數(shù)理統(tǒng)計-方差與標準差

1、心理和教育方面面的實驗或調調查所得到的的數(shù)據(jù)，大都都具有隨機變變量的性質。而而對這些隨機機變量的描述述，僅有前一一章所講集中中趨勢的度量量是不夠的。集集中量數(shù)只描描述數(shù)據(jù)的集集中趨勢和典典型情況，它它還不能說明明一組數(shù)據(jù)的的全貌。數(shù)據(jù)據(jù)除典型情況況之外，還有有變異性的特特點。對于數(shù)數(shù)據(jù)變異性即即離中趨勢進進行度量的一一組統(tǒng)計量，稱稱作差異量數(shù)數(shù)，這些差異異量數(shù)有標準準差或方差，全全距，平均差差，四分差及及各種百分差差等等。第一節(jié) 方差與標準準差方差(Variiance)也稱變異數(shù)數(shù)、均方。作作為統(tǒng)計量，常常用符號S2表示，作為為總體參數(shù)，常常用符號2表示。它是是每個數(shù)據(jù)與與該組數(shù)據(jù)平平均數(shù)之差

2、乘乘方后的均值值，即離均差差平方后的平平均數(shù)。方差差，在數(shù)理統(tǒng)統(tǒng)計中又常稱稱之為二階中中心矩或二級級動差。它是是度量數(shù)據(jù)分分散程度的一一個很重要的的統(tǒng)計特征數(shù)數(shù)。標準差(Standdard ddeviattion)即即方差的平方方根，常用SS或SD表示。若若用表示，則是是指總體的標標準差，本章章只討論對一一組數(shù)據(jù)的描描述，尚未涉涉及總體問題題，故本章方方差的符號用用S2，標準差的的符號用S。符號不同同，其含義不不完全一樣，這這一點望讀者者能夠給予充充分的注意。一、方差與標準準差的計算(一)未分組的的數(shù)據(jù)求方差差與標準差基本公式是： （3l a） （31b）表31說明公公式31a與31b的計算步

3、步驟表31 未未分組的數(shù)據(jù)據(jù)求方差與標標準差Xi XiXx x2(XiX)2 Xi2 6 5 7 4 6 8 0 -1 l -2 0 2 0 l 1 4 0 4 36 25 49 16 36 64 N6 Xi36 x0 x210 Xi2226 應用31公式式的具體步驟驟：先求平均數(shù)數(shù)X36/66；計算Xi -X；求(Xi - X)2即離均差x2；將各離均差差的平方求和和 (x2)；代入公式31a與31b求方差與與標準差。具具體結果如下下： S2=10/6=1.67 (二)已分組的的數(shù)據(jù)求標準準差與方差數(shù)據(jù)分組后，便便以次數(shù)分布布表的形式出出現(xiàn)，這時原原始數(shù)據(jù)不見見了，若計算算方差與標準準差可用

4、下式式： (33a) (33b)式中d(Xcc - AMM) / ii，AM為估計平平均數(shù)Xc為各分組區(qū)區(qū)間的組中值值f為各組區(qū)間的的次數(shù)N=f 為為總次數(shù)或各各組次數(shù)和i為組距。下面以表188數(shù)據(jù)為例，說說明分組數(shù)據(jù)據(jù)求方差與標標準差的步驟驟:表32 次次數(shù)分布表求求方差與標準準差 分組區(qū)間 Xc f d fd fd2 計 算 96- 93- 90- 87- 84- 81- 78- 75- 72- 69- 66- 63- 60- 97 94 91 88 85 82 79 76 73 70 67 64 61 2 3 4 8 11 17 19 14 10 7 3 l 1 6 5 4 3 2 1

5、0 1 2 3 4 5 6 12 15 16 24 22 17 0 14 20 21 12 5 6 72 75 64 72 44 17 0 14 40 63 48 25 36 S2=32* （570/100 -（28/100）2）=50.5944 S7113 i=3 f100 fd=28 fd2=570 具體步步驟： 設估估計平均數(shù)AAM，任選一一區(qū)間的Xcc充任； 求dd 用ff乘d，并計算fd； 用dd與fd相乘得fd2，并求fd2； 代入入公式計算。二、方差與標準準差的意義 方差與標準差是是表示一組數(shù)數(shù)據(jù)離散程度度的最好的指指標。其值越越大，說明離離散程度大，其其值小說明數(shù)數(shù)據(jù)比較集中中

