等差數列及前和

1、等差數列及前和第1頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二 一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示。等差數列定義第2項起同一個常數第2頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二4、數列 -3，-2，-1，1，2，3 ；練一練公差是3不是 公差d是每一項（第2項起）與它的前一項的差，防止把被減數與減數弄顛倒，而且公差可以是正數，負數，也可以為0. 注意3、數列 1,1,1,1,1； 公差是02、數列6，4，2，0，-2，-4；公差是-2判斷下列數列是否為等差數列；

2、如果是，求出公差1、數列4，7，10，13，16，.第3頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二如果一個數列是等差數列，它的公差是d，那么，由此可知，等差數列 的通項公式為當d0時，這是關于n的一個一次函數。第4頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二由此得到：（通項公式）分析2：根據等差數列的定義：第5頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二 結論：若一個等差數列 ，它的首項為 ，公差是d，那么這個數列的通項公式是：a1、d、n、an中知三求一第6頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二在等差數列an中，1）已知a1=2,d=3

3、,n=10,求an解：a10=a1+9d=2+93=292）已知a1=3,an=21,d=2,求n解：21=3+(n-1)2 n=103）已知a1=12,a6=27,求d解：a6=a1+5d,即27=12+5d d=34）已知d=-1/3,a7=8,求a1解：a7=a1+6d 8=a1+6(-1/3) a1=10練一練第7頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二 例1. 1）等差數列8，5，2,的第20項是幾？ 2）-401是不是等差數列-5,-9,-13的 項？如果是，是第幾項？解： 1）由題意得，a1=8,d=-32）由題意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1

4、+(n-1)dn=100-401是這個數列的第100項。a20=a1+19d=8+19(-3)=-49-401=-5+(n-1)(-4)第8頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二= 即得第二通項公式 d=知識延伸：第9頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二 例2.在等差數列an中，已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d。解：由題意，a5=a1+4d a12=a1+11d解之得a1=-2 d=3若讓求a7，怎樣求？即10=a1+4d 31=a1+11d第10頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二1.在等差數列an中，已知a3=9,a

5、9=3,求a12答案：a12=02.在等差數列an中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8解：由題意得，a1+d=3, a1+3d=7a6=a1+5d=1+52=11 a8=a1+7d=1+72=15 a1=1, d=2鞏固練習第11頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二基礎自測1若等差數列an的前5項和S525，且a23，則a7()A12B13C14D15【答案】B第12頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二2在等差數列an中，已知a12，a2a313，則a4a5a6等于()A40 B42 C43 D45【答案】B【解析】等差數列an中，a12，a2a31

6、3，2a13d13.d3.a4a5a63a112d42.第13頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二3等差數列an中，a11，a3a514，其前n項和Sn100，則n()A9 B10 C11 D12【答案】B【解析】由a11，a3a514，得公差d2，又由nn(n1)100得n10.第14頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二4已知數列的通項公式an5n2，則其前n項和Sn.第15頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二【答案】4第16頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二提問：如果在a與b中間插入一個數A，使a，A，b成等

7、差數列，那么A應滿足什么條件？ 因為a，A，b組成了一個等差數列，那么由定義可以知道： A a = b - A即例如5如果a，A，b組成了一個等差數列，那么A 叫做 a 與 b 的等差中項 等差中項第17頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二等差數列的圖象1（1）數列：-2，0，2，4，6，8，10，12345678910123456789100第18頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二等差數列的圖象2（2）數列：7，4，1，-2，12345678910123456789100第19頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二等差數列的圖象3（

8、1）數列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100第20頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二1.一個首項為23，公差為整數的等差數列，如果前六項均為正數，第七項起為負數，則它的公差是多少？解：由題意得， a6=a1+5d0 a7=a1+6d0 2.已知等差數列an的首項為30，這個數列從第12項起為負數，求公差d的范圍。解：a12=30+11d0 a11=30+10d0dZ d=-4-23/5d-23/6 -3d-30/11即公差d的范圍為：-3d-30/11應用延伸第21頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二第22頁，共

9、39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二1(2010重慶卷文)在等差數列an中，a1a910，則a5的值為()A5B6C8D10【答案】A【解析】本題考查等差數列的性質，若mn2p(m，n，pN*)，則aman2ap.在等差數列an中，2a5a1a910，a55.故選擇A.第23頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二2(2009高考山東卷文)在等差數列an中，a37，a5a26，則a6.【答案】13【解析】設公差為d，則由a5a26知d2，故a6a33d7613.第24頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二3(2011湖南卷理)設Sn是等差數列an

10、(nN*)的前n項和，且a11，a47，則S5.【答案】25第25頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二性質3：等差數列平均分組，各組之和仍為等差數列即Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差數列 第26頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二例2 設等差數列an的前n項和為Sn，已知a312，且S120，S130時，一定為遞增數列，當d0且d0時，無窮等差數列的前n項和才有最大值，而最大值是將所有非負項求和；當a10時，無窮等差數列的前n項和才有最小值，其最小值是將所有非正項求和第27頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二第28頁，共39頁，

11、2022年，5月20日，5點32分，星期二第29頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二第30頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二【點評】本題給出了有關數列中最值問題的三種解答思路，揭示了數列、函數、不等式知識之間的聯(lián)系第31頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二1(2011江西卷文)設an為等差數列，公差d2，Sn為其前n項和，若S10S11，則a1()A18B20C22D24【答案】B【解析】因為S10S11，所以a110.又因為a11a110d，所以a120.故選擇B.第32頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二2(

12、2011天津卷文)已知an是等差數列，Sn為其前n項和，nN*，若a316，S2020，則S10.【答案】110第33頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二3(2010遼寧卷文)設Sn為等差數列an的前n項和，若S33，S624，則a9.【答案】15第34頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二4(2009高考海南卷理)等差數列an的前n項和為Sn.已知am1am1am20，S2m138，則m.【答案】10第35頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二5(2011安徽卷理)已知ABC的一個內角為120，并且三邊長構成公差為4的等差數列，則ABC

13、的面積為.【答案】15【解析】由于三邊長構成公差為4的等差數列，故可設三邊長分別為x4，x，x4.由一個內角為120知其必是最長邊x4所對的角由余弦定理得(x4)2x2(x4)22x(x4)cos 120，2x220 x0，x0(舍去)或x10.SABC(104)10sin 12015.第36頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二6 .在等差數列an中(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=151第37頁，共39頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二第38頁，共39頁，2022年，