。例3-6把直徑為d=1mm的鋼絲繞在直徑為 2m的卷筒上，試計(jì)算鋼絲中產(chǎn)生的最大應(yīng)力。 設(shè) E=200GPa 。解 取鋼絲作為研究對(duì)象，由純彎曲正應(yīng)力的推導(dǎo)過程可知，鋼絲中的最大正應(yīng)力發(fā)生在 鋼絲橫截面的最外側(cè)。此時(shí)，鋼絲橫截面的中性軸曲率半徑

34、為口 = 1。乃陽(yáng)洌1成，故=E = 2O0 IO5 X= lOOMFa.第六節(jié) 梁橫力彎曲時(shí)截面上的應(yīng)力一、橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力梁在橫力彎曲時(shí)，橫截面上不僅有彎矩而且有剪力。彎矩為橫截面上法向分布內(nèi)力系對(duì)中性軸的合力矩，而剪力為與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力。因此，在橫力彎曲情況下，橫截面上不僅有正應(yīng)力，而且還有切應(yīng)力。純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力是在平面假設(shè)的前提條件下推導(dǎo)出來的。在橫力彎曲下，此時(shí)橫截面將不再保持為平面，而且往往也不能保證縱向纖維之間沒有擠壓。雖然說橫力彎曲和純彎曲之間存在這些差異，但進(jìn)一步分析表明，用純彎曲梁的正應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算細(xì)長(zhǎng)梁橫 力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，并不會(huì)引起很

35、大的誤差，其計(jì)算結(jié)果能夠滿足工程問題的精度要求。橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上的彎矩隨截面位置的不同而變化。一般情況下，等截面梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的橫截面上，且離中性軸最遠(yuǎn)處，即發(fā)生在危險(xiǎn)截面的危險(xiǎn)點(diǎn)處， 于是(3-21)對(duì)于變截面梁，最大彎曲正應(yīng)力不一定在彎矩最大的橫截面上，其大小應(yīng)為:(3-22)(3-22)即彎矩最大的截面不一定是危險(xiǎn)截面。上式表明：梁的最大正應(yīng)力不僅與M有關(guān)，而且與截面的形狀和尺寸有關(guān)。二、橫力彎曲時(shí)矩形截面梁的切應(yīng)力以圖3-25a所示矩形截面梁為例，來推導(dǎo)其橫截面上的切應(yīng)力。首先必須作如下兩個(gè)基本假 設(shè)：(1)截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力 的方向與該截面上的剪力Fq方向平行。

36、(2)切應(yīng)力工沿寬度均勻分布，即 工的大小只與距離中性軸的距離有關(guān)。按照上述兩個(gè)假設(shè)，矩形截面上切應(yīng)力分布規(guī)律和方向如圖3-25 (b)所示。圖 2*25從圖3-25a所示的梁中切取長(zhǎng)為 dx的微段，放大后見圖 3-26a。在ac截面上有剪力Fq和 彎矩M ,在bd截面上有剪力Fq和彎矩(M=dM)。微段兩側(cè)面上的應(yīng)力分布如圖3-26b,切應(yīng)力方向與剪力方向一致，中性層上方正應(yīng)力為壓應(yīng)力，下方則為拉應(yīng)力。由于截面和截面的彎矩值不同，故兩個(gè)截面同一高度上的正應(yīng)力不同，截面上正應(yīng)力大于 ac截面上正應(yīng)力。用平行于中性軸且距中性層為y的平面把這一微段梁截開，取下面部分來研究(圖3-27),在其左側(cè)面

37、上作用著因彎矩 M引起的正應(yīng)力，在其右側(cè)面上作用著因彎矩M+dM引起的正應(yīng)力。在其頂面上，根據(jù)切應(yīng)力互等定律作用著切應(yīng)力十,大小等于橫截面上該處的切應(yīng)力工，方向垂直于交線。以上三種應(yīng)力(即兩側(cè)正應(yīng)力和切應(yīng)力/)都平行于x軸，可分別合成為Fni、FN2和Fqi,將這三個(gè)力向x軸投影，可導(dǎo)出T(y)的計(jì)算公式。圖 3-27設(shè)Fni為研究部分左側(cè)面上正應(yīng)力組成的合力，即Fwi 仃3式中Ai為研究部分左側(cè)面或右側(cè)面的面積，dA為Ai上的微面積，它距中性軸為歲，b1)dA為dA上的法向微合力。由于 b(?)=MO/Iz,所以(a)皿認(rèn)髀昔(a),表示面積 Ai對(duì)中性軸的靜矩，其單位是 m3或mm3。qs