6、，它是統(tǒng)計計描述與統(tǒng)計計分析中最常常應用的差異異量數(shù)。它基基本具備一個個良好的差異異量數(shù)應具備備的條件：反應靈敏，每每個數(shù)據(jù)取值值的變化，方方差或標準差差都隨之變化化；有一定的計計算公式嚴密密確定；容易計算；適合代數(shù)運運算；受抽樣變動動的影響小，即即不同樣本的的標準差或方方差比較穩(wěn)定定；簡單明了，這這一點與其他他差異量數(shù)比比較稍有不足足，但其意義義還是較明白白的。除上述之外，方方差還具有可可加性特點，它它是對一組數(shù)數(shù)據(jù)中造成各各種變異的總總和的測量，能能利用其可加加性分解并確確定出屬于不不同來源的變變異性(如組間、組組內等)并可進一步步說明每種變變異對總結果果的影響，是是以后統(tǒng)計推推論部分常用

7、用的統(tǒng)計特征征數(shù)。在描述述統(tǒng)計部分，只只需要標準差差就足以表明明一組數(shù)據(jù)的的離中趨勢了了。標準差比比其他各種差差異量數(shù)具有有數(shù)學上的優(yōu)優(yōu)越性，特別別是當已知一一組數(shù)據(jù)的平平均數(shù)與標準準差后，便可可知占一定百百分比的數(shù)據(jù)據(jù)落在平均數(shù)數(shù)上下各兩個個標準差，或或三個標準差差之內。對于于任何一個數(shù)數(shù)據(jù)集合，至至少有1一1/h2的數(shù)據(jù)落在平平均數(shù)的h(大于1的實數(shù))個標準差之之內。(切比雪夫定定理)。例如某組組數(shù)據(jù)的平均均數(shù)為50，標準差差是5，則至少有有75(1一1/22)的數(shù)據(jù)落在在50-2*5至50+2*5即40至60之間，至至少有889(1一1/32)的數(shù)據(jù)落在在50-3*5至50+3*5356

8、5之間 (h=2，1-1/hh2=1-1/22=3/4=75%，h=3, -1/h22=1-1/32=8/9=88.9%)。如果數(shù)據(jù)是呈正正態(tài)分布，則則數(shù)據(jù)將以更更大的百分數(shù)數(shù)落在平均數(shù)數(shù)上下兩個標標準差之內(95)或三個標準準差之內 (99.)。三、由各小組的的標準差求總總標準差 由于方差具有可可加性特點，在在已知幾個小小組的方差或或標準差的情情況下，可以以計算出幾個個小組聯(lián)合在在一起的總的的方差或標準準差。這種計計算常在科研研協(xié)作中應用用，例如先了了解各班學生生情況，再了了解全年級情情況；或先了了解各年級情情況，再了解解全?？偟那榍闆r。但這種種方差或標準準差的合成，只只有在應用同同一種觀測

9、手手段，測量的的是同一個特特質，只是樣樣本不同時，才才能應用。計算總方差或總總標準差的公公式如下； (34a) (34b) 式中 為總方差 為總標準差差 N1Nn為各小組數(shù)數(shù)據(jù)個數(shù) 為總平均數(shù) 為各小組的的平均數(shù)四、標準差的應應用 (一)差異系數(shù)數(shù)(Coeffficieent off variiationn)當所觀測的樣本本水平比較接接近，而且是是對同一個特特質使用同一一種測量工具具進行測量時時，要比較不不同樣本之間間離散程度的的大小，一般般可直接比較較標準差或方方差的大小-標準差的值值大說明該組組數(shù)據(jù)較分散散，若標準差差小，則說明明該組數(shù)據(jù)較較集中。標準準差的單位與與原數(shù)據(jù)的單單位相同，因因

10、而有時稱它它為絕對差異異量。在對不不同樣本的觀觀測結果的離離散程度進行行比較時，常常會遇到下述述情況：兩個或多個個樣本所測的的特質不同，即即所使用的觀觀測工具不同同，如何比較較其離散程度度?即使使用的的是同+種觀測工具具，但樣本的的水平相差較較大時，如何何比較它們的的離散程度?在第一種情情況下，標準準差的單位不不同，顯然不不能直接比較較標準差的大大小。第二種種情況雖然標標準差的單位位相同，但兩兩樣本的水平平不同，這可可從平均數(shù)的的大小明顯不不同確定。通通常情況下，平平均數(shù)的值較較大，其標準準差的值一般般也較大，平平均數(shù)的值較較小，其標準準差的值也較較小。這種情情況下，若直直接比較標準準差取值的

