數(shù)字電子技術(shù)10課件第2章

1、數(shù)字電子技術(shù)主講人 沈陽工業(yè)大學(xué)軟件學(xué)院 Shenyang University of Technology王德新第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容 2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則 2.4 邏輯函數(shù)的性質(zhì) 2.5 邏輯函數(shù)的化簡 2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念 邏輯狀態(tài) 用不同的數(shù)字表示不同的事物或者事物的不同狀態(tài)，稱為邏輯狀態(tài) 符號 1 和 0來表示兩種相互對立的狀態(tài)（如對與錯、有與無、開與關(guān)，是與非、接通和斷開等）2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念 邏輯0狀態(tài)

2、和邏輯1狀態(tài) 事物往往存在兩種對立的狀態(tài)，在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為 0 和 1 ，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念 邏輯 是指事物的因果關(guān)系 邏輯運(yùn)算 當(dāng)兩個數(shù)字代表兩個不同的邏輯狀態(tài)時，可以按照它們之間存在的因果關(guān)系進(jìn)行推理運(yùn)算，稱之為邏輯運(yùn)算2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念 邏輯代數(shù) 1849年英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾(George Boole)首先提出，用來描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法稱為邏輯代數(shù) 邏輯代數(shù)也稱為布爾代數(shù) 分析和設(shè)計(jì)數(shù)字邏輯電路的主要數(shù)學(xué)工具2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念

3、 邏輯變量 邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母ABC等表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念 邏輯函數(shù) 設(shè)某一邏輯網(wǎng)絡(luò)的輸入邏輯變量為A1A2，An。輸出邏輯變量為F，當(dāng)輸入取值確定后，輸出值就被唯一地確定下來，則稱F是A1A2，An的邏輯函數(shù)。記為F=f（ A1 ， A2，An）2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念 邏輯函數(shù)的表示方法 真值表(窮舉法) Truth Table 邏輯表達(dá)式 Algebraic Forms of Switching Funct

4、ions 卡諾圖 Karnaugh MAP2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念真值表 真值表：是由邏輯變量（設(shè)有n個）的所有可能取值組合（2n）及其對應(yīng)的邏輯函數(shù)值所構(gòu)成的表格 對應(yīng)這些輸入組合，真值表就有2n行，其中輸入組合在左邊，輸出函數(shù)值列在右邊 為了不遺漏或重復(fù)，輸入變量的取值組合最好按二進(jìn)制遞增（或遞減）的順序排列真值表2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念 真值表能直觀、明了地反映輸入變量取值和函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，即邏輯功能，但變量多時，表格比較繁瑣 一個確定的邏輯函數(shù)只有一個邏輯真值表，即真值表具有惟一性真值表輸入變量A B C輸出Y1 Y2 輸入變量所有可能的取值輸出對

5、應(yīng)的取值2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念 用真值表描述邏輯函數(shù)真值表 A B F 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 12.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念 F=f（A，B）的真值表如下：其中A，B為輸入邏輯變量，F(xiàn)為輸出函數(shù) 如兩個邏輯函數(shù)具有相同的真值表，則稱這兩個函數(shù)是等價的函數(shù)等價2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念邏輯表達(dá)式 是由邏輯變量和與、或、非三種邏輯表達(dá)式邏輯運(yùn)算構(gòu)成的代數(shù)表達(dá)式 任何邏輯函數(shù)不論多復(fù)雜，都可由邏輯表達(dá)式來描述 上表所示邏輯函數(shù)，可用F=ab來表示，式中“”是與運(yùn)算符號 邏輯表達(dá)式表示邏輯函數(shù)，形式簡潔，書寫方便，便于推演、變換2.1 邏輯代數(shù)

