逆矩陣的幾種求法與解析很全很經(jīng)典

1、逆矩陣的幾種求法與解析矩陣是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，很多實(shí)際問(wèn)題用矩陣的思想去解既簡(jiǎn)單又快捷.逆 矩陣又是矩陣?yán)碚摰暮苤匾膬?nèi)容，逆矩陣的求法自然也就成為線性代數(shù)研究的主 要內(nèi)容之一.本文將給出幾種求逆矩陣的方法.利用定義求逆矩陣定義：設(shè)A、B都是n階方陣，如果存在n階方陣B使得AB= BA = E,則稱A為 可逆矩陣，而稱B為A的逆矩陣.下面舉例說(shuō)明這種方法的應(yīng)用.例1求證：如果方陣A滿足A k= 0,那么EA1可逆矩陣，且(E-A) 1 = E + A + A 2+ - +Ak 1證明 因?yàn)镋與A可以交換，所以(E- A )(E+A + A 2+ - + Ak 1)= E-A K ,因AK =

2、 0 ,于是得(E-A) (E+A+A+-+Ak 1) =E,同理可得(E + A + A 2+Ak1) (E-A尸E,因此E-A是可逆矩陣，且(E-A) 1= E + A + A 2+tAK1.同理可以證明(E+ A)也可逆,且(E+ A) 1= E -A + A 2+- + (-1) K1AK1.由此可知，只要滿足AK=0,就可以利用此題求出一類矩陣E A的逆矩陣.00000 300000 300求E-A的逆矩陣.例2設(shè)A = 0 20000分析由于A中有許多元素為零，考慮AK是否為零矩陣，若為零矩陣，則可以采用例2的方法求E-A的逆矩陣.解容易驗(yàn)證0 0 2 020 0 0 6A20 0

3、 2 020 0 0 6A2 =0 0 0 00 0 0 000000000000060 , A4=00011002 62 61 301而 11002 62 61 3011(E-A) 1= E+A+ A2 + A3= 000.初等變換法求元素為具體數(shù)字的矩陣的逆矩陣， 常用初等變換法.如果A可逆，則A可通過(guò)初 等變換，化為單位矩陣I,即存在初等矩陣P,P2 ,8使（1）P1P2 psA=I,用A2 50010130102 500101301000 11/61/61/3(2)P1P2PsI= A比較（1） （2）兩式，可以看到當(dāng)A通過(guò)初等變換化為單位矩陣的同時(shí)，對(duì)單位 矩陣I作同樣的初等變換，就

4、化為A的逆矩陣A1.用矩陣表示（A I ）初等行變換為（I A 1）,就是求逆矩陣的初等行變換法,它是實(shí)際應(yīng)用中比較簡(jiǎn)單的一種方法.需要注意的是，在作初等變換時(shí)只允許作行初 等變換.同樣，只用列初等變換也可以求逆矩陣.2 3 1例1求矩陣A的逆矩陣.已知A= 0 1 3 .1 2 52 31100125 0 0 1解A I 0 1 3 0 1 00 1 3 0 1 01 25001231 1 0 01 0 01/613/6 4/30 1 01/23/210 0 11/61/6 1/313/6 4/33/211/61/3換過(guò)程中發(fā)現(xiàn)左邊的矩陣有一行元素全為0,則意味著上可逆,因?yàn)榇藭r(shí)表明A=0,

5、則13/6 4/33/211/61/3換過(guò)程中發(fā)現(xiàn)左邊的矩陣有一行元素全為0,則意味著上可逆,因?yàn)榇藭r(shí)表明A=0,則A 1不存在.例2求人=解A E=3612由于左端矩陣中有一行元素全為0,于是它不可逆，因此A不可逆.1/6故 A 1= 1/21/6在事先不知道n階矩陣是否可逆的情況下，也可以直接用此方法.如果在初等變.伴隨陣法定理n階矩陣A=aj為可逆的充分必要條件是 陽(yáng)奇異.且A1A11 AA22.An2=A .AnA矩陣AA矩陣AAn1An2稱為矩陣A勺伴隨矩陣，記作A3,于是有A1=! A3.AAnA2n證明 必要性：設(shè)A可逆，由A A 1 =I ,有AA 1 = I ,則A A 1