11、大大小，借以比比較不同樣本本的分散情況況是無意義的的?？梢姡仙鲜鰞煞N情況況下，若用絕絕對差異量進進行直接比較較以確定其分分散程度的大大小是不行的的，這時可用用相對差異量量進行比較。最最常用的相對對差異量就是是差異系數(shù)。差差異系數(shù)，又稱變異系系數(shù)、相對標標準差等，通通常用符號CCV表示，其其計算如下，CV=S / M * 1100 (335) 式中S為某樣本本的標準差M為該樣本的平平均數(shù)。差異系數(shù)在心理理與教育研究究中常用于：同一團體不不同觀測值離離散程度的比比較，對于水平相相差較大，但但進行的是同同一種觀測的的各種團體，進進行觀測值離離散程度的比比較。例2 已已知某小學一一年級學生的的平均體

12、重為為25公斤，體體重的標準差差是3.7公斤，平平均身高1110厘米，標標準差為6.2厘米，問問體重與身高高的離散程度度哪個大?解： CV體重重3.7 / 25 * 10014.88 CVV身高6.2 / 110 * 10005.644通過比較差異系系數(shù)可知，體體重的分散程程度比身高的的分散程度大大(14.885.644)。例3 通通過同一個測測驗，一年級級(7歲)學生的平均均分數(shù)為600分，標準差差為4.022分，五年級級(14歲)學生的平均均分數(shù)為 880分，標準準差為6.004分，問這這兩個年級的的測驗分數(shù)中中哪一個分散散程度大?解： CV一一年級4.02 / 60 * 1000= 6.

13、77 CCV五年級6.04 /80 * 100= 7.555答；五年級的測測驗分數(shù)分散散程度大。在應用差異系數(shù)數(shù)比較相對差差異大小時，一一般應注意測測量的數(shù)據(jù)要要保證具有等等距的尺度，這這時計算的平平均數(shù)和標準準差才有意義義，應用差異異系數(shù)進行比比較也才有意意義。另外，觀觀測工具應具具備絕對零，這這時應用差異異系數(shù)去比較較分散程度效效果才更好。因因此，差異系系數(shù)常用于重重量、長度、時時間，編制得得好的測驗量量表范圍內。第第三，差異系系數(shù)只能用于于一般的相對對差異量的描描述上，至今今尚無有效的的假設檢驗方方法，因此對對差異系數(shù)不不能進行統(tǒng)計計推論。(二)標準分數(shù)數(shù)(stanndard score

14、e)標準分數(shù)又稱基基分數(shù)或z分數(shù)，是以以標準差為單單位表示一個個分數(shù)在團體體中所處位置置的相對位置置量數(shù)。1計算公式； Z = （X ）/ S (36)式中X代表原始始數(shù)據(jù)，X為一組數(shù)據(jù)據(jù)的平均數(shù)，S為標準差。從公式36可以明了，Z分數(shù)的意義，它是一個數(shù)與平均數(shù)之差除以標準差所得的商數(shù)，它無實際單位。如果了個數(shù)小于平均數(shù)，其值為負數(shù)，如果一個數(shù)的值大于平均數(shù)，其值為正數(shù)，如果一個數(shù)的值等于平均數(shù)，其值為零?？梢奪分數(shù)可以表明原數(shù)目在該組數(shù)據(jù)分布中的位置，故稱為相對位置量數(shù)。例4 某某班平均成績績?yōu)?0分，標準準差為3分，甲生得得942分，乙生得得891分，求甲乙乙學生的Z分數(shù)各是多多少?解：根

15、據(jù)公式336Z甲=(94.290) / 3 = 1.4Z乙=(89.190) / 3 = -0.3Z分數(shù)表示其原原分數(shù)在以平平均數(shù)為中心心時的相對位位置，這比使使用平均數(shù)和和原分數(shù)表達達了更多的信信息。 2Z分數(shù)的性性質 在一組數(shù)據(jù)中中所有由原分分數(shù)轉換得出出的z分數(shù)之和為為零，其Z分數(shù)的平均均數(shù)亦為零。一組數(shù)據(jù)中各各z分數(shù)的標準準差為1。3Z分數(shù)的應應用Z分數(shù)可用于于比較分屬性性質不同的觀觀測值在各自自數(shù)據(jù)分布中中相對位置的的高低。因為為z分數(shù)可以表表明各原數(shù)目目在該組數(shù)據(jù)據(jù)分布中的相相對位置，它它無實際單位位。這樣不同同觀測值的比比較便可進行行。這里所說說的數(shù)據(jù)分布布中相對位置置包括兩個意