6、中的幾個概念2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念卡諾圖卡諾圖是由表示邏輯變量的所有可能組合的小方格所構(gòu)成的圖形 邏輯函數(shù)的三種表示方法各有特點(diǎn)，適用于不同的場合，可方便地相互轉(zhuǎn)換 對于一給定的邏輯函數(shù)，其真值表與卡諾圖表示方法惟一確定，而邏輯表達(dá)式可以有多種形式1953年,美國卡諾提出第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容 2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則 2.4 邏輯函數(shù)的性質(zhì) 2.5 邏輯函數(shù)的化簡 2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 邏輯代數(shù)的三種基本運(yùn)算與運(yùn)算1或運(yùn)算2非運(yùn)算32.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算2.2 邏輯代數(shù)

7、的基本運(yùn)算 邏輯代數(shù)的三種基本運(yùn)算與運(yùn)算1或運(yùn)算2非運(yùn)算3與運(yùn)算2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡Y1 與邏輯的定義：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。表達(dá)式為：Y=AB 或 Y=AB，又叫邏輯乘,也可以將運(yùn)算符省略定義兩個開關(guān)必須同時接通，燈才亮。邏輯表達(dá)式為：A、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈不亮。A接通、B斷開，燈不亮。A、B都接通，燈亮。這種把所有可能的條件組合及其對應(yīng)結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表。將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0。可以作出如下表格來描述與邏輯關(guān)系：功能表實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與

8、門的邏輯符號：邏輯符號與運(yùn)算2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 與門的邏輯符號1 A B F C A B F C 美國標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)符號或運(yùn)算2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 開關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡Y2 或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，)中，只要有一個或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達(dá)式為：定義兩個開關(guān)只要有一個接通，燈就會亮。邏輯表達(dá)式為：+A、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈亮。A接通、B斷開，燈亮。A、B都接通，燈亮。實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號：Y=A+B真值表功能表邏輯符號或運(yùn)算2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 或門的邏輯符號2 A B F C 美國標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)符號1

9、非運(yùn)算2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 開關(guān)A控制燈泡Y3 非邏輯的定義：非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：定義實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。非門的邏輯符號：Y=AA斷開，燈亮。A接通，燈滅。真值表功能表邏輯符號非運(yùn)算2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 非運(yùn)算又稱為邏輯非，或稱為“求補(bǔ)”，還可記為：F=A或A，A叫原變量，A 稱為反變量3 在數(shù)理邏輯中，邏輯非是邏輯否定的含義，A是事件F成立的前提條件，若A成立，則F不成立，若A不成立則F成立，這種前提與結(jié)論之間的因果關(guān)系稱為“邏輯非”非運(yùn)算2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 非門的邏輯符號3

10、 美國標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)符號與、或、非的邏輯符號2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算4 與、或、非的邏輯符號 第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容 2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則 2.4 邏輯函數(shù)的性質(zhì) 2.5 邏輯函數(shù)的化簡 2.1 邏輯代數(shù)中的幾個概念2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則常量之間的關(guān)系12.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則基本公式2分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。重疊律基本定理3利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證AB=BA：基本定理3 證明分配率：A+BC=(A+B)(A+

11、C)證明(A+B)(A+C)=AA+AC+BA+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AC+AB+BC等冪率AA=A=A(1+C+B)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=12.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則 用真值表證明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則ABC = (AB)(AC) A B C (BC) ABC A+B A+C (AB)(AC)0 0 0 0 0 10 1 00 1 1 0 01 0 1 1 01 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

12、 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 常用公式4分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補(bǔ)率A+A=10-1率A1=1常用公式4互補(bǔ)率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1常用公式4 由此可以看出：與或表達(dá)式中，兩個乘積項(xiàng)分別包含同一因子的原變量和反變量，而兩項(xiàng)的剩余因子包含在第三個乘積項(xiàng)中，則第三項(xiàng)是多余的推廣吸收律反演律分配律結(jié)合律交換律重疊律互補(bǔ)律公 式 101律對合律名 稱 公 式 2基 本 公 式2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則5 代入原則 任何一個含有變量A的等式，如果將所有

13、出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則 代入原則 例如，已知等式 ，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則5反演規(guī)則 對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。邏輯代數(shù)的基本規(guī)則2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則5對偶規(guī)則 對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)，Y稱為函數(shù)Y的對偶函數(shù)。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如：對偶規(guī)則2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則 如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證