6、= I ,所以A 0,即A為非奇異.充分性：設(shè)A為非奇異，存在矩陣2其中B= 1 AA21.AA22.An. An其中B= 1 AA21.AA22.An. An此 .anA1A21.Ana22.a2n1AI2A22.A. .A.1.1an2.annAnA2n.A12nA2nan1Ana11a21AB= 21A .0同理可證BA=I.由此可知，若A由此可知，若A可逆，則A 1= 1AA3.用此方法求逆矩陣，對(duì)于小型矩陣，特別是二階方陣求逆既方便、快陣，又有 規(guī)律可循.因?yàn)槎A可逆矩陣的伴隨矩陣，只需要將主對(duì)角線元素的位置互換，次對(duì) 角線的元素變號(hào)即可.若可逆矩陣是三階或三階以上矩陣，在求逆矩陣的

7、過(guò)程中，需要求9個(gè)或9個(gè)以上代數(shù)余子式，還要計(jì)算一個(gè)三階或三階以上行列式，工作量大且中途難免 出現(xiàn)符號(hào)及計(jì)算的差錯(cuò).對(duì)于求出的逆矩陣是否正確，一般要通過(guò) AA 1=1來(lái)檢驗(yàn).旦發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，必須對(duì)每一計(jì)算逐一排查.分塊矩陣求逆法準(zhǔn)對(duì)角形矩陣的求逆命題設(shè)A11、A22都是非奇異矩陣，且A11為命題設(shè)A11、A22都是非奇異矩陣，且A11為n階方陣，A22為n方陣證明因?yàn)锳 =A100A22A100A22=Ah A22A11 100 A22 10,所以A可逆.Y A1Y A1W 00=InA22-0I、X設(shè) A1= Z其中 X A 11=1 n , Y A 22 =0, Z A11=0, W A22n

8、m,又因?yàn)锳11、A22都可逆，用 A11 1A221分別右乘上面左右兩組等式得:X= A11A221分別右乘上面左右兩組等式得:X= A111 , Y=0, Z=0, W= A2 121A1100A22 1把上述結(jié)論推廣到每一個(gè)子塊都是非奇異矩陣的準(zhǔn)對(duì)角形狀矩陣中去，即:A1A2 A1A2 1A2Ak 1準(zhǔn)三角形矩陣求逆命題設(shè)An、A22都是非奇異矩陣,則有證明因?yàn)锳110A命題設(shè)An、A22都是非奇異矩陣,則有證明因?yàn)锳110A12A22A110A12A221_ A1101A11A12 A22A22 1A11A12IA1100A22兩邊求逆得所以A110A12A22A11IA12所以A11

9、0A12A22A11IA12A11IA1101A12A12A22A11 101_ A1100A22 10A22 1AiA210AAiA210A221A111A11 A21 A220A22 1.5,恒等變形法包等變形法求逆矩陣的理論依據(jù)為逆矩陣的定義，此方法也常用與矩陣的理論 推導(dǎo)上.就是通過(guò)包等變形把要求的值化簡(jiǎn)出來(lái)，題目中的逆矩陣可以不求，利用AA1=E,把題目中的逆矩陣化簡(jiǎn)掉。10 0例1 計(jì)算(A+4日T (4E-A) 1 (16E-A2)的行列式，其中A= 1 2 014 1解 令(A 4E)t(4E A) 1(16E A2) =DD=(A 4E)t(4E A) 1(16E A2)=(