16、意思，一個是是表示某原數(shù)數(shù)目以平均數(shù)數(shù)為中心以標標準差為單位位所處距離的的遠近與方向向；另一個意意思是表示某某原數(shù)目在該該組數(shù)據(jù)分布布中的位置，即即在該數(shù)目以以下或以上的的數(shù)據(jù)各有多多少，如果在在一個正態(tài)分分布(或至少是一一個對稱分布布)中，這兩個個意思可合二二為一。但在在一個偏態(tài)分分布中，這兩兩個意思就不不能統(tǒng)一。這這一點在應用用z分數(shù)時要特特別注意。例例如有一人的的身高是1770厘米，體體重是65公斤(也可以是另另一人的體重重)，究竟身高高還是體重在在各自的分布布中較高?這是屬于兩兩種不同質的的觀測，不能能直接比較。但但若我們知道道各自數(shù)據(jù)分分布的平均數(shù)數(shù)與標準差，這這樣我們可分分別求出z

17、分數(shù)進行比比較。設Z身高1.7000.5，Z體重65=1.22，則可得出出該人的體重重離平均數(shù)的的距離要比身身高離平均數(shù)數(shù)的距離遠，即即該人在某團團體中身高稍稍偏高，而體體重更偏重些些。如果該團團體，身高與與體重的次數(shù)數(shù)分布為正態(tài)態(tài)，我們還可可更確切地知知道該人的身身高與體重在在次數(shù)分布的的相對位置是是多少，從而而進行更確切切(或更數(shù)量化化)的比較。 、當已知各不同同質的觀測值值的次數(shù)分布布為正態(tài)時，可可用z分數(shù)求不同同的觀測值的的總和或平均均值，以示在在團體中的相相對位置。在在算術平均數(shù)數(shù)一節(jié)中講到到，在計算平平均數(shù)時，要要求數(shù)據(jù)必須須同質，否則則會使平均數(shù)數(shù)沒有意義，但但有時需要將將不同質

18、的數(shù)數(shù)據(jù)合成，這這時可采用ZZ分數(shù)。例如如已知高考的的各科成績分分布是正態(tài)分分布，但是由由于各科的難難易度不同，因因此，各科成成績就屬于不不同質的數(shù)據(jù)據(jù)。以前常采采取總和分數(shù)數(shù)或求平均分分數(shù)的方法，這這是不科學的的。如果應用用Z分數(shù)求總和和或平均數(shù)則則更有意義。類類似這種情況況有期末成績績總和等。舉舉例如下表3-3 利利用Z分數(shù)求總和和 科目 原始分數(shù) 甲 乙 全體考生 平均數(shù) 標準差 Z分數(shù) 甲 乙 語文 政治 外語 數(shù)學 理化 85 89 70 62 68 72 53 40 72 87 70 lO 65 5 69 8 50 6 75 8 1.500 1.900 1.000 -0.600 0

19、.125 0.375 0.500 -1.667 0.315 1.500 總計 348 350 2.500 1.505 假設二例是高等等學校入學考考試兩名考生生甲與乙的成成績分數(shù)。如如果按總分錄錄取則取乙生生，若按標準準分數(shù)錄取則則應取甲生；為何會出現(xiàn)現(xiàn)如此懸殊的的差別?這是由于不不恰當?shù)赜嬎闼憧偤头謹?shù)造造成的，因為為各科成績難難易度不同，分分散程度也不不同；：各門門學科的成績績分數(shù)是不等等價的，亦即即數(shù)據(jù)是不同同質的，這時時應用總和分分數(shù)不夠科學學，故此出現(xiàn)現(xiàn)這類問題，科科學的方法應應當用Z分數(shù)合成。從從Z分數(shù)可知甲甲生多數(shù)成績績是在平均數(shù)數(shù)以上，即使使有兩種成績績低于平均數(shù)數(shù)，差別也小小?？傊煽兛冚^穩(wěn)定且在在分布較高處處，而乙生則則不然?？梢娨姂肸分數(shù)更趨合合理。表示標準測驗驗分數(shù) 經過標準化化的心理與教教育測驗，如如果其常模分分數(shù)分布接近近正態(tài)分布，常常常轉換成正正態(tài)標準分數(shù)數(shù)。轉換公式式為 Z= aZ + b (37)式