38、，.= -iqs，.= -iL 即=“4(b)在頂面上，由于dx很小，可忽略該切應(yīng)力沿 dx的微小變化，從而與頂面相切的內(nèi)力系的合 力為(c)(d)F囪-T&d* -(c)(d)由x方向的平衡條件& =口,可得-FM _Fq = Q將式（a）、（b）、（c）代入得% 工凡% 工凡M + dM 4-m+凡-式。x為y的各點(diǎn)處的切應(yīng)力r（y）整理上式，并注意到 x為y的各點(diǎn)處的切應(yīng)力r（y）(3-23)曲式中，F(xiàn)q為橫截面上的剪力，b為截面寬度，Iz為整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩，與 為微段橫截 面面積Ai （即梁橫截面上距中性軸為 y的橫線以外部分的面積）對(duì)中性軸的靜矩。對(duì)于矩形截面（圖 3-28）

39、,可取必二七1至，于S J=公我=與一這樣，橫截面上切應(yīng)力公式可以寫成3-28）。3-28）。當(dāng)2分以時(shí)，3=0。從上式可以看出，沿截面高度切應(yīng)力按拋物線規(guī)律變化（圖這表明在截面上下邊緣的各點(diǎn)處，切應(yīng)力等于零。隨著離中性軸距離的減小，切應(yīng)力逐漸增大，當(dāng)y=0時(shí)，丁為最大值，即最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上FqhJW = 37如以Iz=bh3/12代入上式，即可得出小-三包一 （3-24b）可見矩性截面梁的最大切應(yīng)力為橫截面上平均切應(yīng)力Fq/（bh）的1.5倍。三、橫力彎曲時(shí)其它形狀截面梁的切應(yīng)力.工字形截面梁工字形截面由翼緣和腹板組成（圖3-29 ）。要討論該截面上的切應(yīng)力，必須分別討論翼緣和腹板上

40、的切應(yīng)力。3-23)3-23)腹板截面是一狹長(zhǎng)矩形，關(guān)于矩形截面上切應(yīng)力分布的兩個(gè)假設(shè)依舊成立，所以式（仍然適用。若要計(jì)算腹板上距中性軸為 處的切應(yīng)力，即為圖3-29a中畫陰影部分的面積 對(duì)中性軸的靜矩哼荊+拷-撲哈4+拷T=-于是儂嚕押7，*竽-再由此可見，腹板上切應(yīng)力也是按拋物線規(guī)律分布的(圖3-29 由此可見，腹板上切應(yīng)力也是按拋物線規(guī)律分布的(圖3-29 )。用y=0科2 %分別代入上式，可求出腹板上的最大和最小切應(yīng)力分別為13bg 3從以上兩式可以看到，因?yàn)楦拱宓膶挾?b遠(yuǎn)小于翼緣的寬度 B,所以小與11t實(shí)際相差不大, 可認(rèn)為在腹板上切應(yīng)力大致是均勻分布的。若工字鋼為附錄所列的標(biāo)準(zhǔn)

41、型鋼，則中性軸處的切應(yīng)力為_ 坨W = TS*J SUK i公式中IJE；叫K的值可由型鋼表直接查得。在翼緣上，也應(yīng)有平行于 Fq方向的切應(yīng)力分量，分布情況比較復(fù)雜。但其數(shù)量較小，一般不予計(jì)算。此外，翼緣上還有平行于翼緣寬度的切應(yīng)力分量，但數(shù)量比較小，一般不予考慮。.圓形截面梁圓形截面上切應(yīng)力分布規(guī)律如圖3-30所示。可以看出，切應(yīng)力都平行于剪力的假設(shè)已不再成立。在工程實(shí)際中，大家關(guān)心的是橫截面上的最大切應(yīng)力，其位置在中性軸處，大小為4 Fq 4 Fn=工丁 = v (3-25)可見最大切應(yīng)力是平均切應(yīng)力的4/3倍。圖+30圖+30.圓環(huán)形截面（薄壁管）梁圓環(huán)形截面上切應(yīng)力分布規(guī)律如圖3-31