10、4E A)t(4E A) 1(4E A)(4E A)= (4E A)(4E A)t =(4E A)2.雖然題目中出現(xiàn)了( 4E-A) 1.但是經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)之后不再出現(xiàn)此式，因此得_2D=4E A =22500.例2 已知n階矩陣A1足A2+2A-3E=0.求證：A+4皿逆并求出A+4由勺逆.證明 把A2 +2A-3E=(K形為 A2 +2A-8E=5E 即(A+4EJ (A-2E) =-5E,可得(A+4E (-A/5+2E/5 ) =E, 所以存在一個(gè)矩陣B=-A/5+2E/5,使(A+4B B=E由定義得A+4皿逆，且(A+4B 1 =B=-A/5+2E/5.另外，有些計(jì)算命題中雖出現(xiàn)逆矩陣，

11、但通過(guò)適當(dāng)?shù)木仃囘\(yùn)算可消去，因而不 必急于求出逆矩陣.6.利用線性方程組求逆矩陣若n階矩陣A可逆，則A A 1=E,于是A 1的第i列是線性方程組AX=的解， i=1,2,n,E是第i個(gè)分量是I的單位向量.因此，我們可以去解線性方程組 AX=B 其中B= (b1,b2,bn) T,然后把所求的解的公式中的32,bn分別用Ei= (1,0,0,，E2= (0,1,0,0),E*(0,0,0，1)代替，便可以求得人1的第1, 2,門列，這種方法在某些時(shí)候可能比初等變換法求逆矩陣稍微簡(jiǎn)一點(diǎn).下面例子說(shuō)明該方法的應(yīng)用3 10 33 10 3例求矩陣A= 0 000000001 0 03 1 0的逆矩陣

12、.0310 0 3解 設(shè)*= (x1,x 2,x 3,x 4,x 5)T ,B=(b 1,b 2,b 3,b 4,b 5) T 解方程組 AX=B,即:3x1 x2 bi3x2 x3 b23x3 x4 b33x4 x5 b43x5b5x13 5(34b133 b232 b3 3b4 b)解得:x23 4 (33b2 32 bs 3b4 b5)解得:x33 3(32b3 3b4 b5)2x43 (3b4 b5)x531b5然后把B= (b1,b2,bn)歹1，分別用E1= (1,0,0, ,0),E2= (0,1,0, ,0),，En =(0,0,0,，1)代入，得到矩陣A 1的第1, 2 ,

13、3, 4, 5列，分別用x1二( 31 ,0,0,0,0) Tx1二( 31 ,0,0,0,0) Tx2=(32 , 3 1 ,0,0,0) Tx 3 =(33,3 2, 3 1,0,0) TX4=(3 4,3 3,3 2, 3 1 ,0) TX5=(3 5,3 4,3 3,3 2, 3 1)T31 0 A 1 = 0 0 0323133323131 0 A 1 = 0 0 03231333231343533343233313231這種方法特別適用于線性方程組AX6匕較容易求解的情形，也是很多工程類問(wèn) 題的解決方法.以上各種求逆方法只是我的一些粗淺的認(rèn)識(shí)，也許有很多的不當(dāng)之處，我希望 我的這篇

14、文章能給大家?guī)?lái)幫助，能幫助我們更快更準(zhǔn)地解決好繁瑣的求逆矩陣問(wèn) 題.同時(shí)，它還是我們更好的學(xué)習(xí)線性代數(shù)的必備基礎(chǔ)知識(shí)， 認(rèn)真掌握它，可供我們 以后繼續(xù)在數(shù)學(xué)方面深造打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).但我很希望各位老師和同學(xué)給于指導(dǎo).能 使我的這篇文章更加完善和實(shí)用.參考文獻(xiàn)1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)M .北京：高等教育 出版社，2001.2楊明順.三角矩陣求逆的一種方法J .渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003.3丘維聲.高等代數(shù)M .北京：高等教育出版社，2001.4楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題集M.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,1984.5趙樹(shù)原.線性代數(shù)M.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1997.6李宗鐸.求逆矩陣的一個(gè)方法J .數(shù)學(xué)通報(bào)，1983.7賀福利等.關(guān)于矩陣對(duì)角化的幾個(gè)條件J . 高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2004 , （1）8張禾瑞.郝炳新.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社.1999.9王永葆.