幾何圖形中函數(shù)解析式的求法(學(xué)法指導(dǎo))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)幾何圖形中函數(shù)解析式的求法函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)有相關(guān)聯(lián)系的細(xì)節(jié)，在歷年的中考試題中都占有重要的份量，而求函數(shù)的解析式則成為中考的熱點(diǎn)。求函數(shù)的解析式的方法是多種多樣的，但是學(xué)生往往把思維固定在用“待定系數(shù)法”去求函數(shù)的解析式。而使用待定系數(shù)法去求函數(shù)的解析式的大前提是必須根據(jù)題目的條件，選用恰當(dāng)函數(shù)（如正、反比例函數(shù)，一次、二次函數(shù)）的表達(dá)式。如果題目中能根據(jù)直接條件或間接條件給出函數(shù)的類型，當(dāng)然是選用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式。但我們發(fā)現(xiàn)，在

2、幾何圖形中求函數(shù)解析式卻成為初中數(shù)學(xué)考試的常見題、壓軸題。同時(shí)我們也發(fā)現(xiàn)，在幾何圖形中求函數(shù)解析式往往是無法確定所求函數(shù)的類型，因此用待定系數(shù)法進(jìn)行解題是行不通的。我們知道，函數(shù)的解析式也是等式，要建立函數(shù)解析式，關(guān)鍵是運(yùn)用已知條件在幾何圖形中找出等量關(guān)系，列出以變量有關(guān)的等式。下面以幾個(gè)例子來探求在幾何圖形中建立函數(shù)解析式的常見類型和解題途徑。用圖形的面積公式確立等量關(guān)系BCADP圖1例1、如圖1，正方形ABCD的邊長為BCADP圖1（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果SABP =S體型APCD請(qǐng)確定P的位置。分析：本題所給的變量是梯形的面積，因此可根據(jù)梯形面積公式S=（上底+下底）高 ，分別

3、找出上底、下底、高問題可獲解決。因?yàn)樯系證P=，下底AD=，高CD=，于是由梯形面積公式建立兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，整理得：。（2）略ADCBEFGN圖2例2、如圖2，在直角梯形ABCD中，ADBC，BCD=90，AD=ADCBEFGN圖2（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)矩形EFCG的面積等于梯形ABCD的面積的一半時(shí)，求的值；（3）當(dāng)ABC=30時(shí)，矩形EFCG是否能成正方形，若能求其邊長，若不能試說明理由。分析：本題所給的變量值是矩形的面積，因此根據(jù)矩形面積公式S=長寬，若能算出長FC與寬EF，或者用變量、表示FC和EF，則問題可獲解決。其中寬EF=，問題歸結(jié)為求出長FC，從而兩個(gè)變量、之

4、間的關(guān)系通過矩形面積公式建立了。解：（1）過點(diǎn)A作ANBC于N，因?yàn)樵诰匦蜤FCG中，EFBC， EFAN 即， 得BF=EG=FC=所求的函數(shù)關(guān)系式是（02）(2)、（3）略由直角三角形，利用勾股定理確立等量關(guān)系A(chǔ)ABCDOEF圖3例3、如圖3，在RtABC中，B=90，A=30，D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，AD的垂直平分線EF交B、AD、C于E、O、F，AB=2。（1）BD=，AE=，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）是否存在使四邊形AEDF為菱形？若存在，則說明理由。分析：本題所給圖形中直角三角形較多，將兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系集中到同一直角三角形中問題可獲得解決。因?yàn)锽D=x，AE=y，AB=2，所以

5、BE=2-y，又根據(jù)線段中垂線的性質(zhì)知DE=AE=y。于是，在RtBDE中，由勾股定理建立兩個(gè)變量之間的等式。 解：（1）EF是線段AD的中垂線， AE=DE= BD=，BE=，在RtBDE中， BD2+BE2=DE2，即 整理得在RtABC中，B=90，BAC=30，AB=2 ，BC= ，0。于是 (0)為所求的函數(shù)解析式。(2)略用平行線截線段成比例，利用比例式確立等量關(guān)系OOOBCDEA圖4T例4、如圖4，在ABC中，AB=8，AC=6，O是ABC的外接圓，且BC是直徑，O與O內(nèi)切于點(diǎn)A，與邊AB、AC分別交于點(diǎn)D、E。設(shè)BD=，DE=。（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出自變量的取值范圍；

6、（2）求當(dāng)O與BC相切時(shí)的值。分析：AB=8，BD=，AD=，如果能求得BC的長，知道DEBC，則問題便迎刃而解。顯然，這兩個(gè)問題可分別通過直徑所對(duì)的圓周角的性質(zhì)、弦切角定理獲得解決。解：（1）如圖4，過點(diǎn)A作O和O的公切線AT，則有BAT=DEA=BCA。DEBC， 。BC是直徑，BAC=90，BC= 。 ，與的函數(shù)關(guān)系式是:（08）。（2）略四、用相似三角形，對(duì)應(yīng)邊成比例的比例式確立等量關(guān)系A(chǔ)BCDPQ圖5例5、已知：矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cmABCDPQ圖5（1）設(shè)BP的長為，CQ的長為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）試討論當(dāng)P在什么位置時(shí)，CQ的值最大。分析：本題中AP

7、Q=90，若連結(jié)AQ，問題可以轉(zhuǎn)化為上述提到的“用直角三角形，利用勾股定理確立等量關(guān)系”，但計(jì)算過程中會(huì)比較復(fù)雜且運(yùn)算量較大，容易算錯(cuò)。但仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，由于BP=，CQ=，其中兩個(gè)變量都分別在不同的三角形中，要把它們建立起等量關(guān)系，則可考慮證ABPPCQ，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得：。從而問題可獲解決，相比之下比第一種方法要簡(jiǎn)單。ABCEABCEF圖6EAF=120。設(shè)BE=，CF=，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式。分析:本題中的BE=，CF=，其中兩個(gè)變量都分別在不同的三角形中，要把它們建立起等量關(guān)系，則可證ABEFCA，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得：。從而問題可獲解決。OEDABCGF圖7例

8、7、已知:ABC是正三角形,OEDABCGF圖7（1）當(dāng)點(diǎn)G在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）求自變量的取值范圍；（3）求EF的最大值。分析：其中DG=，EF=，由于G是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)G的位置改變，、的值也會(huì)隨著改變，這種“動(dòng)”的變化對(duì)于學(xué)生的理解來說是比較抽象的。如果連結(jié)OD、OE，由四邊形內(nèi)角和定理不難發(fā)現(xiàn)，在“動(dòng)”中存在著一個(gè)不動(dòng)的量，就是DFE始終都等于60。由于ABC是正三角形，即有B =DFE，若能找出分別含有DG、EF兩邊的兩個(gè)三角形相似，則問題就迎刃而解。顯然，這個(gè)問題可通過弦切角定理找出BDG=FED，從而證出兩個(gè)三角形相似。解：（1）如圖7，連結(jié)OD、DE、DE AB、AC分別切O于D、E ODAB，OEAC 即ADO=AEO=90 又A=60 DOE=120 DFE=60 即有B =DFE BDG=FED DBGEFD AD=AE=6（切線長定理） A=60 DE=6 整理得： 與的函數(shù)關(guān)系式是: （2）（3）略 幾何圖形中求函數(shù)的解析式是屬于初中數(shù)學(xué)常見的幾何的、代數(shù)的綜合題。由于綜合題的條件多，比較分散，或者比較隱蔽，因此增加了解題的難度。因此在