42、所示。最大切應(yīng)力也在中性軸處，為= 2 譚二（3-26）即最大切應(yīng)力為橫截面上平均切應(yīng)力的2倍。圖 3-圖 3-31. T形截面梁T形截面上切應(yīng)力分布規(guī)律如圖3-32所示。最大切應(yīng)力在中性軸Z處，為其中，通 皿為橫截面中性軸z 一側(cè)面積（下部或上部）對(duì) z軸的靜矩，bi為腹板寬度。四、彎曲中心的概念上面所討論的彎曲變形的桿件均具有縱向?qū)ΨQ面，而橫向力就作用在這個(gè)對(duì)稱面內(nèi)， 所發(fā)生的彎曲變形為平面彎曲，沒有扭轉(zhuǎn)變形。但若橫向力作用平面不是縱向?qū)ΨQ面， 即使是形 心主慣性平面，如圖 3-33a所示，桿件除彎曲變形外，還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。只有當(dāng)橫向力通過截面內(nèi)的某一特定點(diǎn) A時(shí)，桿件才只發(fā)生彎曲而無扭

43、轉(zhuǎn)變形（圖 3-33b）。橫截面內(nèi)的這3-2中給出了工3-2中給出了工表3-2幾種截面的彎曲中心位置開口薄壁桿件的抗扭剛度較小，若橫向力不通過彎曲中心，將引起比較嚴(yán)重的扭轉(zhuǎn)變形，不但要產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，有時(shí)還將因約束扭轉(zhuǎn)而引起附加的正應(yīng)力和切應(yīng)力，因此應(yīng)盡可能避免這種情況。而實(shí)體桿件或閉口薄壁桿件的抗扭剛度較大，且彎曲中心通常在截面形心附近，因此當(dāng)橫向力通過截面形心時(shí)，引起的扭轉(zhuǎn)變形不大，一般可不予考慮。例3-7圖3-34所示矩形截面懸臂梁。已知 ：F=85kN,l=3m,h=400mm,b=240mm 。試求：(1)危險(xiǎn)截面(彎矩 Mmax和FQmax所在的截面最大的截面)上 a、C、d、e、

44、f五點(diǎn)的正應(yīng) 力及切應(yīng)力；(2)畫出危險(xiǎn)截面上正應(yīng)力及切應(yīng)力分布規(guī)律圖。耳匚即.hm127 5解（1）確定危險(xiǎn)截面。要確定梁的危險(xiǎn)截面，必須首先畫出梁的 Fq圖和M圖（圖3-34c、d）。由圖可知，B截面右側(cè)為FQmax所在的截面和 M max所在的截面（即危險(xiǎn)截面）在同一截面，均為B截面右側(cè)，且（2）計(jì)算各點(diǎn)的正應(yīng)力矩形截面對(duì)其中性軸的慣性矩L = = 1xM4003x10-iu4 =1 28xl（T V1 口 12% =%=上睦 -=xiO-3Pa =LP.MMPa TOC o 1-5 h z a點(diǎn)【工 1工2 1.要1口，上（拉）%=牛我a=。兆MPab點(diǎn)L 4（拉）c 點(diǎn) ,1d點(diǎn)氣外

45、號(hào)%MP& （壓）e點(diǎn)入工國(guó)磔臉（壓）（3）計(jì)算各點(diǎn)的切應(yīng)力。a點(diǎn)和e點(diǎn)均在梁的上、下緣，故 % = % =。； b點(diǎn)和d點(diǎn)距中性軸z等距離，它們的值應(yīng)相等，為6 K野打臚 O37和）葭1 口也 7C點(diǎn)在中性軸處（4）畫b、丁分布規(guī)律圖。正應(yīng)力 b沿截面高度線性變化，在上、下緣最大，且在中性軸上 部為拉應(yīng)力，下部為壓應(yīng)力，其分布規(guī)律如圖3-34e所示。切應(yīng)力工沿截面高度按二次拋物線規(guī)律變化，在中性軸處 最大，在上、下緣為零，其分布規(guī)律如圖3-34f所示。第七節(jié) 組合變形時(shí)橫截面上的應(yīng)力在分析組合變形橫截面上的應(yīng)力時(shí)，可先將外力進(jìn)行簡(jiǎn)化或分解， 把構(gòu)件上的外力轉(zhuǎn)化成幾組靜力等效的簡(jiǎn)單載荷，其中每

46、一種載荷對(duì)應(yīng)著一種基本變形。這樣可分別研究每一基本變形下橫截面上的應(yīng)力， 然后將所得結(jié)果疊加， 便是構(gòu)件在組合變形下的應(yīng)力。這就是計(jì)算組合變形應(yīng)力的疊加原理。本節(jié)主要研究密圈彈簧、拉（壓）彎、彎扭等組合變形構(gòu)件橫截 面上的應(yīng)力。一、圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力彈簧是工程實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛的零件。其特點(diǎn)是容易發(fā)生較大的變形，從而吸收并儲(chǔ)存能量；而當(dāng)外力消失后，又能夠迅速恢復(fù)變形從而釋放出所存儲(chǔ)的能量。所以，在很多的緩 沖減振裝置中經(jīng)常采用， 如車輛輪軸的彈簧。 除此之外，彈簧還可控制機(jī)械運(yùn)動(dòng)， 如凸輪機(jī) 構(gòu)的壓緊彈簧、內(nèi)燃機(jī)的氣閥彈簧等；也可以用彈簧來測(cè)量力的大小，如彈簧秤中的彈簧。螺旋彈簧簧絲的軸

47、線是一條空間螺旋線（圖3-35a）,其應(yīng)力的精確分析比較復(fù)雜。但當(dāng)螺旋角很小時(shí)（一般口小于 ），便可省略的影響，即認(rèn)為6=0。從而可以近似地認(rèn)為簧 絲的各個(gè)橫截面都與彈簧軸線在同一個(gè)平面，或者說與彈簧所受到的軸向拉力或壓力共面。一般將這種彈簧稱為密圈螺旋彈簧。 此時(shí)，通常簧絲橫截面的直徑 d遠(yuǎn)小于彈簧圈的平均直 徑D,就可以忽略簧絲曲率的影響， 把簧絲作為等截面直桿看待。 下面就以此簡(jiǎn)化為基礎(chǔ)上 來推導(dǎo)彈簧的應(yīng)力。設(shè)彈簧受軸向壓力 F作用。以簧絲的任意橫截面截出上面部分作為研究對(duì)象。由于在密圈情況下，可以認(rèn)為壓力 F與簧絲橫截面在同一平面內(nèi)，為保持取出部分的平衡，橫截面上必定有一個(gè)與截面相切的

48、內(nèi)力系，這個(gè)內(nèi)力系簡(jiǎn)化為一個(gè)通過截面形心的切力Fq和扭矩Mx （圖3-35 ）。根據(jù)平衡方程，得Fq=F ,3-35d),與剪力Fq對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力Ti 3-35d),為 4FA 陽(yáng)與扭矩Mx對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力已2,可認(rèn)為其分布與軸線為直線的圓軸相同（圖3-35d）,其最大值為T* 三“皿 叫 一簧絲橫截面上的總應(yīng)力，應(yīng)是剪切和扭轉(zhuǎn)兩種切應(yīng)力的矢量和。而在靠近軸線的內(nèi)側(cè)點(diǎn) A處，總應(yīng)力達(dá)到最大值，即,則二/+叼皿=尋=寸金+）式中，第一項(xiàng)為剪切切應(yīng)力分量，當(dāng) DJd之山時(shí)，d/（2D）與1相比不超過5%,顯然可以省略。這就相當(dāng)于不考慮剪切，而只考慮扭轉(zhuǎn)的影響。于是可將上式寫成2F0在以上分析中，用直桿的

49、扭轉(zhuǎn)應(yīng)力公式計(jì)算應(yīng)力，沒有考慮簧絲實(shí)際上是一個(gè)曲桿。這在D/d較小，即簧絲曲率較大時(shí)，自然會(huì)引起一定的誤差。此外，認(rèn)為剪切引起的切應(yīng)力在簧 絲截面上均勻分布， 也是一個(gè)近似計(jì)算。 當(dāng)考慮這些因素以后，應(yīng)對(duì)以上公式進(jìn)行修正。修正后得最大切應(yīng)力的計(jì)算公式為4c- 14c- 1-0.615.跖口(3-28)D ,比-1 0.615c = 七=-F其中d , 4e 4 e式中，c稱為彈簧指數(shù)，修正系數(shù) k稱為曲度系數(shù)。當(dāng)彈簧的指數(shù)小于 10時(shí)，應(yīng)先計(jì)算出該彈簧的曲度系數(shù)后，再按修正后的公式計(jì)算簧絲中的最大切應(yīng)力。常見的彈簧指數(shù)c對(duì)應(yīng)的k值可查表3-3。窕37幡施墀黃的電度扇敏上a1.555 5&6.5

50、1T.5sS. E9e.a101211k31 l.居L.熱1.13LITLNL ISLIE二、拉伸（壓縮）與彎曲的組合設(shè)有一矩形截面懸臂梁， 如圖3-36a所示。在自由端的截面形心上受到一集中外力F作用,其作用線位于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，與梁軸線的夾角為 d。將力F沿梁的軸線方向x及與軸 線垂直白方向y分解為兩個(gè)分量Fx和Fy,得Fx=Fcos3, Fy=Fsin&0）圖“360）圖“36軸向力Fx使梁發(fā)生軸向拉伸變形，橫向力 Fy使梁發(fā)生彎曲變形。故梁在力 F作用下，將 產(chǎn)生軸向拉伸與彎曲的組合變形。 在軸向力Fx的作用下，梁各橫截面上的內(nèi)力 FN=Fx,它在 橫截面上產(chǎn)生均勻分布的正應(yīng)力，其值

51、為r / 31ggdCT = =A A式中,A為橫截面的面積。拉應(yīng)力沿截面高度的分布情況如圖3-36b所示。在橫向力Fy的作用下，梁在固定端截面有最大彎矩，因而該截面是梁的危險(xiǎn)截面。且Mmax=Fyl=Flsin由此產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為仃二士二土同皿一明 見式中,Wz為橫截面的抗彎截面模量。彎曲正應(yīng)力沿高度的分布情況如圖3-36c所示。危險(xiǎn)截面（最大彎矩和最大軸力截面）上總的正應(yīng)力可由拉應(yīng)力與彎曲正應(yīng)力疊加而得，其應(yīng)力分布情況如圖 3-36d所示。在截面的上邊緣各點(diǎn)有最大正應(yīng)力A WA W(3-29a)而下邊緣各點(diǎn)則有最小正應(yīng)力(3-29b(3-29b)按上式所得bmin可為拉應(yīng)力，也可為壓

52、應(yīng)力，視等式右邊兩項(xiàng)的代數(shù)值大小而定。圖 3-36d 是根據(jù)第一項(xiàng)小于第二項(xiàng)的情況畫出。對(duì)于壓縮與彎曲的組合， 完全可以應(yīng)用上述計(jì)算方法，區(qū)別僅在于軸向力引起壓應(yīng)力而已。三、偏心壓縮圖3-37a所示的矩形截面立柱，在頂端受與柱軸線平行的力F的作用。力作用在 x軸上,且偏心距為e。將力F向截面形心平移，得主矢 F和主矩M=Fe （圖3-37b）。d)U3-37在F和M共同作用下，立柱產(chǎn)生軸向壓縮和純彎曲兩種基本變形，所以偏心壓縮也是壓縮與彎曲的組合，且任意兩個(gè)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力都是相同的?？梢娏⒅我粰M截面mn上任一點(diǎn)的正應(yīng)力 應(yīng)為軸向壓縮產(chǎn)生的正應(yīng)力 b和b純彎曲產(chǎn)生的正應(yīng)力 仃”的疊加（圖

53、 3-37c）。即,FF- b+b 士 z 士z（3 -（3-30）可見，b是z的線性函數(shù)。不難看出，截面上可能存在一條正應(yīng)力為零的直線，即偏心壓 縮時(shí)截面的中性軸，以 y表示（圖3-37 ）,該軸一側(cè)為壓應(yīng)力，另一側(cè)為拉應(yīng)力，并且離 開y軸越遠(yuǎn)，正應(yīng)力數(shù)值越大。一般情況下，壓力 F的作用點(diǎn)不在截面的對(duì)稱軸上，例如在k(yk,zk)點(diǎn)(圖3-38a)。同樣將F向截面形心平移，得到軸向壓力F和分別對(duì)y軸和x軸的力矩My及Mz 。其中于是截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力為F a- CIJF a- CIJ+G-+JJ，=-月 %(3-31)令上式等于零，就得到中性軸的方程。 可見中性軸為一條斜直線且不通過截面形心，截面上正應(yīng)力分布規(guī)律如圖 3-38b所示，、兩點(diǎn)分別為最大拉應(yīng)力 仃十強(qiáng)和最大壓應(yīng)力仃一11作 用點(diǎn)，其大小分別為以上分析方法，同樣適用于偏心拉伸情形。對(duì)于一般受偏心壓縮的立柱，橫截面上既有拉應(yīng)力，又有壓應(yīng)力，這兩種應(yīng)力的分界線即為中性軸，其位置與偏心力作用點(diǎn)離中性軸的距離有關(guān)。力作用點(diǎn)離形心愈近，中性軸離形心愈遠(yuǎn)，甚至可在截面的外邊，這樣橫截面上就只有一種壓應(yīng)力。在工程上，許多建筑材料抗拉性能差抗壓